Função de Bessel

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A Função de Bessel, foi definida pela primeira vez por Daniel Bernoulli e generalizada por Friedrich Bessel. Ela é a solução da equação diferencial:

para um número real . Ela é denominada equação de Bessel de índice .

Definição[editar | editar código-fonte]

Como a função de Bessel é obtida a partir da solução de uma equação diferencial de segunda ordem, esta deve possuir duas soluções linearmente independentes[1]. Neste caso, denominamos funções de Bessel de primeira espécie e segunda espécie, sendo a segunda também conhecida como função de Bessel de Neumann. Utilizando o método de resolução de equações diferencias por séries de potências: 

O ponto é um ponto singular regular para a equação de Bessel. Desta forma podemos aplicar o método de Frobenius para este ponto singular regular. O método consiste em procurar a seguinte solução: 

 

Aplicada no ponto singular regular. Como zero é um ponto singular regular da equação de Bessel podemos aplicar a equação acima substituindo por zero: 

 

 

Substituindo a solução na equação, temos: 

 

Podemos juntar o 1º, 2º e 4º somatório: 

 

No segundo somatório substituímos n por um número k qualquer de maneira que e fatorando os termos elevados ao quadrados do primeiro somatório: 

 

Podemos agora substituir k por n no segundo somatório: 

 

Separando os dois primeiros termos do primeiro somatório, o primeiro somatório agora começa a partir de n=2 e podemos agrupar os dois somatórios em somente um somatório que começa em n=2:Como temos que toda esta equação deve ser zero e como definimos inicialmente que  : 

 

 

 

Resolvendo a primeira equação das três obtemos duas raízes: 

 

 

Usando a primeira solução, ou seja , e substituindo na segunda equação: 

 

Desta forma obtemos: 

 

Substituindo na terceira equação: 

 

Esta igualdade é valida para n=2,3,4,... 

Isolando o termo na equação, obtemos: 

 

Desta forma sabemos que os termos a de índices ímpares são zero enquanto que termos de índice par seguem a regra de recorrência acima indicada. Para descobrirmos ,por exemplo, só necessitamos trocar todos os números genéricos n na fórmula de recorrência por 2: 

 

Para descobrir fazemos o mesmo procedimento descrito anteriormente mas para n=4: 

 

Colocamos o valor de já foi determinada substituímos seu valor na fórmula acima: 

 

Em geral, 

 

De maneira geral ao valor de é atribuído: 

 

Utilizando a identidade: 

 

Temos que que pode ser escrito da seguimte forma: 

 

A primeira solução da equação de Bessel é: 

 

A função obtida é denominada função de Bessel de 1ª espécie de índice p e nos referimos a ela como

Gráfico das funções de Bessel de primeira espécie para α= 0, 1, 2[2]
Gráfico das funções de Bessel de segunda espécie para α= 0, 1, 2[3]

 

A função de Bessel de primeira espécie pode ser representada para p=m=0,1,2,3,...:

A função de Bessel de segunda espécie pode ser obtida através do método de D’Alembert, e, para inteiro, tem a forma:

Casos particulares[editar | editar código-fonte]

As funções de Bessel para podem ser escritas em termos de funções elementares:[4]

e

Transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

Seja a Equação de Bessel , então temos que sua transformada de Laplace é dada por[5]:

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Algumas relações da função de Bessel da primeira espécie:

  1. Para inteiro:
  2. Para não inteiro: são linearmente independentes

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. FIGUEIREDO, Djairo Guedes de (1997). Equações Diferenciais Aplicadas. [S.l.: s.n.]  line feed character character in |título= at position 22 (ajuda)
  2. «Confira estes exemplos e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016 
  3. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016 
  4. BRAUN, Martin (1975). Differential Equations and Their Applications. [S.l.: s.n.] 
  5. «Transformada de Laplace». Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 30 de julho de 2018. Consultado em 30 de agosto de 2018 
  6. «Bessel function» 
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