Convergência uniforme

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Em matemática, em particular na análise funcional, a convergência uniforme é um conceito mais forte que a convergência pontual, para definir se o limite de uma sequência de funções existe.

Definição[editar | editar código-fonte]

Como comparação, uma sequência de funções converge pontualmente para uma função se, e somente se:

A sequência converge uniformemente quando:

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada um N que se aplica a todo x.

É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convegência na norma do supremo.

Convergência uniforme e integrais[editar | editar código-fonte]

Seja funções integráveis convergindo uniformemente para , então é integrável e:

este resultado é válido tanto para a integral de Riemann como para a integral de Lebesgue.

Continuidade e diferenciabilidade[editar | editar código-fonte]

  • A convergência uniforme preserva continuidade, ou seja, o limite uniforme de uma seqüência de funções contínuas é uma função contínua.
  • Pode acontecer de uma seqüência de funções suaves convergir uniformemente mas a seqüência das derivadas não convergir em nenhum ponto, eis um exemplo:

cujas derivadas são:

Que converge uniformemente para zero é fácil ver pois . Podemos provar que não existe um tal que é limitado. Para tal, suponha que exista tal , como , e portanto existe um com a propriedade:

, mas então:
, o que contradiz a convergência.
  • Pode acontecer de convergir uniformemente e pontualmente mas o limites das derivadas ser diferente da derivado do limite. Exemplo:

Como , convege uniformemente para zero. A derivado do limite é, portanto, zero. Mas o limites das derivadas é:

  • Para preservar a diferenciabilidade, precisamos de mais hipóteses sobre a convergência das derivadas, tal como convergência uniforme. Veja espaço de Hölder.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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