Teorema de Rolle

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Em matemática, nomeadamente em análise, o teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua definida em um intervalo fechado e diferenciável em se então existe algum ponto em onde a tangente ao gráfico de é horizontal, isto é,[1][2]

Colocando em linguagem comum, o teorema afirma que, em qualquer função contínua de intervalo delimitado por pontos e de mesma altura, ou mesma coordenada vertical, há algum ponto C em que a derivada da função, isto é, sua taxa de variação instantânea é nula.[3]

Intuição[editar | editar código-fonte]

Ilustração do Teorema de Rolle

O enunciado do teorema é intuitivo considerando a exigência de continuidade da própria derivada de uma função : se e são as coordenadas horizontais de pontos e de mesma altura, extremos de um intervalo, então a função cresce, decresce ou permanece constante para , nas vizinhanças de . Se a função é constante, o resultado é trivial: sua derivada é nula em todo o intervalo. Se cresce, sabe-se que eventualmente tem de decrescer para retornar à mesma coordenada vertical do ponto para chegar ao ponto . Por ser contínua nesse intervalo, sua derivada também o é; e como a derivada começa positiva nas vizinhanças de e, conforme o valor de aumenta, torna-se negativa antes de chegar ao ponto , é necessário que exista um ponto tal que . O mesmo raciocínio é aplicável a uma função de derivada inicialmente negativa e posteriormente positiva.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Como é contínua, então, pelo teorema de Weierstrass, admite no intervalo um máximo e um mínimo

Se então é constante no intervalo considerado, e consequentemente a derivada é em todos os pontos, pelo que o teorema é verdadeiro neste caso.

Suponha-se agora que

Então a função admite no interior do intervalo um máximo, um mínimo ou até os dois.

Admita-se que admite o valor máximo no ponto tal que

Então para valores de vem e também e portanto

Como é diferenciável no intervalo, vem

Para valores de à direita de

e e portanto

e também,

Mas então conclui-se que

e

o que só é possível se

provando-se assim o teorema.

A demonstração seria idêntica se em vez de um ponto de máximo admitíssemos a existência de um ponto de mínimo no intervalo.[4]

Corolários[editar | editar código-fonte]

  1. Resulta do teorema de Rolle que, se for um intervalo de R e se for uma função derivável de em R, então entre quaisquer dois zeros de há pelo menos um zero da derivada. Isto pode ser usado para provar por indução que qualquer polinómio de grau com coeficientes reais tem, no máximo, raízes (excepto, naturalmente, no caso do polinómio nulo).
  2. Se for um intervalo de R e se for uma função derivável de em R, entre dois zeros consecutivos da derivada não pode haver mais do que um zero de (podendo não existir nenhum).[5]

Referências

  1. «Cálculo 1 - Cap.XVI. Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio (TVM)». UFF 
  2. Santos, André Gustavo de A. «Teorema de Rolle e aplicações». SCRIBD 
  3. Friedli, Sacha. «O Teorema de Rolle». e-scola 
  4. Maria Augusta Ferreira Neves, Matemática 12º. Livro de texto. Porto Editora, Porto, 1986, pp. 210-211
  5. Maria Augusta Ferreira Neves, Matemática 12º. Livro de texto. Porto Editora, Porto, 1986, pp. 212-213
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