Teste de Abel

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Em matemática, o teste de Abel (Veja Niels Henrik Abel) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n

onde as duas propriedades são verificadas:

  • \sum_{n=1}^{N}a_n\, converge
  • {bn} é monótona e \lim_{n \to \infty}b_n =b_{\infty}\neq \pm\infty\,

Uma demonstração para o teste de Abel pode ser obtida como um caso particular do teste de Dirichlet, escrevendo b_n= (b_n-b_{\infty})+b_{\infty}\,, assim:

\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n=b_\infty\sum_{n=1}^{\infty}a_n+ \sum_{n=1}^{\infty}a_n (b_n-b_{\infty})

Exemplo[editar | editar código-fonte]

A série \sum_{n=1}^\infty\frac{(1/n-1)^n}{n}\, é convergente. Neste caso, defina:

a_n=\frac{(-1)^n}{n}

e

b_n=\left(1-1/n\right)^n

A série \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\, é convergente pelo teste da série alternada e a sequência b_n\, é monótona, decrescente e converge para e^{-1}\,.

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