Álgebra multilinear

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Em matemática, álgebra multilinear amplia os métodos da álgebra linear. Assim como a álgebra linear é construída sob o conceito de um vetor e desenvolve a teoria de espaços vetoriais, a álgebra multilinear baseia-se no conceito de um tensor e desenvolve a teoria de espaços tensoriais.

Aplicações Multilineares[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Sejam espaços vetoriais sobre um corpo . Uma aplicação é dita multilinear (ou k-linear) se ela é linear em cada uma de suas componentes, isto é, se para todos e , valem


É comum encontrar a definição trabalhando sobre -módulos, em que é um anel comutativo com unidade, ao invés de sobre um corpo . Neste caso a definição é exatamente a mesma.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  1. Toda transformação linear é um caso particular de uma aplicação 1-linear. Qualquer aplicação nula, para quaisquer espaços (sobre um mesmo corpo) é k-linear.
  2. Seja um corpo qualquer e um inteiro positivo qualquer. admite uma estrutura de espaço vetorial sobre ele mesmo. Defina por o produto dos elementos . É fácil verificar que esta aplicação é m-linear.
  3. Mais geralmente, seja um espaço vetorial sobre (não necessariamente de dimensão finita) e fixe funcionais lineares quaisquer. Então a aplicação , definida por é n-linear, como pode ser verificado facilmente.
  4. Sejam inteiros positivos. Os conjuntos e , de todas as matrizes e , respectivamente, sobre o corpo , formam um -espaço vetorial. Fixe uma matriz , com coeficientes em , e defina a aplicação por
    das propriedades de produto (usual) de matrizes (herdadas da estrutura de ), segue que é uma aplicação 2-linear (ou bilinear).
  5. Considere o espaço . Se são vetores (representados na base canônica), então a aplicação , definida por
    é n-linear, como pode ser verificado das propriedades clássicas de determinante. Este exemplo é importante porque é, em certo sentido, a única aplicação multilinear alternada.
  6. Este é um importante exemplo. Sejam -espaços vetoriais, k-lineares e . É fácil verificar que as aplicações e , definidas por
    são k-lineares. Este exemplo mostra que o espaço de todas as aplicações k-lineares de para é um subespaço vetorial, do espaço de todas as aplicações nestes domínio e contradomínio. Costuma-se denotar este espaço por ; quando temos um mesmo espaço repetido k vezes, denota-se simplesmente por ; e quando o contradomínio é o corpo de escalares, denota-se simplesmente por ou .

Obs.: Todos os exemplos acima ainda valem, trocando "-espaço vetorial" por "-módulo" e "corpo " por "anel comutativo com unidade ", e a verificação da multilinearidade é exatamente a mesma em ambos os casos.

Construção Universal[editar | editar código-fonte]

Obs.: Tudo o que será feito adiante ainda valerá trocando os nomes "-espaço vetorial" por "-módulo" e "corpo " por "anel comutativo com unidade ". Isto se deve ao fato de todas as propriedades utilizadas dos espaços vetoriais serem exigidos nos R-módulos (os espaços vetoriais são um caso particular de módulo - módulos sobre corpos). Uma propriedade que um espaço vetorial carrega e um R-módulo geral não é a divisão por escalar não nulo, isto é, num corpo qualquer sempre podemos dividir por qualquer elemento não nulo, mas num anel comutativo com unidade geral não. Por exemplo em , nem sempre podemos dividir por .

Considere o seguinte enunciado universal: "dados espaços vetoriais sobre , existe um par , em que é um -espaço vetorial e é k-linear, tal que, dada qualquer k-linear, existe única linear satisfazendo ."
O par "transforma" qualquer aplicação k-linear em uma aplicação linear. A construção do par pode ser feita da seguinte maneira:

Chame de ao espaço vetorial formal gerado pelos elementos sobre o corpo , isto é, os elementos de são somas finitas de elementos da forma , em que e , ou seja, o produto de um elemento do corpo com um elemento de . Por exemplo, em , e são elementos distintos em . No primeiro par, o primeiro elemento é a soma formal de dois elementos do produto e o segundo elemento é um único elemento em , e são totalmente diferentes. No segundo par, o primeiro elemento é 1 multiplicado por um elemento, e o segundo, é 2 multiplicado por um outro elemento, e são totalmente diferentes.
Considere o subespaço gerado pelos seguintes elementos:


em que variam e . Defina o espaço quociente e a aplicação de forma canônica. Por construção teremos k-linear, e afirmamos que o par é o par que resolve o enunciado universal.

De fato, seja k-linear qualquer. Defina a aplicação , em que se , então . Assim sendo, pode ser estendida por linearidade sobre , e então, definida unicamente em . Note que por ser k-linear, está bem definida. Por construção temos . Além disso, suponha também satisfazendo . Então, em particular, coincidem em todos os elementos , e então, . Isso conclui a construção.

Desta construção, temos que o par é único. De fato, se é outro par que satisfaz o enunciado universal, então, por ser k-linear, existe linear tal que . Do mesmo modo, existe linear tal que . Destas relações, segue que , em que é a identidade em . Pela unicidade de (pois deve existir uma única aplicação linear tal que ), teremos necessariamente . Da mesma forma teremos , de onde se conclui que é um isomorfimos com inversa . Daí e são isomorfos, e tem-se a unicidade.

Produto tensorial[editar | editar código-fonte]

Existem muitas maneiras (equivalentes) de definir "produto tensorial". Apresentaremos alguns. Como de costume, tudo o que for feito poderá ser repetido trocando os termos "-espaço vetorial" por "-módulo" e "corpo " por "anel comutativo com unidade ". A única exceção é quando fizermos referência à base de espaço vetorial, pois devemos exigir "anel comutativo com unidade livre".

Construção universal[editar | editar código-fonte]

Sejam espaços vetoriais sobre um corpo . Considere o (único) par que resolve o enunciado universal acima. O produto tensorial de é definido como o espaço vetorial , e é denotado por . Se , então denota-se por

Proposição: Seguindo a notação acima, os elementos geram o espaço , variando os elementos
Demonstração: Chame de o subespaço de gerado pelos elementos , como no enunciado, e considere o espaço quociente . Isto induz uma aplicação multilinear (a projeção natural), e considere a aplicação nula . Note que , e por construção de , necessariamente , donde se conclui a afirmação.

Corolário: Se formam uma base para , , então os elementos geram , para .

Construção Concreta[editar | editar código-fonte]

Sejam -espaços vetoriais e considere os seus duais algébricos. O produto tensorial de , denotado por , é o -espaço vetorial gerado pelos elementos (produto de funções), em que se variam .

Ver também[editar | editar código-fonte]


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