Cone

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Esta página ou secção não cita fontes confiáveis e independentes, o que compromete sua credibilidade (desde setembro de 2011). Por favor, adicione referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.
Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)
Um cone.

Em geometria, o cone é um sólido geométrico obtido quando se tem uma pirâmide cuja base é um polígono regular, e o número de lados da base tende ao infinito.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Os cones podem ser divididos em:

  • Reto;
  • Oblíquo;
  • Equilátero.

Reto[editar | editar código-fonte]

O cone é dito reto quando a sua base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base (isto é, o seu eixo) é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto.

Oblíquo[editar | editar código-fonte]

Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.

Equilátero[editar | editar código-fonte]

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Cone de um espaço vetorial[editar | editar código-fonte]

Um subconjunto C do espaço vetorial E chama-se um cone quando, para todo elemento v pertencente a C e todo t > 0 real, tem-se que tv pertence a C.

Fórmulas[editar | editar código-fonte]

O volume, {\textstyle V}, de um cone de altura, {\textstyle h}, e base com raio, {\textstyle r}, é {\textstyle 1/3} do volume do cilindro com as mesmas dimensões, ou seja:

V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h

O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo a {\textstyle 1/4} da distância da base ao eixo. A área da superfície de um cone {\textstyle A} é dada por:

A = \pi r (r + g)

onde, {\textstyle g = \sqrt{r^2 + h^2}} é a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo nesta fórmula, {\textstyle \pi r^2} é a área da base, enquanto que o segundo termo {\textstyle \pi r g} é a área lateral. Ou seja, a área total é a área lateral mais a área da base:

 A = \pi r \cdot g + \pi r^2

Com uso de cálculo integral[editar | editar código-fonte]

Aqui, obteremos as fórmulas do volume e área total do cone usando de técnicas de cálculo diferencial e integral. Um cone de altura {\textstyle h } e raio {\textstyle r } corresponde ao sólido de revolução que se obtém ao rotacionar a função:

y=\frac {r}{h}x

em torno do eixo {\textstyle x}.

Volume

Cone de revolução.

Notemos que a área da seção circular do cone é dada por:

A=\pi y^2 = \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2

Para um deslocamento infinitesimal {\textstyle dx} tem-se o incremento de volume:

dV= \pi\frac {r^2}{h^2}x^2 dx

Então, integrando de {\textstyle 0 } a {\textstyle h } obtemos o volume do cone:

\int_{0}^{h} dV=\pi \frac {r^2}{h^2} \int_{0}^{h} x^2 dx \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Área total

O cálculo da área de superfície total do cone se divide em duas partes: o cálculo da área da base e o cálculo da área lateral. A base é um círculo de área:

A_b = \pi r^2

Agora, para obtermos a área da superfície lateral, vamos empregar um raciocínio semelhante ao do cálculo do volume. Primeiramente, observamos que um deslocamento infinitesimal {\textstyle dx } corresponde a um deslocamento de comprimento de linha {\textstyle dL } sobre a reta {\textstyle y=\frac {r}{h}x }. Pelo Teorema de Pitágoras temos que (dL)^2=(dy)^2+(dx)^2 , ou seja:

dL=\sqrt{\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+1}\,dx

Considerando a rotação do segmento {\textstyle dL } em torno do eixo {\textstyle x }, temos que o incremento de área lateral infinitesimal é dada por:

dA_l=2 \pi y\, dL

Substituindo {\textstyle y } e {\textstyle dL } em função de {\textstyle x } e {\textstyle dx }, obtemos:

dA_l = 2\pi\frac{r}{h}x\sqrt{\frac{r^2}{h^2}+1}\,dx

Integrando de {\textstyle 0 } a {\textstyle h }, temos:

\int_{0}^{h} dA_l =\int_{0}^{h} 2\pi\frac{r}{h}x\sqrt{\frac {r^2}{h^2}+1}\,dx \Rightarrow A_l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}

Somando-se as áreas da base e lateral temos a área total:

A = \pi r (g+r)

onde, g = \sqrt{r^2 + h^2} .

Para cones equiláteros[editar | editar código-fonte]

A área da base do cone é:

A_b = \pi r^2

Pelo Teorema de Pitágoras temos que {\textstyle (2r)^2 = h^2 + r^2}, logo {\textstyle h^2 = 4r^2 - r^2 = 3r^2}, assim:

h = r\sqrt{3}

Como o volume do cone é obtido por {\textstyle 1/3} do produto da área da base pela altura, temos:

V = \frac{\pi r^3 \sqrt{3}}{3}

Similarmente, a área lateral é dada por:

A_l = \pi \cdot r \cdot g = \pi \cdot r \cdot 2r = 2 \cdot \pi \cdot r^2

e, a área total por:

A = 3 \pi r^2

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.