Cone

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Um cone.

Em geometria, o cone é um sólido geométrico obtido quando se tem uma pirâmide cuja base é um polígono regular, e o número de lados da base tende ao infinito.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Os cones podem ser divididos em:

  • Reto;
  • Oblíquo;
  • Equilátero.

Reto[editar | editar código-fonte]

O cone é dito reto quando a sua base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base (isto é, o seu eixo) é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto.

Oblíquo[editar | editar código-fonte]

Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.

Equilátero[editar | editar código-fonte]

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Cone de um espaço vetorial[editar | editar código-fonte]

Um subconjunto C do espaço vetorial E chama-se um cone quando, para todo elemento v pertencente a C e todo t > 0 real, tem-se que tv pertence a C.

Fórmulas[editar | editar código-fonte]

O volume, , de um cone de altura, , e base com raio, , é do volume do cilindro com as mesmas dimensões, ou seja:

O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo a da distância da base ao eixo. A área da superfície de um cone é dada por:

onde, é a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo nesta fórmula, é a área da base, enquanto que o segundo termo é a área lateral. Ou seja, a área total é a área lateral mais a área da base:

Com uso de cálculo integral[editar | editar código-fonte]

Aqui, obteremos as fórmulas do volume e área total do cone usando de técnicas de cálculo diferencial e integral. Um cone de altura e raio corresponde ao sólido de revolução que se obtém ao rotacionar a função:

em torno do eixo .

Volume

Cone de revolução.

Notemos que a área da seção circular do cone é dada por:

Para um deslocamento infinitesimal tem-se o incremento de volume:

Então, integrando de a obtemos o volume do cone:

Área total

O cálculo da área de superfície total do cone se divide em duas partes: o cálculo da área da base e o cálculo da área lateral. A base é um círculo de área:

Agora, para obtermos a área da superfície lateral, vamos empregar um raciocínio semelhante ao do cálculo do volume. Primeiramente, observamos que um deslocamento infinitesimal corresponde a um deslocamento de comprimento de linha sobre a reta . Pelo Teorema de Pitágoras temos que , ou seja:

Considerando a rotação do segmento em torno do eixo , temos que o incremento de área lateral infinitesimal é dada por:

Substituindo e em função de e , obtemos:

Integrando de a , temos:

Somando-se as áreas da base e lateral temos a área total:

onde, .

Para cones equiláteros[editar | editar código-fonte]

A área da base do cone é:

Pelo Teorema de Pitágoras temos que , logo , assim:

Como o volume do cone é obtido por do produto da área da base pela altura, temos:

Similarmente, a área lateral é dada por:

e, a área total por:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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