Em matemática, álgebra multilinear amplia os métodos da álgebra linear. Assim como a álgebra linear é construída sob o conceito de um vetor e desenvolve a teoria de espaços vetoriais, a álgebra multilinear baseia-se no conceito de um tensor e desenvolve a teoria de espaços tensoriais.
Sejam
espaços vetoriais sobre um corpo
. Uma aplicação
é dita multilinear (ou k-linear) se ela é linear em cada uma de suas componentes, isto é, se para todos
e
, valem
![{\displaystyle f(v_{1},\cdots ,v_{i}+v_{i}',\cdots ,v_{k})=f(v_{1},\cdots ,v_{i},\cdots ,v_{k})+f(v_{1},\cdots ,v_{i}',\cdots ,v_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7b648da9d86b26f4cf06890f0853a2893700c3)
É comum encontrar a definição trabalhando sobre
-módulos, em que
é um anel comutativo com unidade, ao invés de sobre um corpo
. Neste caso a definição é exatamente a mesma.
- Toda transformação linear é um caso particular de uma aplicação 1-linear. Qualquer aplicação
nula, para quaisquer espaços
(sobre um mesmo corpo) é k-linear.
- Seja
um corpo qualquer e
um inteiro positivo qualquer.
admite uma estrutura de espaço vetorial sobre ele mesmo. Defina
por
o produto dos elementos
. É fácil verificar que esta aplicação é m-linear.
- Mais geralmente, seja
um espaço vetorial sobre
(não necessariamente de dimensão finita) e fixe
funcionais lineares quaisquer. Então a aplicação
, definida por
é n-linear, como pode ser verificado facilmente.
- Sejam
inteiros positivos. Os conjuntos
e
, de todas as matrizes
e
, respectivamente, sobre o corpo
, formam um
-espaço vetorial. Fixe uma matriz
,
com coeficientes em
, e defina a aplicação
por
das propriedades de produto (usual) de matrizes (herdadas da estrutura de
), segue que
é uma aplicação 2-linear (ou bilinear).
- Considere o espaço
. Se
são vetores (representados na base canônica), então a aplicação
, definida por
é n-linear, como pode ser verificado das propriedades clássicas de determinante. Este exemplo é importante porque é, em certo sentido, a única aplicação multilinear alternada.
- Este é um importante exemplo. Sejam
-espaços vetoriais,
k-lineares e
. É fácil verificar que as aplicações
e
, definidas por![{\displaystyle (f+g)(v_{1},\cdots ,v_{k})=f(v_{1},\cdots ,v_{k})+g(v_{1},\cdots ,v_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e7180cd6504fbade4bffe0a365cc2ade719975)
são k-lineares. Este exemplo mostra que o espaço de todas as aplicações k-lineares de
para
é um subespaço vetorial, do espaço de todas as aplicações nestes domínio e contradomínio. Costuma-se denotar este espaço por
; quando temos um mesmo espaço
repetido k vezes, denota-se simplesmente por
; e quando o contradomínio é o corpo de escalares, denota-se simplesmente por
ou
.
Obs.: Todos os exemplos acima ainda valem, trocando "
-espaço vetorial" por "
-módulo" e "corpo
" por "anel comutativo com unidade
", e a verificação da multilinearidade é exatamente a mesma em ambos os casos.
Obs.: Tudo o que será feito adiante ainda valerá trocando os nomes "
-espaço vetorial" por "
-módulo" e "corpo
" por "anel comutativo com unidade
". Isto se deve ao fato de todas as propriedades utilizadas dos espaços vetoriais serem exigidos nos R-módulos (os espaços vetoriais são um caso particular de módulo - módulos sobre corpos). Uma propriedade que um espaço vetorial carrega e um R-módulo geral não é a divisão por escalar não nulo, isto é, num corpo qualquer sempre podemos dividir por qualquer elemento não nulo, mas num anel comutativo com unidade geral não. Por exemplo em
, nem sempre podemos dividir por
.
Considere o seguinte enunciado universal: "dados
espaços vetoriais sobre
, existe um par
, em que
é um
-espaço vetorial e
é k-linear, tal que, dada qualquer
k-linear, existe única
linear satisfazendo
."
O par
"transforma" qualquer aplicação k-linear em uma aplicação linear. A construção do par
pode ser feita da seguinte maneira:
Chame de
ao espaço vetorial formal gerado pelos elementos
sobre o corpo
, isto é, os elementos de
são somas finitas de elementos da forma
, em que
e
, ou seja, o produto de um elemento do corpo com um elemento de
. Por exemplo, em
,
e
são elementos distintos em
. No primeiro par, o primeiro elemento é a soma formal de dois elementos do produto
e o segundo elemento é um único elemento em
, e são totalmente diferentes. No segundo par, o primeiro elemento é 1 multiplicado por um elemento, e o segundo, é 2 multiplicado por um outro elemento, e são totalmente diferentes.
Considere o subespaço
gerado pelos seguintes elementos:
![{\displaystyle (v_{1},\cdots ,v_{i},\cdots ,v_{k})+(v_{1},\cdots ,v_{i}',\cdots ,v_{k})-(v_{1},\cdots ,v_{i}+v_{i}',\cdots ,v_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0065006381c776ce504bea6b5dbb8237a7dc31e3)
em que variam
e
. Defina o espaço quociente
e a aplicação
de forma canônica. Por construção teremos
k-linear, e afirmamos que o par
é o par que resolve o enunciado universal.
De fato, seja
k-linear qualquer. Defina a aplicação
, em que se
, então
. Assim sendo,
pode ser estendida por linearidade sobre
, e então, definida unicamente em
. Note que por
ser k-linear,
está bem definida. Por construção temos
. Além disso, suponha
também satisfazendo
. Então, em particular,
coincidem em todos os elementos
, e então,
. Isso conclui a construção.
Desta construção, temos que o par
é único. De fato, se
é outro par que satisfaz o enunciado universal, então, por
ser k-linear, existe
linear tal que
. Do mesmo modo, existe
linear tal que
. Destas relações, segue que
, em que
é a identidade em
. Pela unicidade de
(pois deve existir uma única aplicação linear
tal que
), teremos necessariamente
. Da mesma forma teremos
, de onde se conclui que
é um isomorfimos com inversa
. Daí
e
são isomorfos, e tem-se a unicidade.
Existem muitas maneiras (equivalentes) de definir "produto tensorial". Apresentaremos alguns. Como de costume, tudo o que for feito poderá ser repetido trocando os termos "
-espaço vetorial" por "
-módulo" e "corpo
" por "anel comutativo com unidade
". A única exceção é quando fizermos referência à base de espaço vetorial, pois devemos exigir "anel comutativo com unidade livre".
Sejam
espaços vetoriais sobre um corpo
. Considere o (único) par
que resolve o enunciado universal acima. O produto tensorial de
é definido como o espaço vetorial
, e é denotado por
. Se
, então denota-se
por
Proposição:
Seguindo a notação acima, os elementos
geram o espaço
, variando os elementos ![{\displaystyle v_{1}\in V_{1},\cdots ,v_{k}\in V_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca97f7d142686508216bc79cebe91dd6c5ec9942)
Demonstração:
Chame de
o subespaço de
gerado pelos elementos
, como no enunciado, e considere o espaço quociente
. Isto induz uma aplicação multilinear
(a projeção natural), e considere a aplicação nula
. Note que
, e por construção de
, necessariamente
, donde se conclui a afirmação.
Corolário:
Se
formam uma base para
,
, então os elementos
geram
, para
.
Sejam
-espaços vetoriais e considere
os seus duais algébricos. O produto tensorial de
, denotado por
, é o
-espaço vetorial gerado pelos elementos
(produto de funções), em que se variam
.
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