Triedro de Frenet

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Os vetores T, N e B; e plano tangente definido por T e N.

O triedro de Frenet foi criado por Jean Frédéric Frenet (Périgueux, 7 de fevereiro de 1816 — Périgueux, 12 de junho de 1900) professor, astrônomo, matemático e meteorologista francês.

Este esquema pode ser construído fisicamente com intuitos pedagógicos. Neste caso permite a construção de desenhos muito complexos em pouco tempo, gerando perspetivas (isométricas, cavaleras, com um e dois pontos de fuga) de grandessíssima qualidade. Como instrumento, o triedro possibilita a criação de desenhos n-dimensionais, auxiliando a compreensão de gráficos e superfícies no Cálculo Diferencial, o que justifica sua ampla utilização no ensino superior, seja para diagonalização de matrizes e verificação de autovalores e autovetores, como também para determinação de máximos e mínimos em conjuntos compactos, através do método de Lagrange.

Um triedro de qualidade é composto por um corpo metálico ou de carvalho, lembrando um compasso. Anexada ao corpo encontra-se o azimute de Frenet, espécie de gancho bipartido que, ausente de engastamentos, circula pelo eixo Oxyz e permite a criação de desenhos e cálculos geométricos de extrema precisão e agilidade.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Em cálculo .vetorial, as fórmulas de Frenet–Serret descrevem as propriedades cinemáticas de uma partícula que se move ao longo de uma curva contínua e diferenciável, num espaço euclidiano tridimensional R3, ou as propriedades geométricas da própria curva independentemente do movimento. Mais especificamente, as fórmulas descrevem as derivadas dos vetores unitários tangente, normal, e binormal uns em relação aos outros. Diferentemente dos vetores unitários i, j e k , os vetores T, N e B acompanham toda a trajetória através da curva.

As fórmulas de Jean Frédéric Frenet foram apresentadas na sua tese de 1847, e por Joseph Alfred Serret em 1851. A notação dos vetores e de álgebra linear usada hoje para estas fórmulas não estava ainda em uso aquando da sua exposição por estes matemáticos.

Os vetores unitários tangente, normal, e binormal, designados por T, N, e B, ou triedro de Frenet–Serret, são definidos por:

  • T é o vetor unitário e tangente à curva, e aponta na direção do movimento.
  • N é a derivada de T em relação ao arco-comprimento, dividida pela curvatura.
  • B é o produto vetorial de T e N.

Vetor Tangente[editar | editar código-fonte]

Seja C uma curva representada por \vec{r}(t)=x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} , \vec{r}(t)\,' é o vetor tangente a curva C em um ponto P. O vetor tangente unitário \vec{T}(t) é um vetor com a mesma direção do vetor tangente \vec{r}\,'(t) e de módulo 1.

\vec{T}(t)=\frac{\vec{r}(t)\,'}{|\vec{r}(t)\,'|}

Vetor Normal[editar | editar código-fonte]

Este vetor será definido a partir da condição de ortogonalidade entre \vec{T} e \vec{N}, ou seja, \vec{T}(t) \cdot \vec{N}(t)=0. Como o vetor \vec{T}(t) é um vetor de MÓDULO CONSTANTE e igual a 1, então \vec{T}(t) \cdot \vec{T}(t)\,'=0 e, portanto, \vec{T}(t)\,' é ortogonal a \vec{T}(t). Então, o vetor normal fica definido como:

\vec{N}(t)=\frac{\vec{T}(t)\,'}{|\vec{T}(t)\,'|}

O vetor normal unitário possui a mesma direção de \vec{T}(t)\,' e aponta para o interior da curva, ou seja, para o lado côncavo de C.

Vetor Binormal[editar | editar código-fonte]

O vetor binormal é um vetor unitário perpendicular a \vec{T}(t) e \vec{N}(t), logo

\vec{B}(t)=\vec{T}(t)\times \vec{N}(t)[1]

  1. Notas de Aula da prof. Irene Strauch - Análise Vetorial

Referências

Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.