Triedro de Frenet

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Os vetores T, N e B; e plano tangente definido por T e N.

O triedro de Frenet foi criado por Jean Frédéric Frenet (Périgueux, 7 de fevereiro de 1816 — Périgueux, 12 de junho de 1900) professor, astrônomo, matemático e meteorologista francês.

Este esquema pode ser construído fisicamente com intuitos pedagógicos. Neste caso permite a construção de desenhos muito complexos em pouco tempo, gerando perspetivas (isométricas, cavaleras, com um e dois pontos de fuga) de grandessíssima qualidade. Como instrumento, o triedro possibilita a criação de desenhos n-dimensionais, auxiliando a compreensão de gráficos e superfícies no Cálculo Diferencial, o que justifica sua ampla utilização no ensino superior, seja para diagonalização de matrizes e verificação de autovalores e autovetores, como também para determinação de máximos e mínimos em conjuntos compactos, através do método de Lagrange.

Um triedro de qualidade é composto por um corpo metálico ou de carvalho, lembrando um compasso. Anexada ao corpo encontra-se o azimute de Frenet, espécie de gancho bipartido que, ausente de engastamentos, circula pelo eixo Oxyz e permite a criação de desenhos e cálculos geométricos de extrema precisão e agilidade.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Em cálculo .vetorial, as fórmulas de Frenet–Serret descrevem as propriedades cinemáticas de uma partícula que se move ao longo de uma curva contínua e diferenciável, num espaço euclidiano tridimensional R3, ou as propriedades geométricas da própria curva independentemente do movimento. Mais especificamente, as fórmulas descrevem as derivadas dos vetores unitários tangente, normal, e binormal uns em relação aos outros. Diferentemente dos vetores unitários e , os vetores e acompanham toda a trajetória através da curva.

As fórmulas de Jean Frédéric Frenet foram apresentadas na sua tese de 1847, e por Joseph Alfred Serret em 1851. A notação dos vetores e de álgebra linear usada hoje para estas fórmulas não estava ainda em uso aquando da sua exposição por estes matemáticos.

Os vetores unitários tangente, normal, e binormal, designados por T, N, e B, ou triedro de Frenet–Serret, são definidos por:

  • T é o vetor unitário e tangente à curva, e aponta na direção do movimento.
  • N é a derivada de T em relação ao arco-comprimento, dividida pela curvatura.
  • B é o produto vetorial de T e N.

Vetor Tangente[editar | editar código-fonte]

Seja C uma curva representada por , é o vetor tangente a curva C em um ponto P. O vetor tangente unitário é um vetor com a mesma direção do vetor tangente e de módulo 1.

Vetor Normal[editar | editar código-fonte]

Os vetores T (azul), N (vermelho) e B (preto) movendo-se ao longo de um helicóide.

Este vetor será definido a partir da condição de ortogonalidade entre e , ou seja, Como o vetor é um vetor de MÓDULO CONSTANTE e igual a 1, então e, portanto, é ortogonal a . Então, o vetor normal fica definido como:

O vetor normal unitário possui a mesma direção de e aponta para o interior da curva, ou seja, para o lado côncavo de C.

Vetor Binormal[editar | editar código-fonte]

O vetor binormal é um vetor unitário perpendicular a e , logo

[1]

O vetor binormal é orientado em relação aos vetores normal e tangente pela regra da mão direita.

Prova[editar | editar código-fonte]

Considere a matriz:

As linhas dessa matriz são vetores unitários mutualmente perpendiculares: uma base ortonormal3. Como resultado, a transposta de Q é igual a inversa de Q: Q é uma matriz ortogonal. É suficiente mostrar que:

Note que na primeira linha a equação já se sustenta pela definição da normal N e da curvatura k. Então é suficiente mostrar que é uma matriz antissimétrica. Já que , tomando a derivada e aplicando a regra do produto resulta em:

que estabelece a antissimetria necessária.[2]

Curvatura[editar | editar código-fonte]

A curvatura k em um ponto de uma curva mede a velocidade em que o vetor tangente varia em relação ao comprimento de arco s. Ou seja, a curvatura é uma função escalar de s, definida como:

(1)

Porém o parâmetro s não é muito prático. Transformamos, então, k(s) em k(t), onde o parâmetro t pode ser um ângulo ou a variável tempo.

Usando a regra da cadeia:

(2)

e

(3)

Substituindo (3) em (2) e esta na definição (1), teremos:

,

Raio de curvatura[editar | editar código-fonte]

O raio de curvatura está associada com a curvatura k e é definido como

Podemos então concluir que quanto maior a curvatura k(t) em um certo ponto, menor será seu raio de curvatura .

Torção[editar | editar código-fonte]

A torção mede a capacidade de uma curva se torcer e é definida como:

E assim como na curvatura, transformamos em , pois s não é um parâmetro muito prático.

Pela regra da cadeia:

Expansão de Taylor[editar | editar código-fonte]

Diferenciando repetidamente a curva e aplicando as fórmulas de Frenet-Serret resulata na seguinte aproximação de Taylor para a curva próximo de s=0.[3]

Para uma curva genérica com torsão não nula, a projeção da curva em vários planos coordenados no sistema de coordenadas T, N, B em s=0 tem as seguintes interpretações:

  • O plano osculante é plano contendo T e N. A projeção da curva neste plano tem a forma:

Isso é uma parábola a termos de (s2), cuja curvatura em 0 é igual a k(0).

  • O plano normal é o plano contendo T e N. A projeção da curva neste plano tem a forma:

que é uma parábola semicúbica de ordem o(s3).

  • O plano retificador é o plano contendo T e B. A projeção da curva nesse plano tem a forma:

que traça o gráfico de um polinômio cúbico de ordem o(s3).

Referências

  1. Notas de Aula da prof. Irene Strauch - Análise Vetorial
  2. Essa prova se dá provavelmente a Élie Cartan. Veja Griffiths (1974) onde ele fornece a mesma prova, mas usando a forma de Maurer-Cartan. Nossa descrição explícita da forma de Maurer-Cartan usando matrizes é padrão. Veja, por exemplo, Spivak, Volume II, p. 37. Uma generalização desta prova para n dimenções não é difícil,mas foi omitida para simplificar a exposição. Novamente, veja Griffiths (1974) para detalhes.
  3. Kühnel, Wolfgang (2002), Differential geometry, Student Mathematical Library 16, Providence, R.I.: American Mathematical SocietyISBN 978-0-8218-2656-0MR 1882174
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