Função de Bessel

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A Função de Bessel, definida pela primeira vez por Daniel Bernoulli e generalizada por Friedrich Bessel, é a solução da equação diferencial

x^2 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + (x^2 - \alpha^2)y = 0 ,

para um número \alpha qualquer, real ou complexo. Quando utiliza-se um número inteiro, este é referido como a ordem da função de Bessel.

Definição[editar | editar código-fonte]

Como a função de Bessel é obtida a partir da solução de uma equação diferencial de segunda ordem, esta deve possuir duas soluções linearmente independentes[1] . Neste caso, denominamos funções de Bessel de primeira espécie e segunda espécie, sendo a segunda também conhecida como função de Bessel de Neumann. Utilizando o método de resolução de equações diferencias por séries de potências: 

A função de Bessel de primeira espécie pode ser representada por uma série de Taylor:

Gráfico das funções de Bessel de primeira espécie para α= 0, 1, 2[2]
 J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} .

A função de Bessel de segunda espécie pode ser obtida através do método de D’Alembert, e, para \alpha inteiro, tem a forma:

Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)} .

Casos particulares[editar | editar código-fonte]

Como exemplos de funções de Bessel, temos: J_0(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{(m!)^2} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m} ,  J_1(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!(m+1)!} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+1} ,  J_2(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!(m+2)!} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+2}

Não obstante, as funções de Bessel para \alpha = \pm \frac{1}{2} podem ser escritas em termos de funções elementares[3]

Gráfico das funções de Bessel de segunda espécie para α= 0, 1, 2[4]

J_{\frac{1}{2}}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}sen(x) e J_{-\frac{1}{2}}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}cos(x)

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Algumas relações da função de Bessel da primeira espécie:

  1. Para \alpha inteiro: J_{-p}(x)=(-1)^p J_p(x)
  2. Para \alpha não inteiro: J_p(x) e J_{-p}(x) são linearmente independentes
  3.  \frac{d} {dz} \{J_\alpha (z)\}=J_{\alpha-1}(z)-\frac{\alpha}{z}J_{\alpha}(z)
  4.  \frac{d} {dz} \{ z^\alpha J_\alpha (z)\}=z^\alpha J_{\alpha-1}(z)

Aplicações[editar | editar código-fonte]


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  1. FIGUEIREDO, Djairo Guedes de (1997). Equações Diferenciais Aplicadas [S.l.: s.n.]  line feed character character in |título= at position 22 (Ajuda)
  2. «Confira estes exemplos e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-22. 
  3. BRAUN, Martin (1975). Differential Equations and Their Applications [S.l.: s.n.] 
  4. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-22. 
  5. «Bessel function».