Cálculo vetorial

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Cálculo vectorial (AO 1945: Cálculo vectorial) configura uma área da matemática que trata da diferenciação e integração de campos vectoriais, geralmente no espaço euclidiano, . O termo "Cálculo vectorial" frequentemente é usado errôneamente como sinônimo de cálculo multivariável, área que o abrange, assim como diferenciação parcial e integrais múltiplas. O Cálculo vectorial possui um importante papel na geometria diferencial e no estudo de equações diferenciais parciais. Ele é extensivamente utilizado em Física e Engenharia, mais explicitamente na descrição de campos eletromagnéticos, campos gravitacionais e mecânica dos fluidos.

História[editar | editar código-fonte]

O Cálculo vectorial foi desenvolvido a partir da análise quaterniônica por Josiah W. Gibbs e Oliver Heaviside em torno do final do século 19. Grande parte de sua notação e terminologia foi estabelecida por Gibbs e Edwin B. Wilson, em seu livro Vector Analysis, publicado em 1901.

Definições e objetos[editar | editar código-fonte]

Campo escalar[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Campo escalar

Um campo escalar associa um escalar a todo ponto no espaço. O escalar pode ser tanto um número matemático ou uma quantidade física.Campos escalares têm de ser independentes de coordenadas, significando que quaisquer dois observadores usando o mesmo sistema de unidades concordarão no valor do campo em um mesmo ponto absoluto no espaço (ou espaçotempo) quaisquer que sejam seus respectivos pontos de origem. Campos escalares são geralmente utilizados na física, por exemplo, para indicar a distribuição de temperatura pelo espaço ou a pressão do ar.

Campo vectorial[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Campo vectorial

Um campo vectorial ou campo de vectores é uma construção em cálculo vectorial que associa um vector a todo ponto de uma variedade diferenciável (como um subconjunto do espaço euclidiano, por exemplo). Isso é, um campo de vectores é uma função vectorial que associa um vector a cada ponto do espaço , generalizadamente dada por .

Campos vectoriais são geralmente utilizados na física para indicar, por exemplo, a velocidade e a direção de um fluido ou um corpo se movendo pelo espaço, ou o comprimento e direção de alguma força, tal como a força magnética ou gravitacional, com seus valores de ponto em ponto.

Vectores e pseudo vectores[editar | editar código-fonte]

Em tratamentos mais rigorosos, pode-se distinguir campos pseudovectoriais e campos pseudoescalares, os quais são idênticos a campos vectoriais e campos escalares, com a exceção de que seus sinais são trocados sob uma circunstância de reversão de orientação.

O rotacional de um campo vectorial, por exemplo, é considerado um campo pseudovectorial e, se seu sinal é alterado, o rotacional apontará na direção oposta.

Essa distinção é esclarecida e elaborada na álgebra geométrica, como descrita abaixo.

Álgebra vectorial[editar | editar código-fonte]

As operações algébricas em Cálculo vectorial são referidas como álgebra vectorial, sendo definida para um espaço vectorial e globalmente aplicada a um campo vectorial. As operações algébricas elementares são:

Operação Notação Descrição
Adição de vectores Adição de dois campos vectoriais, resultando em um campo vectorial.
Multiplicação por escalar Multiplicação de um campo escalar e um campo vectorial, resultando em um campo vectorial.
Produto interno Multiplicação de dois campos vectoriais, resultando em um campo escalar.
Produto externo Multiplicação de dois vectores no , resultando em um (pseudo) campo vectorial.

Operadores e teoremas[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Identidades do cálculo vectorial

Operadores diferenciais[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Gradiente, Divergente, Rotacional e Laplaciano

O cálculo vectorial estuda diferentes operadores diferenciais definidos em campos escalares ou vectoriais, que geralmente são expressados em termos do operador del (), também conhecido como "nabla". Os três operadores vectoriais elementares são:

Operação Notação Descrição Analogia notacional Domínio/Imagem
Gradiente Mensura a taxa e a direção de crescimento em um campo escalar. Multiplicação por escalar. Produz um campo vectorial a partir de um campo escalar.
Divergente Mensura o escalar de uma fonte ou sumidouro em um dado ponto de um campo vectorial. Produto interno. Produz um campo escalar a partir de um campo vectorial.
Rotacional Mensura a tendência de rotação em torno de um ponto que encontra-se em um campo vectorial. Produto externo. Produz um campo (pseudo) vectorial a partir de um campo vectorial.

Naturalmente, os dois operadores de Laplace também são muito utilizados:

Operação Notação Descrição Domínio/Imagem
Laplaciano Mensura a diferença entre o valor do campo escalar com a sua média através de esferas infinitesimais. Não altera a natureza do campo.
Laplaciano vectorial Mensura a diferença entre o valor do campo vectorial e a sua média através de esferas infinitesimais. Não altera a natureza do campo.

Teoremas de integrais[editar | editar código-fonte]

Os três operadores vectoriais elementares possuem teoremas correspondentes que generalizam o teorema fundamental do cálculo para dimensões superiores:

Teorema Afirmação Descrição
Teorema do Gradiente A integral de linha do gradiente de um campo escalar é igual à diferença de valores do campo escalar nos limites de integração. É análogo ao teorema fundamental do cálculo.
Teorema da Divergência A integral do divergente de um campo vectorial sobre um sólido dimensional é igual ao fluxo do campo vectorial através da superfície fechada de dimensões que delimita o sólido.
Teorema do Rotacional ou Teorema de Kelvin-Stokes A integral do rotacional de um campo vectorial sobre uma superfície no é igual à integral de linha do campo vectorial sobre a curva fechada que delimita a superfície.

Em duas dimensões, os teoremas da Divergência e do rotacional reduzem-se ao Teorema de Green:

Teorema Afirmação Descrição
Teorema de Green A integral do divergente ou rotacional de um campo vectorial sobre alguma região do é igual ao fluxo ou integral de linha do campo vectorial sobre a curva fechada que delimita a região.

Aplicações do cálculo vectorial[editar | editar código-fonte]

Aproximação linear[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Aproximação linear

A Aproximação linear consiste em um recurso utilizado que substitui uma função de maior complexidade por outra função, linear, que apresenta uma imagem semelhante na vizinhança do ponto analisado. Dada uma função diferenciável com valores reais, é possível aproximar para próximo de através da relação .

O lado direito representa a equação do plano tangente ao gráfico de em .

Otimização[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Otimização

Para uma função continuamente diferenciável de múltiplas variáveis reais, um ponto configura um ponto crítico se todas as derivadas parciais da função em P são iguais a zero ou, em outras palavras, se o seu gradiente é nulo. Os valores críticos são os valores da função nos pontos críticos.

Se a função é suave, ou pelo menos continuamente diferenciável duas vezes, o ponto crítico pode ser tanto um máximo local, um mínimo local ou um ponto de sela.

Física e engenharia[editar | editar código-fonte]

Cálculo vectorial é especialmente útil no estudo de:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Caparrini, Sandro (2002). The discovery of the vector representation of moments and angular velocity. Archive for History of Exact Sciences 56:151–81. (em inglês). [S.l.: s.n.] 
  • Crowe, Michael J. (1967). A History of Vector Analysis. The Evolution of the Idea of a Vectorial System (em inglês) Reprint edition ed. [S.l.]: Dover Publications. ISBN 0-486-67910-1 
  • Marsden, J. E. (1976). Vector Calculus (em inglês). [S.l.]: W. H. Freeman & Company. ISBN 0-7167-0462-5 
  • Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
  • Barry Spain (1965). Vector Analysis. 2nd edition.
  • Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

Referências[editar | editar código-fonte]

§ Esta página foi traduzida e adaptada da página análoga norte-americana.

§ Projeto REAMAT. Universidade Federal do Rio Grande do Sul.