Base ortogonal

Em matemática, na teoria da álgebra linear, uma base ortogonal para um espaço vetorial com produto interno V é uma base para V cujos vetores são mutuamente ortogonais. Se os vetores de uma base ortogonal forem normalizados, a base resultante é uma base ortonormal.

Como coordenadas

Qualquer base ortogonal pode ser usada para definir um sistema de coordenadas ortogonais V. Bases ortogonais (não necessariamente ortonormais) são importantes devido à sua ocorrência a partir de coordenadas ortogonais curvilíneas nos espaços euclidianos, bem como nas variedades riemannianas e pseudoriemanniana.

Em análise funcional

Em análise funcional, uma base ortonormal é qualquer base obtida a partir de uma base ortonormal (ou base de Hilbert) por meio da multiplicação por escalares não nulos.

Extensões

O conceito de base ortogonal (mas não ortonormal) aplica-se a um espaço vetorial V (sobre qualquer corpo) equipado com uma forma bilinear simétrica $\langle \cdot ,\cdot \rangle ,$ em que a ortogonalidade dos vetores v e w significa $\langle v,w\rangle =0.$ Para uma base ortogonal {e_k} :

$$\langle \mathbf {e} _{j},\mathbf {e} _{k}\rangle =\left\{{\begin{array}{ll}q(\mathbf {e} _{k})&j=k\\0&j\neq k\end{array}}\right.\quad ,$$

em que q é uma forma quadrática associada a $\langle \cdot ,\cdot \rangle :$ $q(v)=\langle \cdot ,\cdot \rangle$ (em um espaço com produto interno $q(v)=|v|^{2}$). Assim,

$$\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\sum \limits _{k}q(\mathbf {e} _{k})v^{k}w^{k}\ ,$$

em que v^k e w^k são componentes de v e w em {e_k} .

Ver também

• Base ortonormal
• Base (álgebra linear)
• Subespaço vetorial
• Corpo (matemática)
• Teorema da base de Hilbert
• Espaço vetorial
• Espaço de Hilbert
• Forma bilinear simétrica

Referências

• Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Col: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. [S.l.]: Springer-Verlag. p. 6. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Orthogonal Basis» (em inglês). MathWorld