Notação de Voigt

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Em matemática, a notação de Voigt ou forma de Voigt em álgebra multilinear é um modo de representar um tensor simétrico reduzindo sua ordem.[1] Existem algumas poucas variantes e nomes associados com esta ideia, por exemplo notação de Mandel, notação de Mandel–Voigt e notação de Nye. A notação de Kelvin é uma atualização devida a Helbig[2] de antigas ideias de Lord Kelvin. As diferenças aqui repousam em certos pesos associados à seleção de linhas e colunas do tensor. A nomenclatura varia de acordo com a tradição no campo de aplicação.

Por exemplo, um tensor simétrico 2×2 em notação matricial

tem somente três elementos distintos, os dois da diagonal principal e o último fora desta diagonal, pois se o tensor é simétrico então os elementos com índices 12 e 21 são obrigatoriamente iguais. Assim, X pode ser expresso como o vetor

.

Como outro exemplo, o tensor tensão (em notação matricial) é expresso como

Na notação de Voigt é simplificado como o vetor de seis componentes

O tensor deformação, similar em natureza ao tensor tensão — ambos são tensores simétricos de segunda ordem —, é expresso em forma matricial como

Sua representação na notação de Voigt é

sendo , e as deformações cisalhantes de engenharia.

A grande vantagem em usar diferentes representações para tensões e deformações é que a invariância escalar

é preservada.

Da mesma forma, um tensor simétrico de quarta ordem pode ser reduzido a uma matriz 6×6.

Regra mnemônica[editar | editar código-fonte]

Regra mnemónica fácil de memorizar a notação de Voigt para um tensor de segunda ordem 3×3:

  • Escrever o tensor em forma matricial (no exemplo a seguir o tensor tensão)
  • Eliminar a parte diagonal inferior
  • Ponto de partida: Riscar a diagonal principal a partir do elemento de índices 11 (primeira linha e primeira coluna) ate o elemento de índice 33 (terceira linha e terceira coluna)
  • Seguir riscando para cima até a primeira linha (da terceira até a primeira linha, permanecendo na terceira coluna)
  • Retornar riscando até encontrar o último elemento não riscado da primeira linha (da terceira até a segunda coluna, permanecendo na primeira linha). Este é o ponto de chegada.

Os índices de Voigt são numerados em sequência a partir de 1, iniciando no ponto de partida e seguindo até o ponto de chegada (no exemplo os números em azul), mapeando todos os elementos do tensor.

Voigt notation Mnemonic rule.png

Notação de Mandel[editar | editar código-fonte]

Para um tensor simétrico de segunda ordem

somente seis componentes são distintas, as três na diagonal principal e as outras três restantes fora da diagonal. Pode assim ser expresso na notação de Mandel como o vetor

A principal vantagem da notação de Mandel é permitir o uso da mesma operação convencional usada com vetores, por exemplo

Um tensor simétrico de quarta ordem satisfazendo e tem 81 componentes no espaço quadridimensional, mas somente 36 componentes são distintas. Assim, na notação de Mandel, pode ser expresso como

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Epônimo do físico Woldemar Voigt, é de uso prático em cálculos envolvendo modelos constitutivos para a simulação de materiais sólidos, tais como a lei de Hooke, bem como no método dos elementos finitos[3] e MRI de difusão.[4]

A lei de Hooke consiste em um tensor simétrico de quarta ordem, com 81 componentes (3×3×3×3), relacionando dois tensores simétricos de segunda ordem, os tensores tensão e deformação. A notação de Voigt permite que este tensor seja reduzido a uma matriz simétrica 6×6.[5]

Referências

  1. Woldemar Voigt (1910). Lehrbuch der kristallphysik. [S.l.]: Teubner, Leipzig. Consultado em 20 de abril de 2018 
  2. Klaus Helbig (1994). Foundations of anisotropy for exploration seismics. [S.l.]: Pergamon. ISBN 0-08-037224-4 
  3. O.C. Zienkiewicz; R.L. Taylor; J.Z. Zhu (2005). The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals 6 ed. [S.l.]: Elsevier Butterworth—Heinemann. ISBN 978-0-7506-6431-8 
  4. Maher Moakher (2009). «The Algebra of Fourth-Order Tensors with Application to Diffusion MRI». Visualization and Processing of Tensor Fields. [S.l.]: Springer Berlin Heidelberg. pp. 57–80. doi:10.1007/978-3-540-88378-4_4 
  5. Westphal Jr. T.: Constitutive Equations for Linear Elastic Materials. (em inglês) Programa na linguagem Maple para modelos constitutivos utilizando a notação de Voigt.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • P. Helnwein (2001). Some Remarks on the Compressed Matrix Representation of Symmetric Second-Order and Fourth-Order Tensors. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 190(22–23):2753–2770

Ver também[editar | editar código-fonte]