Crescimento demográfico (equação diferencial)

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A taxa de aumento de uma população é a soma das taxas de natalidade () e migração (), menos a taxa de mortalidade ()

O aumento da população num instante dado é igual ao produto da população nesse instante vezes a taxa de aumento da população; se a população no instante for representada pela função , o aumento da população será também igual à derivada de [1]

Para poder resolver esta equação é preciso conhecer a dependência de com o tempo. Veremos dois casos simples

Modelo de Malthus[editar | editar código-fonte]

Se a taxa de aumento da população () for constante a equação diferencial anterior será uma equação de variáveis separáveis

Onde é a população em . Este modelo pode ser uma boa aproximação em certo intervalo, mas tem o inconveniente que a população cresce sem limite.

Modelo logístico[editar | editar código-fonte]

Considera-se uma taxa de mortalidade que aumenta diretamente proporcional à população, com taxas de natalidade e migração constantes. A taxa de aumento da população é assim

com e constantes. A equação diferencial obtida é uma equação de Bernoulli

Neste modelo a população não cresce indiscriminadamente, pois a medida que aumenta, a taxa de aumento diminui chegando eventualmente a ser nula e nesse momento permanece constante. Por meio da substituição obtém-se uma equação linear

Que pode ser resolvida multiplicando os dois lados pelo fator integrante

A população aproxima-se assimptoticamente do valor limite .[1]

Referências

  1. a b [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.

Ver também[editar | editar código-fonte]


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