Triedro de Frenet

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Os vetores T, N e B; e plano osculador definido por T e N.

O triedro de Frenet foi criado por Jean Frédéric Frenet (Périgueux, 7 de fevereiro de 1816 — Périgueux, 12 de junho de 1900) professor, astrônomo, matemático e meteorologista francês.

É um conjunto abstrato de três vetores[1] (T, N e B) que diz respeito a propriedades cinemáticas de uma partícula que se move em uma trajetória curvilínea, usado em cálculo vetorial. No triedro, o vetor T representa a tangente à curva, o vetor N é a derivada de T, e o vetor B é o produto vetorial de T e N.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Em cálculo .vetorial, as fórmulas de Frenet–Serret descrevem as propriedades cinemáticas de uma partícula que se move ao longo de uma curva contínua e diferenciável, num espaço euclidiano tridimensional R3, ou as propriedades geométricas da própria curva independentemente do movimento. Mais especificamente, as fórmulas descrevem as derivadas dos vetores unitários tangente, normal, e binormal uns em relação aos outros. Diferentemente dos vetores unitários e , os vetores e acompanham toda a trajetória através da curva.

As fórmulas de Jean Frédéric Frenet foram apresentadas na sua tese de 1847, e por Joseph Alfred Serret em 1851. A notação dos vetores e de álgebra linear usada hoje para estas fórmulas não estava ainda em uso aquando da sua exposição por estes matemáticos.

Os vetores unitários tangente, normal, e binormal, designados por e , ou triedro de Frenet–Serret, são definidos por:

  • é o vetor unitário e tangente à curva, e aponta na direção do movimento.
  • é a derivada de em relação ao arco-comprimento, dividida pela curvatura.
  • é o produto vetorial de e .
Exemplo de uma base de Frenet em movimento ( em azul, em verde e em roxo) ao longo da curva de Viviani.

Definições[editar | editar código-fonte]

Os vetores e em dois pontos em uma curva plana, uma versão traduzida do segundo quadro (pontilhado) e a mudança em : δ' . δs é a distância entre os pontos. No limite, estará na direção e a curvatura descreve a velocidade de rotação do segmento.

Seja C uma curva representada por no espaço euclidiano, representando o vetor posição da partícula em função do tempo. As fórmulas de Frenet-Serret aplicam-se a curvas não degeneradas, o que significa que elas têm curvatura diferente de zero. Mais formalmente, nesta situação, o vetor de velocidade '(t) e o vetor de aceleração ''(t) são necessariamente não-proporcionais.

Com s(t) representando o comprimento de arco que a partícula moveu ao longo da curva no tempo t. A quantidade s é usada para dar a curva traçada pela trajetória da partícula uma parametrização natural pelo comprimento do arco, uma vez que muitos caminhos diferentes de partículas podem traçar a mesma curva geométrica percorrendo-a em diferentes taxas. Em detalhe, s é dado por

Além disso, como assumimos que 0, segue que s(t) é uma função estritamente monotonicamente crescente. Portanto, é possível resolver t como uma função de s e, assim, escrever (s) = (t(s)). A curva é assim parametrizada de uma maneira preferida: pelo seu comprimento de arco.

Com uma curva não-degenerada r(s), parametrizada pelo seu comprimento de arco, é possível, então, definir o Triedro de Frenet–Serret (ou triedro TNB):

Vetor Tangente[editar | editar código-fonte]

O vetor tangente unitário é definido como o vetor com a mesma direção do vetor tangente e módulo 1.[2]

Vetor Normal[editar | editar código-fonte]

Os vetores T (azul), N (vermelho) e B (preto) movendo-se ao longo de um helicóide.

Este vetor será definido a partir da condição de ortogonalidade entre e , ou seja, Como o vetor é um vetor de módulo constante e igual a 1, então e, portanto, é ortogonal a . Então, o vetor normal fica definido como:

O vetor normal unitário possui a mesma direção de e aponta para o interior da curva, ou seja, para o lado côncavo de C.

Vetor Binormal[editar | editar código-fonte]

O vetor binormal é um vetor unitário perpendicular a e , logo

[3]

O vetor binormal pode ser expresso, de maneira alternativa, pela seguinte equação

[3]

Além disso, forma, juntamente com e , um sistema dextrogiro.[4]

Fórmulas de Frenet-Serret[editar | editar código-fonte]

onde é a curvatura e é a torção.

As fórmulas Frenet–Serret são também conhecidas como teoremas de Frenet–Serret, e podem ser apresentadas de forma mais concisa usando a notação matricial:

Essa matriz é antissimétrica.

Prova[editar | editar código-fonte]

Considere a matriz:

As linhas dessa matriz são vetores unitários mutualmente perpendiculares: uma base ortonormal3. Como resultado, a transposta de Q é igual a inversa de Q: Q é uma matriz ortogonal. É suficiente mostrar que:

Note que na primeira linha a equação já se sustenta pela definição da normal e da curvatura . Então é suficiente mostrar que é uma matriz antissimétrica. Já que , tomando a derivada e aplicando a regra do produto resulta em:

que estabelece a antissimetria necessária.[5]

Curvatura[editar | editar código-fonte]

A curvatura em um ponto de uma curva mede a velocidade em que o vetor tangente varia em relação ao comprimento de arco s. Ou seja, a curvatura é uma função escalar de s, definida como:

(1)

Porém o parâmetro s não é muito prático. Transformamos, então, (s) em (t), onde o parâmetro t pode ser um ângulo ou a variável tempo.

Usando a regra da cadeia:

(2)

e

(3)

Substituindo (3) em (2) e esta na definição (1), teremos:

,

Raio de curvatura[editar | editar código-fonte]

Círculo Osculador.

O raio de curvatura está associada com a curvatura e é definido como

Podemos então concluir que quanto maior a curvatura (t) em um certo ponto, menor será seu raio de curvatura . Em geral, se uma curva no espaço bidimensional tem curvatura no ponto P(x,y), então o círculo de raio que seja tangente a essa curva em P e que tenha centro no lado côncavo da curva em P é chamado de círculo de curvatura ou círculo osculador em P.

O círculo osculador e a curva não só se tocam em P como também têm a mesma curvatura naquele ponto. Dessa maneira, o círculo osculador é o círculo que melhor aproxima a curva na vizinhança de P. Por sua vez, o raio  de um círculo osculador em P é chamado de raio de curvatura em P e o centro do círculo é chamado de centro de curvatura em P[6].

Torção[editar | editar código-fonte]

Nó toral com vetores tangente T (rosa), normal N (marrom) e binormal B (verde).

A torção mede a capacidade de uma curva se torcer e é definida como:

E assim como na curvatura, transformamos em , pois s não é um parâmetro muito prático.

Pela regra da cadeia:

Raio de Torção[editar | editar código-fonte]

Pode-se atribuir ao conceito de torção , a ideia de raio de torção,[7] denotado por σ, definido da forma:

Expansão de Taylor[editar | editar código-fonte]

Diferenciando repetidamente a curva e aplicando as fórmulas de Frenet-Serret resulta na seguinte aproximação de Taylor para a curva próximo de s=0.[8]

Para uma curva genérica com torsão não nula, a projeção da curva em vários planos coordenados no sistema de coordenadas T, N, B em s=0 tem as seguintes interpretações:

  • O plano osculante é plano contendo T e N. A projeção da curva neste plano tem a forma:

Isso é uma parábola a termos de (s2), cuja curvatura em 0 é igual a k(0).

  • O plano normal é o plano contendo B e N. A projeção da curva neste plano tem a forma:

que é uma parábola semicúbica de ordem o(s3).

  • O plano retificador é o plano contendo T e B. A projeção da curva nesse plano tem a forma:

que traça o gráfico de um polinômio cúbico de ordem o(s3).

Referências

  1. Tausk, Daniel. «Triedro de Frenet» (PDF). Instituto de Matemática e Estatística - Universidade de São Paulo. Consultado em 7 de fevereiro de 2018 
  2. ANTON, Howard (2014). Cálculo. v2. Porto Alegre: Bookman. p. 868. ISBN 9788582602454 
  3. a b Notas de Aula da prof. Irene Strauch - Análise Vetorial
  4. «Triedro de Frenet-Serret». www.ufrgs.br. Consultado em 14 de abril de 2018 
  5. Essa prova se dá provavelmente a Élie Cartan. Veja Griffiths (1974) onde ele fornece a mesma prova, mas usando a forma de Maurer-Cartan. Nossa descrição explícita da forma de Maurer-Cartan usando matrizes é padrão. Veja, por exemplo, Spivak, Volume II, p. 37. Uma generalização desta prova para n dimenções não é difícil,mas foi omitida para simplificar a exposição. Novamente, veja Griffiths (1974) para detalhes.
  6. Anton, Howard (2007). Cálculo. Porto Alegre: Bookman. pp. 672p 
  7. Spiegel, Murray R. (1970). Serie Shaum: Analisis Vectorial. México: McGRAW-HILL. 38 páginas 
  8. Kühnel, Wolfgang (2002), Differential geometry, Student Mathematical Library 16, Providence, R.I.: American Mathematical SocietyISBN 978-0-8218-2656-0MR 1882174


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