Método de Euler

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Ilustração do método de Euler. A curva desconhecida está em azul, e sua aproximação polinomial está em vermelho.[1]

Em matemática e ciência computacional, o método de Euler, cujo nome relaciona-se com Leonhard Euler, é um procedimento numérico de primeira ordem para solucionar equações diferenciais ordinárias com um valor inicial dado. É o tipo mais básico de método explícito para integração numérica para equações diferenciais ordinárias.

Formulação do Método de Euler[editar | editar código-fonte]

Suponha que queremos aproximar a solução de um problema de valor inicial:

Escolhendo um valor para para o tamanho de cada passo e atribuindo a cada passo um ponto dentro do intervalo, temos que . Nisso, o próximo passo a partir do anterior fica definido como , então: [2]

Com isso, para um valor menor de teremos mais passos dentro de um dado intervalo, mas que terá melhor aproximação com o valor analítico.

O valor de é uma aproximação da solução da EDO no ponto : . O Método de Euler é explícito, ou seja, a solução é uma função explícita de para .

Enquanto o Método de Euler integra uma EDO de primeira ordem, qualquer EDO de ordem N pode ser representada como uma equação de primeira ordem: tendo a equação

,

temos a introdução de variáveis auxiliares obtendo a seguinte equação:

Este é um sistema de primeira ordem na variável e pode ser usada através do Método de Euler ou qualquer outros métodos de resoluções de sistemas de primeira ordem.[3]

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Dado o problema de valor inicial

vamos usar o método de Euler para aproximar .[4]

Usando um passo igual a 1 (h = 1)[editar | editar código-fonte]

Ilustração da integração numérica para o exemplo [5] A curva em Azul é o método de Euler com h = 1.0.; em Verde, o ponto médio e em Vermelho, o valor exato da solução,

O método de Euler é

Primeiramente devemos aplicar o ponto . Nesse exemplo, a função é definida por . Nisso, temos que

Através do passo acima, vemos que a declividade da linha é tangente à solução da curva no ponto . Lembre que a declividade é definida como a variação numérica de em relação a , ou .

O próximo passo é multiplicar o valor acima pelo tamanho do passo , que nesse caso resultará em:

Como o tamanho do passo é a variação em , quando multiplicamos esse passo pela declividade da tangente, resultamos em um novo valor para . Esse valor é então colocado ao valor de inicial, com o objetivo de obtermos o próximo valor para ser usado de modo recursivo.

Os passos acima devem ser repetidos para assim encontrarmos , e .

Como isso se torna um processo repetitivo, uma boa forma de organizar cada iteração em forma de tabela, evitando a possibilidade de erros.

0 1 0 1 1 1 2
1 2 1 2 1 2 4
2 4 2 4 1 4 8
3 8 3 8 1 8 16

A conclusão desse método é de que , enquanto a solução exata da equação diferencial é , então . Nesse caso, a aproximação por Método de Euler não é muito eficiente, porém podemos ver na imagem que o comportamento de ambas as curvas são semelhantes.

Usando outros tamanhos para h[editar | editar código-fonte]

A mesma ilustração para h = 0.25.

Como mostrado no início, o método possui sua aproximação aprimorada quando tomamos valores cada vez menores para . A tabela abaixo mostra o resultado para diferentes tamanhos de . A primeira linha são os valores para , conforme descrito no tópico anterior. Já a segunda linha é para , conforme ilustrado ao lado.

Tamanho de Resultado do Método de Euler Erro Absoluto
1 16 38,598
0,25 35,53 19,07
0,1 45,26 9,34
0,05 49,56 5,04
0,025 51,98 2,62
0,0125 53,26 1,34

O erro absoluto é a diferença entre o valor obtido por Euler e o valor exato da solução para . Podemos ver que, ao ponto que o valor de vai caindo pela metade a cada linha, o erro aproximadamente possui o mesmo comportamento. Isso sugere que o erro absoluto é relativamente proporcional ao tamanho do passo de cada iteração adotado. Essa notação perde a validade para passos muito pequenos, mas geralmente é válida em demais equações; consulte Erro de truncamento para mais detalhes.

Em outros métodos ilustrados, como o Método dos Pontos Médios neste caso mostraram-se mais razoáveis, pois este possui uma precisão proporcional quadrática do tamanho do passo. Por essa razão, tem-se o Método de Euler como um método de primeira ordem, enquanto o Método dos Pontos Médios é dito como de segunda ordem.

Podemos extrapolar a tabela acima se precisamos de uma melhor precisão através da escolha de valores como que, para chegar em , necessitamos de 400.000 passos. Esse método demanda, portanto, um grande custo computacional; com isso, usam-se métodos com maior ordem de precisão, como o Método de Runge-Kutta, quando uma grande aproximação é necessária.[6]

Método de Euler contra métodos de ordem maior[editar | editar código-fonte]

A ordem de um método mede o quanto rapidamente este converge para a solução analítica quando se diminui os passos na integração numérica [7]. Infelizmente devido a limitações computacionais, erros de arredondamento crescem quando se diminui o tamanho dos passos, ocorrendo até mesmo divergência ou mesmo valores errados. Uma forma de resolver este problema é aumentar a ordem do método numérico. Por exemplo, métodos de ordem maiores incluem método de Runge-Kutta e o método de Euler melhorado.

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23. 
  2. Butcher 2003, p. 45; Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 36
  3. Butcher 2003, p. 3; Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 2
  4. Veja Também Atkinson 1989, p. 344
  5. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23. 
  6. Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 40
  7. Devries, Paul L. ; Hasbun, Javier E. A first course in computational physics. Second edition. Jones and Bartlett Publishers: 2011.

Ver também[editar | editar código-fonte]