Equação de Lane-Emden

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A equação de Lane-Emden é um modelo para descrever a densidade e a pressão no interior das anãs brancas.

Em astrofísica, a equação de Lane-Emden é uma equação diferencial ordinária que modeliza a estrutura interna de um sistema termodinâmico descrito pela equação de estado de um fluido politrópico auto-gravitante, ou seja, sujeito somente a influência de sua própria massa. A equação é obtida a partir da hipótese adicional de simetria esférica, que exclui as situações em que os sistemas possuem movimento de rotação.

Essa equação determina o perfil de pressão, densidade e temperatura em alguns casos de interesse físico, como o gás ideal e o gás degenerado de férmions à temperatura nula nas situações não-relativística e ultra-relativística. Esses modelos permitem uma descrição simples de anãs brancas e outros astros compactos, nos quais a pressão de degenerescência tem um papel importante.

A equação de Lane-Emden recebe o seu nome em homenagem aos astrofísicos Jonathan Lane e Robert Emden, sendo Lane quem primeiro propôs esta equação em 1870. Lord Kelvin e A. Ritter fizeram contribuições importantes ao estudo dessa equação no século XIX, assim como Ralph H. Fowler e Subrahmanyan Chandrasekhar nos anos 1930.

Apresentação[editar | editar código-fonte]

Em 1869, Lane publicou pela primeira vez esta equação com o objetivo de estimar a temperatura da surfície solar. De fato, a zona de convecção de um estrela pode ser considerada em equilíbrio convectivo e modelada pela equação de Lane-Emden.

A equação diferencial de Lane-Emden é dada por:

onde é o raio reescalonado:

e a densidade é dada como.

os subescritos "c" referem-se aos valores de referência da adimensionalização e são normalmente escolhidos os valores encontrados no centro do politropo. A condição de simetria esférica implica necessariamente que a derivada é nula em :

O valor de em , pode ser obtido a partir do valor da densidade:

é dado

No caso mais comum em que escolhe-se , temos:

Contexto físico[editar | editar código-fonte]

No equilíbrio, o efeito do gradiente de pressão e do campo gravitacional se anulam.

Em um fluido politrópico, a pressão P está relacionada com a densidade por uma equação de estado da forma:

,

onde C é uma constante e é um número não inferior a 1 chamado de constante adiabática. A constante adiábatica se relaciona com índice do politropo pela relação:

.

O fluido está sumetido à força gerada pelo seu próprio campo gravitacional. Esta força é radial e aponta para o centro da estrutura. A magnitude da força gravitacional é denotada pela letra g é considerada uma função da distância ao centro r:

do teorema das cascas esféricas a força gravitacional dentro de uma estrutura com simetria esférica é dado pela expressão:

onde é massa total contida até a distância r do centro:

aqui é densidade do fluido à distância s do centro.

Como o fluido está em equilíbrio hidrostático, vale a equação de Poisson:

Derivação da equação de Lane-Emden[editar | editar código-fonte]

Da simetria esférica e da relação (1), a equação (4) reduz a:

Usando o valor de M(R) dado por (3) em (2) e substituindo esta expressão para a densidade em (5)

ou, equivalentemente:

Esta é uma equação íntegro-diferencial para a densidade em função de . Diferenciando ambos os lados da equação por , obtemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:

A idéia agora é introduzir a seguinte mudança de variáveis:

ou, equivalentemente:

A equação de estado (1) sugere definir , de forma que:

e assim, obtemos:

E conclui-se o desenvolvimento, introduzindo uma nova mudança de variáveis, rescalonando o raio:

Soluções da equação[editar | editar código-fonte]

Soluções da Equação de Lane-Emden para n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

A equação pode ser resolvida analiticamente quando n = 0, 1 or 5:

n = 0 1 5
=
ζ0 =

Aqui, ζ0 indica o primeiro zero da solução.

Caso n = 0[editar | editar código-fonte]

O caso descreve um politropo em que a densidade é uniforme (isocórico). O problema neste caso é linear e é dado por:

É fácil ver que a solução geral da equação é dada por:

a condição de a solução estar definida na origem implica e a condição implica . A solução é, portanto, dado por:

, cuja derivada vale:
, que, de fato, se anula na origem.

Caso n = 1[editar | editar código-fonte]

No caso , o problema é novamente linear e recai numa equação de Bessel esférica de índice 0:

A solução geral desta equação é dada por:

Da mesma forma, como foi feito para o caso , e , observando que:

e, portanto, a solução é dada por:
cuja derivada vale:
cujo limite quando é nulo.

Soluções singulares[editar | editar código-fonte]

Quando se desconsideram as condições iniciais, a equação de Lane-Emden possui soluções singulares na origem para todo , ou seja, da seguinte forma:

,

onde

.

Transformações da Equação de Lane-Emden[editar | editar código-fonte]

  • Substituindo , a equação reduz à
  • Substituindo (transformação de Kelvin), a equação se transforma em:
  • As transformações de Emden consitem em fazer a seguinte mudança de variáveis:

que satisfaz a seguinte relação:

Esta mudança aplicada à equação na forma dada pela transformação de Kelvin, conduz a:

Este equação pode ser simplificada ainda mais pela introdução de mais uma nova variável:

que reduz a última equação a:

Expansão em séries de Taylor[editar | editar código-fonte]

Pode-se encontrar uma expressão para a solução da Equação de Lane-Emden em torno de através do método de Frobenius, que consiste em expandir a solução em série de Taylor:

As condições iniciais implicam diretamente:

os outros coeficientes devem ser obtidos subsituindo a série de na equação. Este procedimento resulta em:

Referências[editar | editar código-fonte]