Produto exterior (cunha)

Em matemática, o produto exterior, também conhecido como produto cunha, é uma antissimetrização (alternação) do produto tensorial. O produto exterior é uma multiplicação associativa e distributiva de funções multilineares antissimétrica que seja anticomutativo para as funções com número ímpar de variáveis e comutativo de outra maneira. A teoria sistemática inicia na construção da potência exterior para um espaço vetorial.

Embaralhamentos

Se $\nu _{1},\ldots ,\nu _{r}$ são números naturais maiores que zero, um $(\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})$-embaralhemento é uma permutação $\sigma \in \operatorname {Sym} (\nu _{1}+\ldots +\nu _{r})$ tal que as restrições de $\sigma$ a cada bloco $B_{j}=\{\nu _{1}+\ldots +\nu _{j-1}+1,\ldots ,\nu _{1}+\ldots +\nu _{j}\}\subset \{1,2\ldots ,\nu _{1}+\ldots +\nu _{r}\}$, $j=1,2,\ldots ,r$, são crescentes, isto é, $\sigma (1+\nu _{1}+\ldots +\nu _{j-1})<\sigma (1+\nu _{1}+\ldots +\nu _{j-1}+1)<\ldots <\sigma (\nu _{1}+\ldots +\nu _{j}-1)<\sigma (\nu _{1}+\ldots +\nu _{j})$. É claro que $\operatorname {Sh} (1,1,\ldots ,1)={\mathfrak {S}}_{n}$. Considere o subgrupo $H\leq {\mathfrak {S}}_{\nu _{1}+\ldots +\nu _{r}}$ consistindo daquelas permutações que estabilizam os conjuntos $B_{j}$. Claramente, $H\cong {\mathfrak {S}}_{\nu _{1}}\times \cdots \times {\mathfrak {S}}_{\nu _{r}}$. O conjunto de $(\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})$-embaralhementos será denotado por $\operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})$ (shuffles). Temos uma associação de $\operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})$ em $H\backslash {\mathfrak {S}}$, o espaço de classes $\mathrm {mod} \,H$ dada pela restrição da sobrejeção canônica. Trata-se de uma bijeção. Em outras palavras, $\operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})$ é uma transversal para $H$ em ${\mathfrak {S}}$. Em particular, $\operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})$ tem ${\frac {(\nu _{1}+\ldots +\nu _{r})!}{\nu _{1}!\cdot \nu _{2}!\cdots \nu _{r}!}}$ elementos.

Note que podemos considerar $\operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})\subset {\mathfrak {S}}_{\nu _{1}+\ldots +\nu _{r+1}}$. Feita essa identificação, temos uma bijeção $\operatorname {Sh} (\nu _{1}+\ldots +\nu _{r},\nu _{r+1})\times \operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})\to \operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r+1})$ dada por $(\sigma ,\tau )\mapsto \sigma \tau$. Note que de fato a imagem está contida em $\operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r+1})$. Essa associação é injetiva. Por comparação de número de elementos, é uma bijeção.

O produto exterior

Fixe um espaço vetorial sobre um corpo qualquer (até mesmo de característica positiva). Recorde que uma $k$-forma alternada em $V$ é uma função multilinear alternada $\underbrace {V\times V\times \cdots \times V} _{k}\to F$. Multilinear significa linearidade em cada argumento; dizer que é uma função alternada é o mesmo que dizer que é nula a imagem de qualquer $k$-tupla em que ocorre um par consecutivo de entradas iguais. Equivalentemente, temos a

Proposição. Uma função $k$-linear é alternada se, e somente se, é nula a imagem de qualquer $k$-tupla em que ocorram pelo menos duas entradas iguais.

Uma direção é óbvia. Devemos mostrar que se for nula a imagem de qualquer $k$-tupla em que ocorra um par consecutivo de entradas iguais, então será nula a imagem de qualquer $k$-tupla em que ocorram pelo menos duas entradas iguais. Seja $T$ uma forma $k$-linear que satisfaz a hipótese. Se $\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}$, definimos a função multilinear $\sigma (T)$ como $\sigma (T)(v_{1},\ldots ,v_{k})=T(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})$. Se $\tau$ é uma transposição intercalando dois índices consecutivos, da hipótese segue que $\tau (T)=-T=(\operatorname {sgn} \tau )\cdot T$. Vejamos por quê: faça $\tau =(i\,\,\,\,i+1)$, fixe $v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+2},\ldots ,v_{k}$ e defina $G(x,y)=T(v_{1},\ldots ,v_{i-1},x,y,v_{i+2},\ldots ,v_{k})$. Temos que $G(x+y,x+y)=0$; já que $T$ é multilinear, $G$ é bilinear, logo $0=G(x,x)+G(x,y)+G(y,x)+G(y,y)=G(x,y)+G(y,x)$, donde $G(x,y)=-G(y,x)$. Isso mostra que $\tau (T)=(\operatorname {sgn} \tau )\cdot T$. Note agora que $\sigma (\sigma ^{\prime }(T))=(\sigma ^{\prime }\sigma )(T)$. Então se $\sigma (T)=(\operatorname {sgn} \sigma )\cdot T$ e $\sigma ^{\prime }(T)=(\operatorname {sgn} \sigma ^{\prime })\cdot T$, segue que $(\sigma \sigma ^{\prime })(T)={\bigl (}\operatorname {sgn} (\sigma \sigma ^{\prime }){\bigr )}\cdot T$. Agora usamos o seguinte fato da teoria básica dos grupos simétricos: ${\mathfrak {S}}_{k}$ é gerado por transposições que intercalam elementos consecutivos. Com isso, temos que $\sigma (T)=(\operatorname {sgn} \sigma )\cdot T$ para toda permutação $\sigma$. Com uma transposição, deixamos adjacentes quaisquer dois índices; logo $-T(v_{1},\ldots ,x,\ldots ,x,\ldots ,v_{k})=0$, finalizando a prova.

Podemos agora definir:

(Produto exterior). Se $\omega$ é uma $k$-forma alternada e $\theta$ é uma $\ell$-forma alternada, então definimos a $(k+\ell )$-forma $\omega \wedge \theta$ por

$\omega \wedge \theta (v_{1},\ldots ,v_{k+\ell })=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (k,\ell )}(\operatorname {sgn} \sigma )\cdot \omega (v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})\theta (v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+\ell )})$.

Vejamos por que $\omega \wedge \theta$ é uma $(k+\ell )$-forma alternada: sejam $1\leq i<k+\ell$, $v_{i}\in V$, $v_{i+1}\in V$, com $v_{i}=v_{i+1}$. Devemos provar que $\omega \wedge \theta (v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{k+\ell })=0$. Particionaremos $\operatorname {Sh} (k,\ell )$ em quatro partes (disjuntas):

$P_{1}=\{\sigma \in \operatorname {Sh} (k,\ell )\mid \sigma ^{-1}(i)\leq k\,\,\mathbin {\&} \,\,\sigma ^{-1}(i+1)\leq k\}$

$P_{2}=\{\sigma \in \operatorname {Sh} (k,\ell )\mid \sigma ^{-1}(i)\geq k+1\,\,\mathbin {\&} \,\,\sigma ^{-1}(i+1)\geq k+1\}$

$P_{3}=\{\sigma \in \operatorname {Sh} (k,\ell )\mid \sigma ^{-1}(i)\leq k\,\,\mathbin {\&} \,\,\sigma ^{-1}(i+1)\geq k+1\}$

$P_{4}=\{\sigma \in \operatorname {Sh} (k,\ell )\mid \sigma ^{-1}(i)\geq k+1\,\,\mathbin {\&} \,\,\sigma ^{-1}(i+1)\leq k\}$.

$\operatorname {Sh} (k,\ell )=P_{1}\sqcup P_{2}\sqcup P_{3}\sqcup P_{4}$.

A soma sobre $P_{1}$ e a soma sobre $P_{2}$ se anulam, tendo em vista a alternância de $\omega$ e de $\theta$. Os conjuntos $P_{3}$ e $P_{4}$ estão em bijeção. Um vez que os índices são consecutivos, se $\sigma \in P_{3}$, então $(i\,\,\,\,i+1)\sigma \in P_{4}$ e vice-versa. Logo podemos tomar a bijeção $\sigma \mapsto (i\,\,\,\,i+1)\sigma$. Segue daí que $\omega \wedge \theta$ é alternante.

O produto exterior é associativo; isso é consequência da bijeção mencionada na seção anterior, $\operatorname {Sh} (k+\ell ,r)\times \operatorname {Sh} (k,\ell )\to \operatorname {Sh} (k,\ell ,r)$.

Para elementos do dual de $V$, $f_{1},\ldots ,f_{m}\in V^{\ast }$, por indução temos

$f_{1}\wedge f_{2}\wedge \cdots \wedge f_{m}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{m})=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (1,\ldots ,1)}(\operatorname {sgn} \sigma )\cdot f_{1}(\xi _{\sigma (1)})f_{2}(\xi _{\sigma (2)})\ldots f_{m}(\xi _{\sigma (m)})=\det {\bigl (}f_{i}(\xi _{j}){\bigr )}_{i,j}$.

Como consequência, temos a seguinte

Proposição. Se $e_{1},\ldots ,e_{n}$ é base para $V$, então denotando por $e^{1},\ldots ,e^{n}$ a base dual correspondente, o conjunto dos $e^{i_{1}}\wedge e^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}}$, com $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$, é base para o espaço das $k$-formas alternantes de $V$. Em particular, esse espaço tem dimensão $\textstyle {\binom {n}{k}}$.

De fato, dada uma $k$-forma alternante $\omega$, temos, de maneira única,

${\textstyle \omega =\sum \omega (e_{i_{1}},e_{i_{2}}\ldots ,e_{i_{k}})\,e^{i_{1}}\wedge e^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}}}$.

Fixado um vetor $\mathbf {u} \in V$, podemos definir a contração de uma forma $r$-linear $\omega$ por $\mathbf {u}$. Trata-se da forma $(r-1)$-linear $i_{\mathbf {u} }\omega$ definida por $i_{\mathbf {u} }\omega (v_{1},\ldots ,v_{r-1})=\omega (\mathbf {u} ,v_{1},\ldots ,v_{r-1})$.

É evidente que $i_{\mathbf {u} }\omega$ será alternada se $\omega$ o for.

Proposição. Sejam $\omega$ e $\theta$ formas alternadas, com $\omega$ uma $p$-forma. Vale a igualdade $i_{\mathbf {u} }(\omega \wedge \theta )=(i_{\mathbf {u} }\omega )\wedge \theta +{(-1)}^{p}\omega \wedge (i_{\mathbf {u} }\theta )$.

Prova. Seja $\theta$ uma $q$-forma alternada. Temos a seguinte bipartição: $\operatorname {Sh} (p,q)=Q_{1}\sqcup Q_{2}$, onde

$Q_{1}=\{\sigma \in \operatorname {Sh} (p,q)\mid \sigma (1)=1\}$

$Q_{2}=\{\sigma \in \operatorname {Sh} (p,q)\mid \sigma (p+1)=1\}$.

Note que $Q_{1}$ está em bijeção com $\operatorname {Sh} (p-1,q)$ via $\sigma \mapsto {\widetilde {\sigma \,}}$, onde ${\widetilde {\sigma \,}}(x)=\sigma (x+1)-1$ para $x=1,2,\ldots ,p+q-1$. Estenda ${\widetilde {\sigma \,}}$ a todo o conjunto $\{1,\ldots ,p+q\}$ fixando $p+q$. Temos ${\widetilde {\sigma \,}}=(p+q\,\,\,\,\,\,\,\,p+q-1\,\,\,\,\,\,\,\,\cdots \,\,\,\,\,\,\,\,1)\cdot \sigma \cdot (p+q\,\,\,\,\,\,\,\,p+q-1\,\,\,\,\,\,\,\,\cdots \,\,\,\,\,\,\,\,1)^{-1}$, logo $\operatorname {sgn} {\widetilde {\sigma \,}}=\operatorname {\operatorname {sgn} } \sigma$. Analogamente, $Q_{2}$ está em bijeção com $\operatorname {Sh} (p,q-1)$ via $\sigma \mapsto {\overline {\sigma }}$, onde ${\overline {\sigma }}(x)={\begin{cases}\sigma (x)-1&,x=1,\ldots ,p\\\sigma (x+1)-1&,x=p+1,\ldots ,p+q-1\end{cases}}$. Note: ${\overline {\sigma }}=(p+q\,\,\,\,\,\,\,\,p+q-1\,\,\,\,\,\,\,\,\cdots \,\,\,\,\,\,\,\,1)\cdot \sigma \cdot (p+1\,\,\,\,\,\,\,\,p+2\,\,\,\,\,\,\,\,\cdots \,\,\,\,\,\,\,\,p+q)$, donde $\operatorname {sgn} {\overline {\sigma }}={(-1)}^{p}\operatorname {sgn} \sigma$. (Para provar que são de fato bijeções, basta provar que são injetivas, pois $\vert \mathrm {Sh} (p-1,q)\vert +\vert \mathrm {Sh} (p,q-1)\vert =\vert \mathrm {Sh} (p,q)\vert$. Mas é óbvio que são injetivas). A proposição segue.

Proposição. Temos também $\omega \wedge \theta ={(-1)}^{pq}\theta \wedge \omega$.

Já que $\sigma \mapsto \sigma \tau$ é uma bijeção $\operatorname {Sh} (p,q)\to \operatorname {Sh} (q,p)$, onde $\tau \in {\mathfrak {S}}_{p+q}$ é definida por $\tau (i)={\begin{cases}i+p&,i=1,2,\dots ,q\\i-q&,i=q+1,q+2,\dots ,q+p\end{cases}}$. É fácil identificar os pares de inversão de $\tau$; há $pq$ deles, portanto $\operatorname {sgn} \tau ={(-1)}^{pq}$.

O alternador

Para corpos de característica zero, temos a transformação linear $\operatorname {Alt}$ que vai do espaço das formas $k$-lineares no espaço das $k$-formas alternantes sobre $V$. Definimos

$\operatorname {Alt} (S)(\xi _{1},\ldots ,\xi _{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}(\operatorname {sgn} \sigma )\cdot S(\xi _{\sigma (1)},\ldots ,\xi _{\sigma (k)})$.

Se $T$ é uma forma $\ell$-linear, definimos a forma $(k+\ell )$-linear $S\otimes T$ por $(S\otimes T)(\xi _{1},\ldots ,\xi _{k},\xi _{k+1},\ldots ,\xi _{k+\ell })=S(\xi _{1},\ldots ,\xi _{k})\cdot T(\xi _{k+1},\ldots ,\xi _{k+\ell })$.

Se $\omega$ é $k$-forma alternante e $\theta$ é $\ell$-forma alternante, definimos

$\omega \mathbin {\widetilde {\wedge }} \theta ={\frac {(k+\ell )!}{k!\ell !}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \theta )$.

Proposição. Temos ${\widetilde {\wedge }}=\wedge$.

É consequência imediata do fato de que $\operatorname {Sh} (k,\ell )$ é transversal para $H$ em ${\mathfrak {S}}_{k+\ell }$.

Teoria Grassmann

A teoria algébrica remonta a Hermann Grassmann. Seu método de construir as estruturas algébricas utilizou geradores e relações e não é manifestamente independente de uma base.

Referências

• Bishop, R.; Goldberg, S.I. (1980), Tensor analysis on manifolds, Dover, ISBN 0-486-64039-6