Esfera

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Uma esfera.
Disambig grey.svg Nota: Para outros significados, veja Esfera (desambiguação).

A esfera pode ser definida como "uma sequência de pontos alinhados em todos os sentidos à mesma distância de um centro comum" é tida também como um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior chamado centro"; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma. A esfera pode ser obtida através do movimento de rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro.

Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamente simétrico.[1] Na matemática, o termo se refere à superfície de uma bola. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam espaço.

Quanto à geometria analítica, uma esfera é representada (em coordenadas retangulares) pela equação: em que a, b, c são as coordenadas do centro da esfera nos eixos x, y, z respectivamente, e r é o raio da esfera. A esfera é uma forma circular ou seja esferica como uma forma de bola.

Área e volume[editar | editar código-fonte]

semi-esfera

A área de uma superfície esférica é obtida pela fórmula[2]:

O volume de uma esfera é dado pela fórmula[2]

onde r é o raio da esfera e π é a constante pi.

Calota x segmento esférico[editar | editar código-fonte]

Parte azul: calota; parte branca: segmento esférico.

Calota seria metaforicamente "a tampa de uma laranja", demonstrada pela parte azul no desenho.

Área da calota:

Área do Segmento Esférico:

Em que, As é a área do segmento, At área total da esfera e, Ac área da calota.

Logo, o volume do segmento é:

Fuso x cunha[editar | editar código-fonte]

Fusocunha1.JPG Em azul é o fuso, em cinza é a cunha.

Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por um "gomo de tangerina" (metaforicamente). Formalmente, o fuso é a interseção da superfície de uma esfera com um diedro cuja aresta contém um diâmetro da mesma[2].

Área do fuso:

é o ângulo (em graus) do fuso.

Uma cunha é a interseção de uma esfera com um diedro cuja aresta contém um diâmetro da esfera[2].

O volume da cunha é:

Nota-se que a área e o volume da cunha podem ambos ser obtidos subtraindo-se os respectivos valores para o fuso do valor total para a esfera.

Volume[editar | editar código-fonte]

O volume de uma semi-esfera é igual a soma dos volumes de discos, concêntricos e de espessura infinitesimal, empilhados ao longo do eixo x, de x = r (y = 0) até x = 0 onde o disco tem raio r (y = r).

Num dado x, o volume incremental (δV) é dado pelo produto da área transversal no ponto x pela largura (δx):

O volume da semi-esfera é o somatório de todos os volumes dos discos infinitesimais.

No limite em que δx se aproxima de zero fica:

em toda a evolução de "x" o raio da esfera (r) é sempre constante formando um triângulo retângulo conectando x, y e r à origem, obedecendo ao teorema de Pitágoras:

Substituindo y:

Calculando a integral:

Que é o valor da semi-esfera. Dobrando este valor temos o volume total da esfera:

Área[editar | editar código-fonte]

Cálculos de superfície de uma esfera

Uma vez provado o volume, podemos demonstrar a área da superfície a partir deste resultado (que se explica ao entender que uma esfera é a composição de "cascas de esfera" de espessura infinitesimal, "uma dentro da outra"):

Derivando os dois lados da equação em relação a r:

Que pode ser abreviada como:

A área também pode ser obtida usando coordenadas esféricas. Um elemento de área da esfera, em coordenadas esféricas é dado por:

Portanto a área total será:

Equação da esfera em R3[editar | editar código-fonte]

Em geometria analítica, uma esfera com centro (x0, y0, z0) e raio r é o lugar geométrico tal que:

Na forma parametrizada

Referências

  1. Eric W. Weisstein. «Esfera». Wolfram Research. MathWorld. Consultado em 11 de novembro de 2012. 
  2. a b c d Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar - Volume 10 7 ed. Atual [S.l.] ISBN 9788535717587. 

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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