Produto tensorial

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Em matemática, o produto tensorial, simbolizado[1] por , pode ser aplicado em diferentes contextos a vetores, matrizes, tensores, espaços vetoriais, álgebras, espaços vetoriais topológicos, e módulos. Em cada caso o significado do símbolo é o mesmo: a operação bilinear mais geral. Em alguns contextos, este produto é também referido como sendo produto externo. O termo "produto tensorial" é também usado em relação a categorias monoidais.

Produto tensorial sobre espaços vetoriais[editar | editar código-fonte]

Sejam e espaços vetoriais sobre o corpo . Um produto tensorial de e é um par , onde é um espaço vetorial sobre o corpo , e é uma aplicação bilinear que satisfaz a seguinte propriedade universal:

Para todo espaço vetorial sobre e para toda bilinear, existe uma única linear tal que

, e .

É usual também encontrarmos a seguinte notação , para indicar que é o espaço vetorial sobre o corpo resultante do produto tensorial .

Pré-requisitos: o espaço vetorial livre[editar | editar código-fonte]

A construção do espaço requer a noção de espaço vetorial livre em algum conjunto . Os elementos do espaço vetorial são expressos da forma

Onde os coeficientes são elementos de um corpo e os são elementos arbitrários de . O símbolo de soma e os pontos são puramente notações formais. A adição de tais somas lineares formais, não significa que os elementos de são somados, e nem que um elemento de seja realmente multiplicado por um elemento . Em vez disso, por exemplo

se é diferente para todo elemento que aparece na primeira soma. Portanto, o produto (multiplicação por escalar) das somas lineares formais acima com algum elemento em é definida como

Isto conclui a definição de espaço vetorial . Por exemplo, se possui 3 elementos, então é um espaço vetorial 3- dimensional.

Definição[editar | editar código-fonte]

Dados dois espaços vetoriais e , o Produto cartesiano é o conjunto dos pares ordenados , tais que e . (Este produto cartesiano é também um espaço vetorial). O produto tensorial é definido como um certo espaço vetorial quociente , que é um espaço vetorial livre sobre o produto cartesiano.

Notas e referências

  1. O símbolo foi usado primordialmente pelos fenícios, na letra ṭēth, mas a moderna notação é presumivelmente uma modificação do sinal de multiplicação ×.

Referências[editar | editar código-fonte]