Álgebra multilinear

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Em matemática, álgebra multilinear amplia os métodos da álgebra linear. Assim como a álgebra linear é construída sob o conceito de um vetor e desenvolve a teoria de espaços vetoriais, a álgebra multilinear baseia-se no conceito de um tensor e desenvolve a teoria de espaços tensoriais.

Aplicações Multilineares[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Sejam V_1,\cdots,V_k, W espaços vetoriais sobre um corpo \mathbb{K}. Uma aplicação f:V_1\times\cdots\times V_k\to W é dita multilinear (ou k-linear) se ela é linear em cada uma de suas componentes, isto é, se para todos v_1\in V_1,\cdots,v_i,v_i'\in V_i,\cdots, v_k\in V_k e \alpha\in\mathbb{K}, valem


f(v_1,\cdots,v_i+v_i',\cdots,v_k)=f(v_1,\cdots,v_i,\cdots,v_k)+f(v_1,\cdots,v_i',\cdots,v_k)

f(v_1,\cdots,\alpha v_i,\cdots,v_k)=\alpha f(v_1,\cdots,v_i,\cdots,v_k)

É comum encontrar a definição trabalhando sobre R-módulos, em que R é um anel comutativo com unidade, ao invés de sobre um corpo \mathbb{K}. Neste caso a definição é exatamente a mesma.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  1. Toda transformação linear é um caso particular de uma aplicação 1-linear. Qualquer aplicação f:V_1\times\cdots\times V_k\to W nula, para quaisquer espaços V_1,\cdots, V_k,W (sobre um mesmo corpo) é k-linear.
  2. Seja \mathbb{K} um corpo qualquer e m um inteiro positivo qualquer. \mathbb{K} admite uma estrutura de espaço vetorial sobre ele mesmo. Defina f:\mathbb{K}\times\cdots\times\mathbb{K}\to\mathbb{K} por f(x_1,\cdots,x_m)=x_1\cdots x_m o produto dos elementos x_1,\cdots,x_m. É fácil verificar que esta aplicação é m-linear.
  3. Mais geralmente, seja V um espaço vetorial sobre \mathbb{K} (não necessariamente de dimensão finita) e fixe f_1,\cdots,f_m\in V^\ast funcionais lineares quaisquer. Então a aplicação F:V\times\cdots\times V\to\mathbb{K}, definida por F(v_1,\cdots,v_n)=f_1(v_1)\cdots f_n(v_n) é n-linear, como pode ser verificado facilmente.
  4. Sejam n,m inteiros positivos. Os conjuntos \mathbb{M}_n(\mathbb{K}) e \mathbb{M}_m(\mathbb{K}), de todas as matrizes n\times n e n\times n, respectivamente, sobre o corpo \mathbb{K}, formam um \mathbb{K}-espaço vetorial. Fixe uma matriz A, n\times m com coeficientes em \mathbb{K}, e defina a aplicação f:\mathbb{M}_n(\mathbb{K})\times\mathbb{M}_m(\mathbb{K})\to\mathbb{M}_{nm}(\mathbb{K}) por
    f(X,Y)=XAY
    das propriedades de produto (usual) de matrizes (herdadas da estrutura de \mathbb{K}), segue que f é uma aplicação 2-linear (ou bilinear).
  5. Considere o espaço \mathbb{K}^n. Se \alpha_1=(a_{11},\cdots,a_{1n}),\cdots,\alpha_n=(a_{n1},\cdots,a_{nn})\in\mathbb{K}^n são vetores (representados na base canônica), então a aplicação f:\mathbb{K}^n\times\cdots\times\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}, definida por
    f(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=\det\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{nn}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right)
    é n-linear, como pode ser verificado das propriedades clássicas de determinante. Este exemplo é importante porque é, em certo sentido, a única aplicação multilinear alternada.
  6. Este é um importante exemplo. Sejam V_1,\cdots,V_k,W \mathbb{K}-espaços vetoriais, f,g:V_1\times\cdots\times V_k\to W k-lineares e \alpha\in\mathbb{K}. É fácil verificar que as aplicações f+g e \alpha f, definidas por
    (f+g)(v_1,\cdots,v_k)=f(v_1,\cdots,v_k)+g(v_1,\cdots,v_k)
    (\alpha f)(v_1,\cdots,v_k)=\alpha f(v_1,\cdots,v_k)
    são k-lineares. Este exemplo mostra que o espaço de todas as aplicações k-lineares de V_1\times\cdots\times V_k para W é um subespaço vetorial, do espaço de todas as aplicações nestes domínio e contradomínio. Costuma-se denotar este espaço por \mathcal{L}(V_1,\cdots,V_k;W); quando temos um mesmo espaço V repetido k vezes, denota-se simplesmente por \mathcal{L}_k(V;W); e quando o contradomínio é o corpo de escalares, denota-se simplesmente por \mathcal{L}(V_1,\cdots,V_k) ou \mathcal{L}_k(V).

Obs.: Todos os exemplos acima ainda valem, trocando "\mathbb{K}-espaço vetorial" por "R-módulo" e "corpo \mathbb{K}" por "anel comutativo com unidade R", e a verificação da multilinearidade é exatamente a mesma em ambos os casos.

Construção Universal[editar | editar código-fonte]

Obs.: Tudo o que será feito adiante ainda valerá trocando os nomes "\mathbb{K}-espaço vetorial" por "R-módulo" e "corpo \mathbb{K}" por "anel comutativo com unidade R". Isto se deve ao fato de todas as propriedades utilizadas dos espaços vetoriais serem exigidos nos R-módulos (os espaços vetoriais são um caso particular de módulo - módulos sobre corpos). Uma propriedade que um espaço vetorial carrega e um R-módulo geral não é a divisão por escalar não nulo, isto é, num corpo qualquer sempre podemos dividir por qualquer elemento não nulo, mas num anel comutativo com unidade geral não. Por exemplo em \mathbb{Z}, nem sempre podemos dividir por 2.

Considere o seguinte enunciado universal: "dados V_1,\cdots, V_k espaços vetoriais sobre \mathbb{K}, existe um par (\phi,M), em que M é um \mathbb{K}-espaço vetorial e \phi:V_1\times\cdots\times V_k\to M é k-linear, tal que, dada qualquer f:V_1\times\cdots\times V_k\to N k-linear, existe única h:M\to N linear satisfazendo f=h\circ\phi."
O par (\phi,M) "transforma" qualquer aplicação k-linear em uma aplicação linear. A construção do par (\phi,M) pode ser feita da seguinte maneira:

Chame de V ao espaço vetorial formal gerado pelos elementos V_1\times\cdots\times V_k sobre o corpo \mathbb{K}, isto é, os elementos de V são somas finitas de elementos da forma \alpha\cdot(v_1,\cdots,v_k), em que \alpha\in\mathbb{K} e (v_1,\cdots,v_k)\in V_1\times\cdots\times V_k, ou seja, o produto de um elemento do corpo com um elemento de V_1\times\cdots\times V_k. Por exemplo, em V, 1\cdot(v_1,0,\cdots,0)+1\cdot(v_1',0,\cdots,0),1\cdot(v_1+v_1',0,\cdots,0) e 1\cdot(2v_1,0,\cdots,0),2\cdot(v_1,0,\cdots,0) são elementos distintos em V. No primeiro par, o primeiro elemento é a soma formal de dois elementos do produto V_1\times\cdots\times V_k e o segundo elemento é um único elemento em V_1\times\cdots\times V_k, e são totalmente diferentes. No segundo par, o primeiro elemento é 1 multiplicado por um elemento, e o segundo, é 2 multiplicado por um outro elemento, e são totalmente diferentes.
Considere o subespaço W<V gerado pelos seguintes elementos:

(v_1,\cdots,v_i,\cdots,v_k)+(v_1,\cdots,v_i',\cdots,v_k)-(v_1,\cdots,v_i+v_i',\cdots,v_k)
(v_1,\cdots,\alpha v_i,\cdots,v_k)-\alpha(v_1,\cdots,v_i,\cdots,v_k)

em que variam \alpha\in\mathbb{K} e v_1\in V_1,\cdots,v_i,v_i'\in V_i,\cdots,v_k\in V_k. Defina o espaço quociente M=V/W e a aplicação \phi:V_1\times\cdots\times V_k\to M de forma canônica. Por construção teremos \phi k-linear, e afirmamos que o par (\phi,M) é o par que resolve o enunciado universal.

De fato, seja f:V_1\times\cdots\times V_k\to N k-linear qualquer. Defina a aplicação h:M\to N, em que se (v_1,\cdots,v_k)\in V_1\times\cdots\times V_k, então h\overline{(v_1,\cdots,v_k)}=f(v_1,\cdots,v_k). Assim sendo, h pode ser estendida por linearidade sobre U, e então, definida unicamente em M. Note que por f ser k-linear, h está bem definida. Por construção temos f=h\circ\phi. Além disso, suponha h' também satisfazendo f=h'\circ\phi. Então, em particular, h,h' coincidem em todos os elementos \overline{(v_1,\cdots,v_k)}\in M, e então, h=h'. Isso conclui a construção.

Desta construção, temos que o par (\phi,M) é único. De fato, se (\phi',M') é outro par que satisfaz o enunciado universal, então, por \phi':V_1\times\cdots\times V_k\to M' ser k-linear, existe h:M\to M' linear tal que \phi'=h\circ\phi. Do mesmo modo, existe h':M'\to M linear tal que \phi=h'\circ\phi'. Destas relações, segue que h\circ h'\circ\phi'=\phi'=1_{M'}\circ\phi', em que 1_{M'} é a identidade em M'. Pela unicidade de 1_{M'} (pois deve existir uma única aplicação linear 1_{M'}:M'\to M' tal que \phi'=1_{M'}\circ\phi'), teremos necessariamente 1_{M'}=h\circ h'. Da mesma forma teremos 1_M=h'\circ h, de onde se conclui que h é um isomorfimos com inversa h'. Daí M e M' são isomorfos, e tem-se a unicidade.

Produto tensorial[editar | editar código-fonte]

Existem muitas maneiras (equivalentes) de definir "produto tensorial". Apresentaremos alguns. Como de costume, tudo o que for feito poderá ser repetido trocando os termos "\mathbb{K}-espaço vetorial" por "R-módulo" e "corpo \mathbb{K}" por "anel comutativo com unidade R". A única exceção é quando fizermos referência à base de espaço vetorial, pois devemos exigir "anel comutativo com unidade livre".

Construção universal[editar | editar código-fonte]

Sejam V_1,\cdots,V_k espaços vetoriais sobre um corpo \mathbb{K}. Considere o (único) par (\phi,M) que resolve o enunciado universal acima. O produto tensorial de V_1,\cdots,V_k é definido como o espaço vetorial M, e é denotado por V_1\otimes\cdots\otimes V_k. Se v_1\in V_1,\cdots, v_k\in V_k, então denota-se \phi(v_1,\cdots,v_k) por v_1\otimes\cdots\otimes v_k

Proposição: Seguindo a notação acima, os elementos \phi(v_1,\cdots,v_k)=v_1\otimes\cdots\otimes v_k geram o espaço M=V_1\otimes\cdots\otimes V_k, variando os elementos v_1\in V_1,\cdots,v_k\in V_k
Demonstração: Chame de N o subespaço de M gerado pelos elementos v_1\otimes\cdots\otimes v_k, como no enunciado, e considere o espaço quociente W=M/N. Isto induz uma aplicação multilinear \pi:V_1\otimes\cdots\otimes V_k\to W (a projeção natural), e considere a aplicação nula g:V_1\otimes\cdots\otimes V_k\to W. Note que \pi\circ\phi=g\circ\phi, e por construção de M, necessariamente \pi=g, donde se conclui a afirmação.

Corolário: Se u_1^i,\cdots,u_{m_i}^i formam uma base para V_i, i=1,\cdots,k, então os elementos u_{i_1}^1\otimes\cdots\otimes u_{i_k}^k geram V_1\otimes\cdots\otimes V_k, para i_1=1,\cdots,m_k,\cdots,i_k=1,\cdots,m_k.

Construção Concreta[editar | editar código-fonte]

Sejam V_1,\cdots,V_k \mathbb{K}-espaços vetoriais e considere V_1^\ast,\cdots,V_k^\ast os seus duais algébricos. O produto tensorial de V_1^\ast,\cdots,V_k^\ast, denotado por V_1^\ast\otimes\cdots\otimes V_k^\ast, é o \mathbb{K}-espaço vetorial gerado pelos elementos f_1\cdots f_k (produto de funções), em que se variam f_1\in V_1^\ast,\cdots,f_k\in V_k^\ast.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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