Derivada direcional

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Em matemática, a derivada direcional de uma função multivariável diferenciável ao longo de um dado vetor v em um dado ponto x intuitivamente representa a taxa instantânea de variação da função, movendo-se através de x com uma velocidade especificada por v. Ela, portanto, generaliza a noção de derivada parcial, em que a taxa de mudança é tomada ao longo de uma curva em um sistema de coordenadas curvilíneo, com todas as outras coordenadas sendo constantes.

A derivada direcional é um caso especial da derivada de Gâteaux.

Notação[editar | editar código-fonte]

Seja τ uma curva cujo vetor tangente em algum ponto escolhido é v. A derivada  direcional de uma função f em relação a v pode ser representada das seguintes maneiras:

Definição[editar | editar código-fonte]

A derivada direcional de uma função da forma na direção tem por definição:

Também pode ser escrita como o produto escalar:

Essa definição foi estabelecida para duas dimensões, mas pode ser generalizada para três dimensões. Teremos, portanto, uma função de três variáveis, w = f (x, y, z), que pode ser representada graficamente num sistema de coordenadas retangulares.

Esse produto escalar entre o gradiente de f e um vetor unitário tem grandes implicações na matemática. Sejam algumas delas:

  • A derivada direcional será máxima e igual ao módulo do gradiente se o ângulo θ entre os vetores e for igual a zero.

  • A derivada direcional será mínima e igual a menos o módulo do gradiente se o ângulo θ entre os vetores e for igual a 180°.

  • A derivada direcional será nula se for uma curva de nível representada por e for um vetor tangente à curva de nível. Observando o produto escalar temos uma condição de perpendicularidade entre e , o que prova que o gradiente será normal à curva de nível .

Usando apenas a direção do vetor[editar | editar código-fonte]

O ângulo α entre a tangente A e a horizontal será máximo se o plano de corte contém a direção do gradiente de A.

Em um espaço Euclidiano, alguns autores[1] definem a derivada direcional como sendo relacionada a um vetor v arbitrário e não nulo depois de normalizado, sendo, pois, independente de sua magnitude e dependendo apenas de sua direção.

Esta definição fornece a taxa de crescimento de f por unidade de distância movida na direção dada por v. Neste caso, tem-se que

ou no caso de f ser diferenciável em x,

Restrição para um vetor unitário[editar | editar código-fonte]

No contexto de uma função em um espaço Euclidiano, alguns textos restringem o vetor v a ser um vetor unitário. Com esta restrição, ambas as definições acima são equivalentes.[2]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Muitas das propriedades familiares da derivada ordinária são mantidas para a derivada direcional. Estes incluem, para quaisquer funções f e g definidas e diferenciáveis em um ponto p, bem como em sua vizinhança:

  1. regra da soma:
  2. regra do fator constante: para qualquer constante c,
  3. regra do produto (ou regra de Leibniz):
  4. regra da cadeia: se g é diferenciável em p e h é diferenciável em g(p), daí

Em geometria diferencial[editar | editar código-fonte]

Seja M uma variedade diferenciável e p um ponto de M. Suponha que f é uma função definida em uma vizinhança de p, e diferenciável em p. Se v é um vetor tangente a M em p, então a derivada direcional de f ao longo de v, denotada alternativamente como df(v), (consulte a derivada Covariante), (consulte a Derivada de Lie), ou , pode ser definido como se segue. Deixe γ : [−1, 1] → M ser uma curva diferenciável com γ(0) = p e γ′(0) = v. Então a derivada direcional é definida por

Esta definição pode ser comprovada independentemente da escolha de γ, desde que γ seja selecionado da maneira descrita de modo que γ′(0) = v.

A derivada de Lie[editar | editar código-fonte]

A derivada de Lie de um campo de vetores ao longo de um campo de vetores é dada pela diferença de duas derivadas direcionais:

Em particular, para um campo escalar a derivada de Lie reduz-se à derivada direcional padrão:

O tensor de Riemann[editar | editar código-fonte]

Derivadas direcionais são usadas frequentemente em derivações introdutórias do tensor de curvatura de Riemann. Considere um retângulo curvado com um vetor infinitesimal δ ao longo de uma borda e δ′ ao longo da outra. Transladamos um covetor S ao longo de δ, em seguida, δ′ e, em seguida, subtraímos a translação ao longo de δ′ e, em seguida, de δ. Em vez de construir a derivada direcional usando derivadas parciais, usamos a derivada covariante. O operador de translação para δ é portanto

e para δ′,

A diferença entre os dois caminhos é, então,

Pode-se argumentar[3] que a não comutatividade das derivadas covariantes mede a curvatura da variedade:

onde R é o tensor de curvatura de Riemann e o sinal depende da convenção de sinais do autor.

Na teoria dos grupos[editar | editar código-fonte]

Translações[editar | editar código-fonte]

Na álgebra de Poincaré, podemos definir um operador de translação infinitesimal P como

(o i assegura que P é um operador autoadjunto). Para um deslocamento finito λ, a representação  unitária do espaço de Hilbert para translações é[4]

Usando a definição acima de operador de translação infinitesimal, vemos que o operador de translação finita é o exponencial de uma derivada direcional:

Este é um operador de translação, no sentido em que ele atua sobre funções multivariadas f(x) como

Rotações[editar | editar código-fonte]

O operador rotacional também contém uma derivada direcional. O operador rotacional de um ângulo θ, isto é, por uma quantidade θ=|θ| em torno de um eixo paralelo a =θ/θ é

Aqui L é o operador vetorial que gera SO(3):

Pode ser demonstrado geometricamente que uma rotação infinitesimal dextrógira altera a posição do vetor x por

Assim, nós esperaríamos de uma rotação infinitesimal:

Segue que

Seguindo o mesmo procedimento de exponenciação acima, chegamos no operador rotacional na posição base, que é o exponencial de uma derivada direcional:[8]

Derivada normal[editar | editar código-fonte]

Uma derivada normal é uma derivada direcional tomada na direção normal (isto é, ortogonal) a alguma superfície no espaço, ou, mais geralmente, ao longo de um campo vetorial normal a alguma hipersuperfície. Veja, por exemplo, a condição de contorno de Neumann. Se a direção normal é denotada por , então a derivada direcional de uma função f é às vezes denotada por . Em outras notações,

Na mecânica contínua de sólidos[editar | editar código-fonte]

Vários resultados importantes em mecânica contínua exigem as derivadas de vetores em relação aos vetores e de tensores em relação aos vetores e tensores.[9] A derivada direcional proporciona uma forma sistemática de encontrar essas derivadas.

As definições de derivadas direcionais para várias situações são dadas abaixo. Presume-se que as funções são suficientemente suaves para que as derivadas possam ser tomadas.

Derivadas de funções vetoriais com imagem escalar[editar | editar código-fonte]

Seja uma função com imagem real do vetor . Então a derivada de em relação a  na direção é definida como

para todos os vetores .

Propriedades:

  1. Se então
  2. Se então
  3. Se então

Derivadas funções vetoriais com imagem vetorial[editar | editar código-fonte]

Seja uma função, com imagem vetorial, do vetor . Então a derivada de em relação a  na direção é o tensor de segunda ordem definido como

para todos os vetores .

Propriedades:

  1. Se então
  2. Se então
  3. Se então

Derivadas de funções de tensores de segunda ordem com imagem escalar[editar | editar código-fonte]

Seja uma função com imagem real do tensor de segunda ordem . Então a derivada de em relação à na direção é o tensor de segunda ordem definido como

para todos os tensores de segunda ordem .

Propriedades:

  1. Se então
  2. Se então
  3. Se então

Derivadas de funções de tensores de segunda ordem com imagem tensorial[editar | editar código-fonte]

Seja uma função com imagem tensorial de segunda ordem do tensor de segunda ordem . Então a derivada de em relação à  na direção é o tensor de quarta ordem definido como

para todos os tensores de segunda ordem .

Propriedades:

  1. Se então
  2. Se então
  3. Se então
  4. Se então

Veja também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Hildebrand, F. B. Advanced Calculus for Applications. [S.l.: s.n.] ISBN 0-13-011189-9 
  • K.F. Riley; M.P. Hobson; S.J. Bence. Mathematical methods for physics and engineering. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-521-86153-3 
  • Strauch, I. Análise Vetorial em Dez Aulas.

Referências

  1. Thomas, George B. Jr.; and Finney, Ross L. (1979) Calculus and Analytic Geometry, Addison-Wesley Publ. Co., fifth edition, p. 593.
  2. Hughes-Hallet, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (1 de janeiro de 2012). Calculus : Single and multivariable. [S.l.]: John wiley. 780 páginas. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012 
  3. Zee, A. (2013). Einstein gravity in a nutshell. Princeton: Princeton University Press. p. 341. ISBN 9780691145587 
  4. Weinberg, Steven (1999). The quantum theory of fields Reprinted (with corr.). ed. Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521550017 
  5. Zee, A. (2013). Einstein gravity in a nutshell. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691145587 
  6. Mexico, Kevin Cahill, University of New (2013). Physical mathematics Repr. ed. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211 
  7. Edwards, Ron Larson, Robert, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable 9th ed. Belmont: Brooks/Cole. ISBN 9780547209982 
  8. Shankar, R. (1994). Principles of quantum mechanics 2nd ed. New York: Kluwer Academic / Plenum. p. 318. ISBN 9780306447907 
  9. J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]