Convergência uniforme

Em matemática, em particular na análise funcional, a convergência uniforme é um conceito mais forte que a convergência pontual, para definir se o limite de uma sequência de funções existe.

Definição

Como comparação, uma sequência de funções $f_{n}(x):S\rightarrow \mathbb {R} \,$ converge pontualmente para uma função $f:S\rightarrow \mathbb {R} \,$ se, e somente se:

$\forall \varepsilon >0{\text{ e }}\forall x\in S\ \ \exists N\in \mathbb {N} {\text{ tal que }}\forall n>N{\text{ temos que }}|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon \,$

A sequência converge uniformemente quando:

$\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} {\text{ tal que }}\forall x\in S{\text{ e }}\forall n>N{\text{ temos que }}|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon \,$

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada $\varepsilon \,$ e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada $\varepsilon \,$ um N que se aplica a todo x.

É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convergência na norma do supremo.

Convergência uniforme e integrais

Seja $f_{n}(x)\,$ funções integráveis convergindo uniformemente para $f(x)\,$, então $f\,$ é integrável e:

$\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx\to \int _{a}^{b}f(x)dx\,$

este resultado é válido tanto para a integral de Riemann como para a integral de Lebesgue.

Continuidade e diferenciabilidade

• A convergência uniforme preserva continuidade, ou seja, o limite uniforme de uma seqüência de funções contínuas é uma função contínua.

• Observe no entanto que a diferenciabilidade não é preservada, podendo uma seqüência de funções deriváveis convergir uniformemente para uma função contínua que não é diferenciável em nenhum ponto. Um exemplo desta patologia (matemática) é a construção da função de Weierstrass. De fato, qualquer função contínua pode ser aproximada uniformemente por funções suaves, veja teorema de Stone-Weierstrass.

• Pode acontecer de uma seqüência de funções suaves convergir uniformemente mas a seqüência das derivadas não convergir em nenhum ponto, eis um exemplo:

$f_{n}(x)={\frac {\sin nx}{\sqrt {n}}}\,$

cujas derivadas são:

$f_{n}'(x)={\sqrt {n}}\cos nx\,$

Que $f_{n}(x)\,$ converge uniformemente para zero é fácil ver pois $|f_{n}(x)|<{\frac {1}{\sqrt {n}}}\,$. Podemos provar que não existe um $x\,$ tal que $f_{n}'(x)\,$ é limitado. Para tal, suponha que exista tal $x\,$, como ${\sqrt {n}}\to \infty \,$, $\cos(nx)\to 0\,$ e portanto existe um $N>0\,$ com a propriedade:

$n>N\Longleftarrow |\cos(nx)|<{\frac {1}{2}}\,$, mas então:

$|\cos(2nx)|=|2cos^{2}nx-1|=1-2cos^{2}nx>{\frac {1}{2}}\,$, o que contradiz a convergência.

• Pode acontecer de $f_{n}(x)\,$ convergir uniformemente e $f_{n}'(x)\,$ pontualmente mas o limites das derivadas ser diferente da derivado do limite. Exemplo:

$f_{n}(x)={\frac {x}{1+n^{2}x^{2}}},x\in [-1,1]$

Como $|f_{n}(x)|\leq {\frac {1}{2n}}\,$, $f_{n}\,$ convege uniformemente para zero. A derivado do limite é, portanto, zero. Mas o limites das derivadas é:

$\lim _{n\to \infty }f_{n}'(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-n^{2}x^{2}}{\left(1+n^{2}x^{2}\right)^{2}}}=\left\{{\begin{array}{lr}1,~~x=0\\0,~~x\neq 0\end{array}}\right.\,$

• Para preservar a diferenciabilidade, precisamos de mais hipóteses sobre a convergência das derivadas, tal como convergência uniforme. Veja espaço de Hölder.

Ver também

• Convergência pontual
• Norma do supremo
• Espaço de Hölder