Parábola

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Uma parábola

Parábola (do grego: παραβολή) é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo à reta geratriz do cone, sendo que o plano não contém esta. Equivalentemente, uma parábola é a curva plana definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz)[1] [2] . Aplicações práticas são encontradas em diversas áreas da física e da engenharia como no projeto de antenas parabólicas, radares, faróis de automóveis.

Definições e visão geral[editar | editar código-fonte]

Parábola de foco e diretriz .

Equações da geometria analítica[editar | editar código-fonte]

Uma parábola é o conjunto de pontos no plano que são equidistantes de um ponto dado (foco) e uma reta dada (diretriz) que não contém [3] . Assim, em coordenadas cartesianas, uma parábola de foco e reta diretriz tem equação[4]

Uma parábola é dita estar em uma posição padrão quando seu foco está sobre o eixo das abscissas ou sobre o eixo das ordenadas e sua diretriz é, respectivamente, paralela ao eixo das ordenadas ou ao eixo das abscissas. A equação de uma parábola em uma posição padrão é chamada de equação padrão. Assim, além da equação acima, temos que:

é, também, uma equação padrão. Esta caracteriza uma parábola de foco e diretriz De fato, por definição, pertence à parábola se, e somente se:

onde, denota a distância euclidiana. Assim, para uma parábola de foco e diretriz temos:

que é equivalente à equação . O procedimento é análogo para uma parábola de foco e diretriz mostrando que, neste caso, .

O eixo de simetria de uma parábola é definido como a reta que passa por seu foco e é perpendicular a sua reta diretriz O vértice de uma parábola é definido pela intersecção da parábola com seu eixo de simetria. Notemos que nas equações acima corresponde a distância do vértice ao foco, bem como, à diretriz.

Um gráfico mostrando as propriedade reflexivas,a diretriz (em verde), e as linhas conectando o foco e e diretriz à parábola (em azul)

Observamos que, por translação, obtemos a equação de uma parábola com vértice V foco e diretriz por:

Analogamente, uma parábola com vértice V foco e diretriz é descrita pela equação:

De maneira geral, uma parábola é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação irredutível de coeficientes reais da forma:

com . O fato da equação ser irredutível significa que ela não pode ser fatorada como um produto de dois fatores lineares.

Outras definições geométricas[carece de fontes?][editar | editar código-fonte]

Parábola como seção cônica.

Uma parábola também pode ser caracterizada com uma secção cônica com uma excentricidade igual a 1. Como uma consequência disso, todas as parábolas são similares.

Uma parábola também pode ser obtida como o limite de uma sequência de elipses onde um foco é mantido fixo e o outro pode se mover para uma distância cada vez maior do foco em uma direção. Desta forma, uma parábola pode ser considerada a seção do segmento de uma elipse que possui um foco no infinito. A parábola é a transformada inversa de um cardióide.

Se girarmos uma parábola através de seu eixo em um gráfico de três dimensões temos uma forma conhecida como o parabolóide de revolução.

Dedução das equações[editar | editar código-fonte]

Exemplo de uma parábola com eixo de simetria vertical.

Em coordenadas cartesiana[editar | editar código-fonte]

Eixo vertical de simetria[editar | editar código-fonte]

Estas deduções se baseiam em uma parábola com eixo vertical de simetria, com vértice e distância entre o vértice e o foco. Por convenção, se o vértice estiver abaixo do foco p é positivo, caso contrário p é negativo.[2]

Como, por definição, um ponto na parábola dista do foco tanto quanto da reta diretriz podemos escrever:

onde, denota a distância euclidiana e denota a função valor absoluto. Lembrando que para qualquer real, temos:

a qual é a equação padrão procurada.

Comumente, esta equação aparece reescrita na forma de um trinômio do segundo grau:

onde:

Muitas vezes é útil descrever uma parábola via equações paramétricas. Tomando por exemplo e substituindo na equação padrão, obtemos Isto nos fornece a seguinte parametrização de uma tal parábola:

Observamos que a parametrização de i.e. é arbitrária, sendo que diferentes escolhas levam a um conjunto diferente de equações paramétricas.

Eixo horizontal de simetria[editar | editar código-fonte]

Exemplo de uma parábola com eixo de simetria horizontal.

Analogamente, uma parábola com eixo horizontal de simetria, vértice e distância entre o vértice e o foco tem equação padrão:

Notemos que esta pode ser reescrita no trinômio de segundo grau:

tomando:

Tomando , , e substituindo na equação padrão, obtemos as seguintes equações paramétricas para uma tal parábola:

Em coordenadas polares[editar | editar código-fonte]

Esboço da parábola com .

Em coordenadas polares, uma parábola com o foco na origem e reta diretriz é dada pela equação[5] :

De fato, tomando e e substituindo na equação polar, obtemos:

que é a equação padrão da parábola de vértice e reta diretriz .

Forma em coordenadas gaussianas[editar | editar código-fonte]

A forma em coordenadas gaussianas é dada por:[carece de fontes?]

e possui a normal .

Equação Quadrática[editar | editar código-fonte]

De forma geral, uma parábola é descrita por uma equação quadrática de coeficientes reais da forma:

com e . A presença do termo cruzado (i.e., ) indica que a parábola tem eixo de simetria transversal em relação aos eixos canônicos .

Esboço de uma parábola em posição não padrão. Aqui, , , a rotação é dada por e e a translação é dada por e .

Tal equação pode ser escrita na seguinte forma matricial[6] :

onde é o vetor real bidimensional das incógnitas,

é uma matriz real simétrica de autovalores reais e , sendo exatamente um deles nulo,

é o vetor real bidimensional, e é um escalar real.

Rotação[editar | editar código-fonte]

Uma parábola cujo eixo de simetria não é paralelo ao eixo das abscissas nem ao eixo das ordenadas pode ser descrita como uma rotação de uma parábola em uma posição padrão. Notemos que a matriz é ortogonalmente diagonalizável[6] , i.e.:

onde é a matriz ortogonal, cujas colunas são autovetores , associados aos autovalores e , respectivamente.

Fazendo a mudança de variável:

,

podemos escrever a equação da parábola nas novas variáveis como:

a qual representa uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo , dado pelo autovetor , ou ao eixo , dado pelo autovetor .

Translação[editar | editar código-fonte]

Uma parábola de vértice pode ser vista como uma translação de uma parábola de vértice na origem. Ou seja, fazendo a mudança de variável:

obtemos a equação padrão da parábola escrita nas variáveis .

Propriedade Refletora[editar | editar código-fonte]

Propriedade refletora de uma parábola.

Para uma superfície parabólica que seja construída com material reflexivo, um feixe de partículas paralelas ao eixo de simetria é direcionado para o seu foco.[7]

De fato, consideramos, sem perda de generalidade, a parábola ilustrada na figura ao lado. Nela, denota seu foco, seu vértice e o ponto de incidência de um feixe de partículas paralelo ao eixo de simetria dessa parábola. A reta paralela ao eixo de simetria que contém a trajetória da onda tem interseção com o eixo das abscissas no ponto e com a diretriz da parábola no ponto . Observamos que o segmento tem interseção com o eixo das abscissas no ponto , i.e. no ponto médio entre os pontos e . Por essa razão e mais o fato de que e são equidistantes do eixo das abscissas, vemos que e são triângulos congruentes. Notamos, agora, que a reta que passa pelos pontos e têm inclinação e, portanto, é a reta tangente à parábola no ponto , pois neste ponto. Assim, se é o ângulo de incidência do feixe com a reta tangente no ponto (equivalentemente, com um elemento infinitesimal do comprimento do arco da parábola no mesmo ponto) , temos que o feixe é refletido pela parábola com o mesmo ângulo. Pela congruência dos triângulos e , vemos que a onda refletida alcança o ponto , i.e. o foco da parábola.

Referências

  1. Affonso Rocha Giongo (1974). Curso de Desenho Geométrico Nobel [S.l.] Capítulo: Retificação da circunferência 78 p. 
  2. a b «Sítio de internet do curso Cálculo e Geometria Analítica da UFRGS - Cônicas». Instituto de Matemática da UFRGS. Consultado em 24/10/2014. 
  3. «Parabola - from Wolfram MathWorld». Wolfram Research, Inc. Consultado em 24/10/2014. 
  4. Boulos, Paulo; Camargo, Ivan de (1987). Geometria Analítica. Um Tratamento Vetorial 2 ed. (São Paulo: McGrall-Hill). p. 266. ISBN 0074500465. 
  5. Reginaldo J. Santos (2001). «Seções Cônicas» (PDF). Consultado em 25/10/2014. 
  6. a b KOLMAN, BERNARD (2013). Álgebra Linear com Aplicações 9 ed. LTC [S.l.] ISBN 9788521622086. 
  7. Lima, Elon Lages (2006). A matemática do ensino médio - volume 1 SBM [S.l.] ISBN 8585818107. 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
  • Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
  • Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
  • Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
  • Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
  • Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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