Base ortonormal

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Em álgebra linear, uma base composta pelos vetores de um espaço vetorial é ortonormal se, além de ser uma base ortogonal, seus vetores forem unitários.[1][2][3] Ser ortogonal significa que o produto interno entre pares de vetores distintos dessa base são igual a zero, ou seja,

.

Ademais, estar normalizado significa que os vetores da base são todos unitários, ou seja,

para .

Essas duas definições podem ser condensadas assim:

, onde

Normalização[editar | editar código-fonte]

Para transformar uma base ortogonal qualquer em ortonormal, basta fazer com que o conjunto de seus vetores tenham módulo igual a 1. Se a base é composta por , pode-se realizar isso por meio da divisão de cada vetor pelo seu respectivo módulo, um processo nomeado normalização[2]. Em outras palavras:

para

em que indica que este é um vetor unitário. A nova base composta por será então uma base ortonormal.

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Dada a base ortogonal composta pelos vetores e , determine uma base ortonormal que gere o mesmo espaço vetorial.

Ao realizar o produto interno entre pares de vetores distintos, verifica-se que a base é de fato ortogonal. Para torná-la ortonormal, deve-se dividir cada vetor pelo seu módulo:

Os vetores e formam, então, uma base ortonormal. Essa é a base canônica em .

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Dado o conjunto formado pelos vetores e , encontre uma base ortonormal que gere o mesmo espaço.

Realizando o produto interno entre os dois vetores, verifica-se a ortogonalidade entre eles. Agora, é necessário torná-los unitários:

Logo, e compõem uma base ortonormal.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  1. Seymour Lipschutz, Marc Lipson, Algebra Linear: Coleção Schaum , Bookman, 2011 ISBN 8-540-70041-7
  2. Alesio João de Caroli, Carlos Alberto Callioli, Miguel Oliva Feitosa, Matrizes vetores geometria analítica , NBL Editora, 1986 ISBN 8-521-30406-4
  3. Antonio Fernando Ribeiro De Toledo Piza, Mecânica Quântica Vol. 51, EdUSP, 2003 ISBN 8-531-40748-6
  4. Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, Matemática Avançada para Engenharia - Vol II, Volume 2, Bookman, 2009 ISBN 8-577-80497-6
  5. Paulo S. R. Diniz, Eduardo A. B. da Silva, Sergio L. Netto, Processamento Digital de Sinais - 2.ed.: Projeto e Análise de Sistemas , Bookman Editora, 2014 ISBN 8-582-60124-7
  6. Avinash Chandra Bajpai, L. R. Mustoe, Dennis Walker, Advanced Engineering Mathematics, Hemus, 1977 ISBN 0-471-99520-7
  7. HELIO MAGALHAES DE OLIVEIRA, Análise de Sinais para Engenheiros, Brasport ISBN 8-574-52283-X
  8. A. Quarteroni, F. Saleri, CÁLCULO CIENTÍFICO com MATLAB e Octave, Springer Science & Business Media, 2007 ISBN 8-847-00718-6

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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