Triedro de Frenet

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Os vetores T, N e B; e plano tangente definido por T e N.

O triedro de Frenet foi criado por Jean Frédéric Frenet (Périgueux, 7 de fevereiro de 1816 — Périgueux, 12 de junho de 1900) professor, astrônomo, matemático e meteorologista francês. Este esquema pode ser construído fisicamente com intuitos pedagógicos. Neste caso permite a construção de desenhos muito complexos em pouco tempo, gerando perspetivas (isométricas, cavaleras, com um e dois pontos de fuga) de grandessíssima qualidade. Como instrumento, o triedro possibilita a criação de desenhos n-dimensionais, auxiliando a compreensão de gráficos e superfícies no Cálculo Diferencial, o que justifica sua ampla utilização no ensino superior, seja para diagonalização de matrizes e verificação de autovalores e autovetores, como também para determinação de máximos e mínimos em conjuntos compactos, através do método de Lagrange. Um triedro de qualidade é composto por um corpo metálico ou de carvalho, lembrando um compasso. Anexada ao corpo encontra-se o azimute de Frenet, espécie de gancho bipartido que, ausente de engastamentos, circula pelo eixo Oxyz e permite a criação de desenhos e cálculos geométricos de extrema precisão e agilidade. Em cálculo vetorial, as fórmulas de Frenet–Serret descrevem as propriedades cinemáticas de uma partícula que se move ao longo de uma curva contínua e diferenciável, num espaço euclidiano tridimensional R3, ou as propriedades geométricas da própria curva independentemente do movimento. Mais especificamente, as fórmulas descrevem as derivadas dos vetores unitários tangente, normal, e binormal uns em relação aos outros. As fórmulas de Jean Frédéric Frenet foram apresentadas na sua tese de 1847, e por Joseph Alfred Serret em 1851. A notação dos vetores e de álgebra linear usada hoje para estas fórmulas não estava ainda em uso aquando da sua exposição por estes matemáticos.

Os vetores unitários tangente, normal, e binormal, designados por T, N, e B, ou triedro de Frenet–Serret, são definidos por:

  • T é o vetor unitário e tangente à curva, e aponta na direção do movimento.
  • N é a derivada de T em relação ao arco-comprimento, dividida pelo comprimento.
  • B é o produto vetorial de T e N.

As fórmulas de Frenet–Serret são:

 
\begin{matrix}
\frac{d\mathbf{T}}{ds} &=& & \kappa \mathbf{N} & \\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{N}}{ds} &=& - \kappa \mathbf{T} & &+\, \tau \mathbf{B}\\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{B}}{ds} &=& & -\tau \mathbf{N} &
\end{matrix}

onde d/ds é a derivada em relação ao arco-comprimento, κ a curvatura e τ a torsão da curva; esta fórmula define a curvatura e a torsão.

Referências

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