Subespaço vetorial

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Sejam V e W espaços vetoriais definidos sobre o mesmo corpo F. W é um subespaço vetorial de V quando, como conjunto, W é um subconjunto não vazio de V, e as operações +: W x W -> W e .: F x W -> W são as mesmas que +: V x V -> V e .: F x V -> V, quando efetuadas em elementos de W.

Definição[editar | editar código-fonte]

A definição rigorosa de subespaço vetorial tem a seguinte forma:

Sejam e espaços vetoriais sobre o corpo . Então W é um subespaço vetorial de V se, além de ser não vazio, satisfizer:

Essas duas últimas propriedades podem ser sucintamente representadas por:

usando a definição de restrição de uma função a subconjunto de seu domínio.

De modo geral, quando se diz que é um espaço vetorial e , presume-se que as operações em W são as mesmas de V, então para se provar que W é um subespaço vetorial de V basta provar que W é um espaço vetorial, ou seja, que e que as operações de soma de vetores de W e de multiplicação de escalar por vetor de W geram elementos de W.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Em , o conjunto é um subespaço vetorial.
  • Se considerarmos que é um espaço vetorial sobre , então é um subespaço vetorial.
  • O conjunto é um subespaço vetorial de .
  • O conjunto dado pelas equações paramétricas é um subespaço vetorial de .
  • Os exemplos acimas são casos particulares de uma classe de exemplos: seja uma função linear. Então o núcleo de L (denotado por ker(L)) e a imagem de L (denotada por Im(L)) são subespaços vetoriais, respectivamente, de V e W.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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