Distância euclidiana

A distância euclidiana em duas dimensões.

Em matemática, distância euclidiana é a distância entre dois pontos, que pode ser provada pela aplicação repetida do teorema de Pitágoras. Aplicando essa fórmula como distância, o espaço euclidiano torna-se um espaço métrico.

Definição

A distância euclidiana entre os pontos $P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ e $Q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),$ num espaço euclidiano n-dimensional, é definida como:

$${\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}.$$

Distância unidimensional

Para pontos unidimensionais, $P=(p_{x})$ e $Q=(q_{x}),$ a distância é computada como:

$${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|.$$

O valor absoluto é usado já que a distância é normalmente considerada um valor escalar sem sinal.

Distância bidimensional

Para pontos bidimensionais, $P=(p_{x},p_{y})$ e $Q=(q_{x},q_{y}),$ a distância é computada como:

$${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}.$$

Alternativamente, expressando-se em coordenadas polares, usando $P=(r_{1},\theta _{1})$ e $Q=(r_{2},\theta _{2}),$ a distância é computada como:

$${\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.$$

Tenha em mente que a distância euclidiana no plano cartesiano, portanto bidimensional, equivale à hipotenusa ($c$) no Teorema de Pitágoras.

Exemplo: dadas as coordenadas p1 (400, 60) e p2 (300, 50), então, a distância euclidiana entre elas é $100,1249$

$${\sqrt {(400-300)^{2}+(60-50)^{2}}}={\sqrt {10025}}=100,1249.$$

Distância tridimensional

Para pontos tridimensionais, $P=(p_{x},p_{y},p_{z})$ e $Q=(q_{x},q_{y},q_{z}),$ a distância é computada como:

$${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.$$

Distância n-dimensional

Para pontos n-dimensionais, $P=(p_{1},p_{2},...,p_{n})$ e $Q=(q_{1},q_{2},...,q_{n}),$ a distância é computada como:

$${\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+...+(p_{n}-q_{n})^{2}}}.$$

Ver também

• Distância de Mahalanobis
• Geometria do táxi
• Métrica (matemática)