Teorema de Rolle

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Ilustração do Teorema de Rolle

Em matemática, nomeadamente em Análise, o teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), se f(a)=f(b) então existe algum ponto c em (a,b) onde a tangente ao gráfico de f é horizontal, isto é,

f'(c)=0.\,

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Como f é contínua, então, pelo teorema de Weierstrass, admite no intervalo [a,b] um máximo M e um mínimo m.

Se M = m = f(a) = f(b) então f é constante no intervalo considerado, e consequentemente a derivada é 0 em todos os pontos, pelo que o teorema é verdadeiro neste caso.

Suponha-se agora que M \neq m

Então a função admite no interior do intervalo [a,b] um máximo, um mínimo ou até os dois.

Admita-se que f admite o valor máximo M no ponto c tal que a<c<b.

Então para valores de x<c\, vem x-c<0\, e também f(x)-f(c)\le 0 e portanto

\frac {f(x)-f(c)}{x-c} \ge 0.

Como f é diferenciável no intervalo, vem

\lim_{x \to c^-}\frac {f(x)-f(c)}{x-c} = f'(c) \ge 0.

Para valores de c à direita de x,

x-c>0\, e f(x)-f(c)\le 0 e portanto

\frac {f(x)-f(c)}{x-c} \le 0,

e também,

\lim_{x \to c^+}\frac {f(x)-f(c)}{x-c} = f'(c) \le 0.

Mas então conclui-se que

f'(c) \ge 0 e f'(c) \le 0,

o que só é possível se

f'(c) = 0,

provando-se assim o teorema.

Outra versão da Demonstração do Teorema de Rolle

Veremos uma versão apresentada por Adriano Chagas para esclarecer a demonstração do Teorema de Rolle. Usando como base os enunciados dos Teoremas do Valor Extremo e o Teorema de Fermat; utilizando estes resultados sem suas respectivas demonstrações.  

Teorema do Valor Extremo: Se f for uma função real contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume um valor máximo absoluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d) para certo número c e d em [a, b].

Teorema de Fermat: Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, e f’(c) existir, então f’(c) = 0.

O Teorema de Rolle:

Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:

1.                     f é contínua no intervalo fechado [a,b].

2.                     f é diferenciável no intervalo aberto (a,b).

3.                     f(a) = f(b)  

Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c) = 0.  

Demonstração:

 Em primeiro lugar, observemos que se f é uma função constante para todo x no intervalo [a,b], então f'(x) = 0 no interior do intervalo. Logo, c pode ser qualquer ponto do intervalo (a,b).

Se f não for constante, ela terá que assumir valores maiores ou menores que f(a) = f(b).

Suponha que f(x) > f(a), para algum x em (a, b). Pelo Teorema do Valor Extremo, a função f assume um valor máximo em algum ponto de [a, b]. Como f(a) = f(b) ela deve assumir esse valor em um número c no intervalo aberto (a, b). Então f tem um máximo local em c e f é diferenciável em c (pela hipótese de que f é diferenciável no intervalo (a, b)). Portanto, f’(c) = 0 pelo Teorema de Fermat.

Suponha que f(x) < f(a), para algum x em (a, b). pelo Teorema do Valor Extremo, a função f assume um valor mínimo em algum ponto de [a, b]. Como f(a) = f(b) ela deve assumir esse valor em um número c no intervalo aberto (a, b). Então f tem um mínimo local em c e f é diferenciável em c (pela hipótese de que f é diferenciável no intervalo (a, b)). Portanto, f’(c) = 0 pelo Teorema de Fermat.

Corolários[editar | editar código-fonte]

  1. Resulta do teorema de Rolle que, se I for um intervalo de R e se f for uma função derivável de I em R, então entre quaisquer dois zeros de f há pelo menos um zero da derivada. Isto pode ser usado para provar por indução que qualquer polinómio p(x) de grau n com coeficientes reais tem, no máximo, n raízes (excepto, naturalmente, no caso do polinómio nulo).
  2. Se I for um intervalo de R e se f for uma função derivável de I em R, entre dois zeros consecutivos da derivada não pode haver mais do que um zero de f (podendo não existir nenhum).[1]

Referências

  1. Maria Augusta Ferreira Neves, Matemática 12º. Livro de texto. Porto Editora, Porto, 1986, pp. 212-213