Função suave

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Na análise matemática e topologia diferencial, as classes de diferenciabilidade são famílias de funções com certas propriedades quanto à sua continuidade e de suas derivadas.

A classe das funções suaves corresponde àquelas funções que possuem derivadas de todas as ordens.

Definição para funções reais de uma variável[editar | editar código-fonte]

Seja um função com domínio , então:

  • é dita ser de classe se for uma função contínua.
  • é dita ser de classe se sua derivada for uma função contínua.
  • é dita ser de classe se sua enésima derivada for uma função contínua.
  • é dita ser suave ou de classe se for de classe para todo
  • é dita ser analítica ou de classe se puder ser escrita como uma série de Taylor em uma vizinhança de cada ponto de seu domínio. Toda função analítica é suave.

Definições para funções de várias variáveis[editar | editar código-fonte]

Seja um função com domínio

  • é dita ser de classe se for uma função contínua.
  • é dita ser de classe se todas as suas derivadas parciais de ordem até forem funções contínuas.
  • é dita ser suave ou de classe se for de classe para todo

Exemplos[editar | editar código-fonte]

A função f(x)=x para x≥0 e 0 caso contrário.
A função f(x)=x2 sin(1/x) para x>0.
Um função suave não analítica.

A função

é contínua, mas não é diferenciável, é portanto de classe mas não de classe .

A função

é diferenciável, com derivada

Como o limite de não existe quando se aproxima de zero, não é contínua na origem. Portanto, a função é diferenciável mas não é de classe C1.

A função

é suave, e portanto de classe , mas não é analítica, portanto não é de classe . Ver artigo Exp(-1/x).

A função exponencial é analítica e, portanto, de classe .

Ver também[editar | editar código-fonte]

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