Método de d'Alembert

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O método de d'Alembert, introduzido pelo matemático francês Jean le Rond d'Alembert, permite transformar uma equação diferencial linear de ordem numa outra equação linear de ordem a partir de uma solução particular conhecida.

No caso de uma equação diferencial linear de segunda ordem, se for conhecida uma solução não trivial de uma EDOLH, empregando o método de D’Alembert podemos determinar uma segunda solução linearmente independente da primeira. Para isto vamos ter que resolver uma EDO de primeira ordem. Essas duas soluções linearmente independentes vão constituir um sistema fundamental de soluções e vão nos permitir escrever a solução geral da EDOLH dada. Portanto, o método de D’Alembert é um método de redução de ordem: conhecendo uma solução não trivial de uma EDOLH de segunda ordem, sua resolução se reduz a resolver uma EDO de primeira ordem. Ou seja, este método permite calcular a solução geral a partir de uma solução particular.[1] Para calcular a solução geral utilizamos o método:

Seja uma solução conhecida para a equação linear homogênea de segunda ordem, é procurado uma solução Queremos que seja solução de ,então calculando as derivadas e fazemos a substituição em:

Essa substituição resultará em uma equação do tipo:

Reorganizando os termos e lembrando que , pois é solução da equação diferencial ordinária homogênea, teremos que satisfaz uma equação ordinária de segunda ordem redutível à primeira, do tipo:

A primitiva de dá a função que, multiplicada por conduz à segunda solução da equação, .[1] A solução geral será da forma:

Onde e são encontrados através das condições de contorno do problema.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Sabendo que é solução da equação diferencial dada, encontre a solução geral

[2]

A solução geral encontra-se usando o método de D'Alembert

Esta última equação pode ser considerada uma equação de primeira ordem em que a variável dependente é Separando as variáveis e integrando obtém-se

Referências

  1. a b [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.
  2. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 31 de março de 2016. 

Ver também[editar | editar código-fonte]


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