Teste da integral

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O teste da integral (português brasileiro) ou critério do integral (português europeu) é um método para estabelecer a convergência de séries numéricas comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada. É um dos testes de convergência mais precisos entre os possiveis.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja uma série de números positivos com e uma função com as seguintes propriedades:

  • ;
  • é decrescente;
  • .

Então converge se e somente se converge. Geralmente

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Como é decrescente e , podemos enquadrar os termos da seguinte forma:

, se

integrando no intervalo, temos:

Somando até :

Agora basta observar que implica que a integral ou tende a infinito ou converge. E resultado segue pelo teste da comparação.

Outros enunciados[editar | editar código-fonte]

O Critério do Integral faz uma "ponte" entre dois importantes capítulos da base matemática, o Cálculo Integral e as Séries.
Ele pode ser enunciado sob a condição única da monotonia!

  • É frequente encontrarmos enunciados que exigem, para além da positividade e da monotonia decrescente, que a função seja contínua, talvez a pensar numa condição de integrabilidade, mas as funções monótonas num intervalo limitado e fechado são limitadas nesse intervalo e portanto são integráveis, pelo que a continuidade não é, de todo, necessária.
    As demonstrações mais conhecidas, como a que se encontra acima, não fazem qualquer referência à condição de integrabilidade (nós podemos dar estas demonstrações abreviadas aos alunos, mas não podemos deixar de os sensibilizar para o facto de elas não estarem completas).
  • Pode mostrar-se que a positividade também não é necessária, pois as funções monótonas têm sempre limite - se a função é decrescente e o limite é nulo então ela é necessariamente positiva e se o limite não é nulo, falham as condições necessárias de convergência duma série e de um integral impróprio.
  • Também a exigência da função ter que ser decrescente não é necessária, pois são da mesma natureza as séries e os integrais com f ou com -f.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considera a Série de Dirichlet com expoente :

e considere a função:

é sabido que:

Portanto, tal série converge.