Quádrica

Quádrica ou superfície quádrica é, em matemática, o conjunto dos pontos do espaço tridimensional cujas coordenadas formam um polinômio de segundo grau de no máximo três variáveis denominada de equação cartesiana da superfície:

• $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0\,$ onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f é diferente zero, representando assim uma superfície quádrica, ou simplesmente, uma quádrica. Se a superfície quádrica, for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. A interseção de uma superfície com um plano é chamado de traço da superfície no plano. A redução da equação geral das quádricas às suas formas mais simples exige cálculos laboriosos.

Superfícies

Numa visão informal, as superfícies quadráticas são as regiões formadas quando as cônicas se movimentam no espaço. A partir da equação geral do segundo grau nas três variáveis x,y,z é possível representar uma superfície quadrática.

Observemos que se a superfície quadrática formada pela equação geral, for cortada por um plano paralelo a um dos planos coordenados, a curva de interseção será uma cônica.

Superfície Esférica

A superfície esférica S de centro C e raio r > 0 é o lugar geométrico dos pontos do espaço que mantém a distância r de C. Sendo $P=(x,y,z)\in S\,$ e C = $(x_{o},y_{o},z_{o})\,$ então d(P,C) = r, ou seja, a equação implícita de S é:

$(x-x_{o})^{2}+(y-y_{o})^{2}+(z-z_{o})^{2}=r^{2}\,$

Se aproximarmos um plano $\pi \,$ de uma superfície esférica de modo que este toque a superfície em apenas um ponto Pt, este ponto é chamado ponto de tangência onde é válido:

$\pi \cap S=\{Pt\}\,$

${\overline {C\ Pt}}\perp \pi \,$

$d(C,\pi )=r\,$

Porém, se o plano $\pi$ tocar a superfície em mais de um ponto, então o plano é secante à superfície, o que acontece sempre que $d(C,\pi )<r\,$.

Superfície Cilíndrica

Uma superfície é dita cilíndrica se existir uma curva C e uma reta r tais que a superfície seja a união de retas paralelas a r que passem por C. C é chamada diretriz da superfície S e as retas paralelas a r são geratrizes de S.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

Superfície Cônica

Uma superfície S é dita cônica se ela for formada a partir de uma curva C e um ponto V não pertencente a C tal que S é a união das retas VQ, onde Q percorre C.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

Superfície de Rotação

Uma superfície S é uma superfície de rotação se existem uma reta r e uma curva C tal que S é a união das circunferências com centro em r e que tangenciam C.

r é o eixo de rotação de S. A interseção de S com o semiplano de origem r é um meridiano de S.

Na maioria dos casos em que a curva C é uma quádrica plana, a superfície tem grau maior que 2 (não sendo uma quádrica; por exemplo, se C for um círculo que não intercepta r, S será um toro).

S será uma quádrica quando C, além de ser uma quádrica, ainda tem r como eixo de simetria.

Superfícies Quádricas

Relação das superfícies quádricas da sua fórmula e desenho:

Superfície quádrica	Fórmulas	Desenho
Elipsoide	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
Elipsoide de revolução (caso particular do elipsoide)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,$
Esfera (caso particular do elipsoide de revolução)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,$
Paraboloide elíptico	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$
Paraboloide de revolução (caso particular do paraboloide elíptico)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,$
Paraboloide hiperbólico	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$
Hiperboloide de uma folha	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
Hiperboloide de duas folhas	$-{x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
Cone	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,$
Cilindro elíptico	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
Cilindro circular (caso particular do Cilindro elíptico)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,$
Cilindro hiperbólico	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
Cilindro parabólico	$x^{2}+2y=0\,$

Referências

• Camargo, Ivan de; Boulos, Paulo. (2005). Geometria Analítica: um Tratamento Vetorial. Makron Books. 3ª edição. ISBN 8587918915.

Ligações externas

• Applet interativo 3D em Java de todas as quádricas
• Venturi, Jacir J. (2003). Cônicas e Quádricas (PDF). Curitiba: Unificado. 246 páginas. ISBN 85-85132-48-5