Tensor de curvatura de Riemann

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Em geometria diferencial, tensor de curvatura é uma das noções métricas mais importantes. Um tensor de curvatura é uma generalização da curvatura de Gauss em dimensões mais altas (dois exemplos disto são o tensor de Riemann que se desenvolve neste artigo e o tensor de Ricci).

A geometria infinitesimal das variedades de Riemann com dimensão ≥ 3 é demasiado complicada para ser descrita totalmente por um número em um ponto dado (tal como sucede quando a dimensão é menor ou igual a 2). Assim em 2 dimensões a curvatura pode ser representada por um número escalar (ou tensor de ordem zero), em 3 dimensões a curvatura pode ser representada por um tensor de segundo (como por exemplo o tensor de Ricci). Entretanto para dimensões totalmente gerais se necessita ao menos um tensor de quarta ordem (como o tensor de Riemann). Foi Riemann quem introduziu uma maneira de descrever completamente a curvatura em qualquer número de dimensões mediante um "pequeno monstro" de tensor, chamado tensor de Riemann.

Descrição[editar | editar código-fonte]

Definição geral[editar | editar código-fonte]

Seja uma variedade diferenciável dotada de uma conexão , definida em um ponto da variedade. O tensor de Riemann é o campo tensorial de tipo (1,3) que satisfaz a igualdade

,

em que são campos vetoriais em , sendo o colchete de Lie dos campos vetoriais. é linear em , de modo que o valor de em só depende dos valores de e em .[1] É importante destacar que o tensor de Riemann é algumas vezes representado pelo sinal oposto.

O teorema de Schwarz afirma que no espaço euclidiano as derivadas parciais comutam: este fato não é verdade em uma variedade com conexão arbitrária, e o tensor de Riemann leva isso em consideração. Então, é possível interpretar o tensor de curvatura de Riemann como o modo de medir o quanto a variedade difere de um espaço euclidiano, ou de um espaço de Minkowski no contexto da relatividade. Logo, um espaço é dito plano quando o tensor de Riemann é zero.

Considerando um sistema de coordenadas , em que e . Então, e portanto a fórmula simplifica como

,

ou seja, neste caso o tensor de curvatura mede a não-comutatividade da derivada covariante.[2]

Expressão em coordenadas[editar | editar código-fonte]

Considerando a base coordenada e sua correspondente dual , o tensor de Riemann pode ser expresso como

,

em que representa o produto interno.

Deste modo, a expressão pode ser representada em termos de coordenadas usando os símbolos de Christoffel. Valendo-se da convenção do somatório de Einstein, pode-se representá-lo como

,

sendo .[3]

Comutadores e índices[editar | editar código-fonte]

Dado um quadrivetor genérico , o tensor de Riemann surge da comutação da derivada covariante segunda desse quadrivetor, ou seja,[4]

,

no qual é o tensor de torção.

Considerando o caso em que não há torção, isto é,

,

o tensor de Riemann expressa a diferença medida da curvatura da variedade quando o vetor é transportado do ponto para um ponto , primeiramente ao longo de uma congruência, e depois seguindo outra congruência, ou vice-versa.[5]

Versão covariante[editar | editar código-fonte]

O tensor métrico covariante pode se usado para abaixar um índice do tensor de Riemann, assim como o tensor contravariante pode levantar um índice. Assim, a versão completamente covariante do tensor de curvatura do tipo (0,4) é dada por

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Simetrias algébricas[editar | editar código-fonte]

O tensor de Riemann é antissimétrico nos dois últimos índices, ou seja,

,
.

Na sua forma completamente covariante, o tensor de Riemann é antissimétrico em relação à troca dos dois primeiros índices, isto é,

,

e é simétrico em relação à troca do primeiro par de índices com o segundo:

.

Primeira identidade de Bianchi[editar | editar código-fonte]

Na ausência de torção, temos:

.

Esta relação também pode ser escrita mais como

,

em que indica uma antissimetrização nos índices. Assim, deve-se efetuar uma soma sobre todas as permutações dos três últimos índices, com um sinal correspondente à paridade da permutação. Resultando em 6 termos, mas que podem ser acoplados em virtude das propriedades algébricas descritas acima.

Componentes independentes[editar | editar código-fonte]

Embora o tensor de Riemann tenha componentes, em que é a dimensão da variedade sobre qual o tensor é definido, as relações descritas anteriormente reduzem este número a componentes independentes. Para duas, três e quatro dimensões, o número de componentes independentes é respectivamente 1, 6 e 20.[6]

Segunda identidade de Bianchi[editar | editar código-fonte]

A segunda identidade de Bianchi é parecida com a primeira, mas leva em consideração a derivada covariante do tensor de Riemann. Na ausência de torção, a identidade possui a seguinte forma:

.

Essa igualdade pode ser escrita de forma mais concisa como[7]

.

Tensor de curvatura de Ricci[editar | editar código-fonte]

O tensor de curvatura de Ricci é a contração do primeiro e terceiro índice do tensor de Riemann.

Referências

  1. S. W. Hawking; G. F. R. Ellis (1973). The large scale structure of space-time. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 35–36. ISBN 0-521-09906-4 
  2. Mandredo P. do Carmo (2015). Geometria Riemanniana 5ª ed. Rio de Janeiro: IMPA. pp. 99–104. ISBN 978-852440036-0 
  3. Mikio Nakahara (2003). Geometry, topology and physics 2ª ed. [S.l.]: IOP Publishing. pp. 273–374. ISBN 0-7503-0606-8 
  4. Sean Carroll (2004). Spacetime and Geometry. San Francisco: Addison Wesley. pp. 121–123. ISBN 0-8053-8732-3 
  5. Luciano Rezzolla; Olindo Zanotti (2013). Relativistic Hydrodynamics. Oxford: Oxford University Press. pp. 41–46. ISBN 978-0-19-852890-6 
  6. Ray D'Inverno (1992). Introducing Einstein's Relativity. Nova Iorque: Oxford University Press. pp. 86–87. ISBN 0-19-859686-3 
  7. Sean Carroll (2004). Spacetime e Geometry. San Francisco: Addison Wesley. pp. 126–128. ISBN 0-8053-8732-3