Circunferência

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Na geometria euclidiana, uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano que equidistam de um ponto fixo. O ponto fixo é o centro e a equidistância o raio da circunferência.[1]

Uma circunferência de raio e centro .

Definição Formal[editar | editar código-fonte]

Circunferência é um conjuntos dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância (não nula) dada. O pondo dado é o centro e a distância dada é o raio da circunferência.

Assim, dados um plano , um ponto e uma distância , temos:

[2],

onde representa a circunferência de centro e raio .

Posições relativas entre ponto e circunferência[editar | editar código-fonte]

Exemplo de posições relativas entre pontos e circunferência: é ponto interno a circunferência; está sob a circunferência e é ponto externo à circunferência.

Dado um ponto e uma circunferência , temos

  • , ou seja, um ponto qualquer é interno a uma circunferência se, e somente se, a distância desse ponto até o centro da circunferência é menor do que o raio da circunferência.
  • , ou seja, um ponto qualquer pertence (ou está sobre) a uma circunferência se, e somente se, a distância desse ponto até o centro da circunferência é igual ao raio da circunferência.
  • , ou seja, um ponto qualquer é externo a uma circunferência se, e somente se, a distância desse ponto até o centro da circunferência é maior do que o raio da circunferência.

Assim, com base nessas definições, podemos definir interior e exterior de uma circunferência.

O interior de uma circunferência é o conjunto dos pontos internos a ela e o exterior de uma circunferência é o conjunto de pontos externos a ela.

Quando unimos o interior de uma circunferência à própria circunferência temos um círculo ou um disco. Logo, um círculo é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado nesse plano é menor ou igual a uma distância (não nula) dada.

Corda, diâmetro e raio[editar | editar código-fonte]

Exemplos de corda, diâmetro e raio de uma circunferência: Raio , Diâmetro e Corda .
Ver artigo principal: Corda (geometria)

Corda, diâmetro e raio são segmentos que estão associados a uma circunferência.

Corda[editar | editar código-fonte]

Corda de uma circunferência é um segmento cujas extremidades pertencem à circunferência.

Diâmetro[editar | editar código-fonte]

Diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo centro da circunferência.

Raio[editar | editar código-fonte]

Raio de uma circunferência é um segmento com uma extremidade no centro e outra num ponto da circunferência.

Arco de circunferência[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Arco (matemática)
Setor circular.

Arco de circunferência é uma parte do comprimento da circunferência delimitado por dois pontos quaisquer (que são os extremos do arco).[3]

De maneira mais formal, consideremos uma circunferência de centro e, sejam e dois pontos de que não sejam extremidades de um diâmetro, temos:

  1. Arco menor é a reunião dos conjuntos dos pontos , e de todos os pontos de que estão no interior do ângulo .
  2. Arco maior é a reunião dos conjuntos dos pontos , e de todos os pontos de que estão no exterior do ângulo .[2]

Setor circular e segmento circular[editar | editar código-fonte]

Para essas definição vamos considerar um círculo de centro e sejam e dois pontos na circunferência de que não sejam extremidades de um diâmetro.

Setor circular[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Setor circular
  • Setor circular menor é a reunião dos conjuntos dos pontos dos raios e e de todos os pontos do círculo que estão no interior do ângulo .
  • Setor circular maior é a reunião dos conjuntos dos pontos dos raios e e de todos os pontos do círculo que estão no exterior do ângulo .

Segmento circular[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Segmento circular

Segmento circular menor é a intersecção do círculo com o semiplano de origem na reta e que não contém o centro de .

Segmento circular maior é a intersecção do círculo com o semiplano de origem na reta e que contém o centro de .

Posições relativas entre reta e circunferência[editar | editar código-fonte]

Dados uma reta e uma circunferência em um plano qualquer, podemos ter apenas uma das duas condições abaixo:

  • é secante a ;
  • é tangente a .
  • é exterior a

Secante[editar | editar código-fonte]

Uma reta é secante a uma circunferência quando elas se interceptam em dois pontos distintos.

Assim dizemos que a reta e a circunferência são secantes.

Toda reta secante a uma circunferência define uma corda na mesma circunferência.

Reta secante a uma circunferência

Propriedades da secante[editar | editar código-fonte]

Como toda reta secante define uma corda em uma circunferência, nessas propriedades, trataremos que as cordas e as retas secantes possuem as mesmas propriedades.

  • Toda corda é perpendicular ao raio da circunferência em seu ponto médio.
  • Todo raio que passa pelo ponto médio de uma corda é perpendicular a mesma corda.

Assim, essa propriedade pode ser interpretada como sendo a "ida" e a volta do mesmo "teorema", que afirma, sem perda de generalidade que:

"Uma reta é secante a uma circunferência se, e somente se, é perpendicular ao raio da circunferência no ponto médio da corda definida pela intersecção da reta com a circunferência."[2]

Demonstração[editar | editar código-fonte]
Demonstracao reta secante ida.svg
Primeira parte[editar | editar código-fonte]

Primeiramente vamos demonstrar que toda corda é perpendicular ao raio da circunferência em seu ponto médio.

Ou seja, vamos demonstrar o seguinte teorema:

Para fazer essa demonstração vamos observar os triângulos e .

Pode-se observar que esses triângulos são congruentes, da seguinte forma:

.

Assim, temos que .

Temos também que esses dois ângulos são suplementares, visto que um é o ângulo externo adjacente ao outro.

Assim temos:

Demonstracao reta secante volta.svg

Logo, .

Tento isso demonstrado, podemos afirmar, sem perda de generalidade que toda reta secante é perpendicular ao raio no ponto médio da corda que define na circunferência.

Segunda parte[editar | editar código-fonte]

Agora vamos demonstrar que todo raio que passa pelo ponto médio de uma corda é perpendicular a mesma corda.

Ou seja, vamos demonstrar o seguinte teorema:

Para fazer essa demonstração vamos observar os triângulos e .

Visto que esses dois triângulos são triângulos retângulos, podemos facilmente verificar sua congruência, da seguinte forma:

Dessa congruência temos que , que significa que é ponto médio de .

Com essas duas demonstrações podemos afirmar, sem perda de generalidade que:

"Uma reta é secante a uma circunferência se, e somente se, é perpendicular ao raio da circunferência no ponto médio da corda que define."

Tangente[editar | editar código-fonte]

Uma reta e uma circunferência são tangentes quando se interceptam em apenas um ponto. A esse ponto comum damos o nome de ponto de tangência.

Reta tangente a circunferência.svg

Propriedades da tangente[editar | editar código-fonte]

Quanto a retas tangentes à circunferências temos duas propriedades, que na verdade são a "ida" e a "volta" do mesmo teorema:

  • Toda reta perpendicular a um raio na sua extremidade da circunferência é tangente à circunferência.
  • Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Então, essas duas propriedades podem ser enunciadas sob forma de um único teorema:

"Uma reta é tangente a uma circunferência se, e somente se, é perpendicular ao raio no ponto de tangência."[2]

Demonstração[editar | editar código-fonte]
Primeira parte[editar | editar código-fonte]
Reta perpendicular a uma circunferência

Primeiramente vamos demonstrar a primeira parte do teorema, que pode se enunciada da seguinte forma, onde é uma circunferência de centro e uma reta.

Para demonstrar essa proposição utilizaremos demonstração por absurdo.

Assim, partiremos admitindo que há pelo menos dois pontos na intersecção entre a reta e a circunferência e buscaremos alguma contradição a partir disso. Ou seja: .

Reta tangente 2.svg

A partir disso, temos:

Pela hipótese temos:

De e encontramos nossa contradição, pois temos um triângulo que possui dois ângulos retos na base.

Logo , o que significa que a reta e a circunferência são tangentes.

Segunda parte[editar | editar código-fonte]
Reta tangente dem 2 1.svg

Agora queremos demonstrar que se uma reta é tangente a uma circunferência, então ela é perpendicular ao raio no ponto de tangência, ou seja, queremos demonstrar:

Para demonstrar essa afirmação iniciaremos supondo que não seja perpendicular a e assim entraremos em contradição com a nossa hipótese.

Assim, se não for perpendicular a podemos tomar um ponto de modo que de modo que e sejam distintos.

Agora tomaremos na semirreta oposta a um ponto tal que .

Reta tangente dem 2 2.svg
Circunferências em posições relativas: 1. Distintas, 2. Tangência externa, 3. Secantes, 4. Tangência interna e 5. Concêntricas.

A partir disso podemos verificar a congruência de triângulos que segue:

.

Visto que os dois triângulos são congruentes, temos que seus respectivos lados também são.

Assim, temos que .

Como é raio da circunferência, temos que também é, o que implica .

Então temos que , o que contradiz nossa hipótese de que a reta seja tangente à circunferência.

Logo, se uma reta é tangente a uma circunferência, então ela é também perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência.

Tendo isso demonstrado podemos afirmar:

"Uma reta é tangente a uma circunferência se, e somente se, é perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência."[2]

Exterior[editar | editar código-fonte]

Uma reta é exterior a uma circunferência quando as duas não se interceptam, ou seja, sua intersecção é vazia.

Uma reta exterior a uma circunferência

Posições relativas entre duas circunferências[editar | editar código-fonte]

Em geral, quando temos duas circunferências elas podem ser: tangentes, secantes, concêntricas, externa sem ponto comum ou interna sem ponto comum.

Circunferências tangentes[editar | editar código-fonte]

Duas circunferências são tangentes quando possuem apenas um ponto em comum, ou seja:

Tangentes internas[editar | editar código-fonte]

Duas circunferências são tangentes internas quando, além de possuir apenas um ponto em comum, todos os pontos de uma são internos a outra.

Isso ocorre quando a distância entre os centros é igual à diferença dos raios das circunferências:

Tangentes externas[editar | editar código-fonte]

Duas circunferências são tangentes externas quando, além de possuir apenas um ponto em comum, todos os pontos de uma que não são o ponto de tangência, são externos a outra.[4]

Isso ocorre quando a distância entre o centros é igual à soma dos raios das circunferências:

Circunferências secantes[editar | editar código-fonte]

Duas circunferências são secantes quando possuem dois, e apenas dois, pontos em comum, ou seja:

Circunferências sem pontos em comum[editar | editar código-fonte]

Circunferências concêntricas[editar | editar código-fonte]

Duas circunferências são concêntricas quando são centradas no mesmo ponto.

Isso ocorre quando a distância entre os centros das duas circunferências é nula.

Circunferências externas[editar | editar código-fonte]

Duas circunferências são externas quando a intersecção dos círculos definidos por cada uma é nula.

Circunferências internas[editar | editar código-fonte]

Dizemos que duas circunferências são internas quando a intersecção de ambas é vazia e todos os pontos de uma delas são internos a outra.

Equações[editar | editar código-fonte]

Circunferência com centro C=(a,b) e raio r.

Num sistema de coordenadas cartesianas, uma circunferência pode ser descrita pela equação[5]

na qual e são as coordenadas do centro da circunferência e é o raio. Caso a circunferência tenha o centro sobre a origem do plano cartesiano, a equação é

Também é possível descrever uma circunferência através de equações paramétricas, usando funções trigonométricas:


Neste caso, é a variável paramétrica, variando entre 0 e 2 radianos.

Na geometria analítica, pode ser representada através de uma equação da forma , com coeficientes reais. Sendo que deve ser igual a e diferente de zero e deve ser igual a zero. O raio da circunferência é obtido através da relação:

.

Perímetro[editar | editar código-fonte]

A extensão da circunferência, ou seja, seu perímetro, , pode ser calculada através da equação[1]

em que é o diâmetro da circunferência, ou seja, o dobro de seu raio:

Também temos (pron. pi) que é a constante, cujo valor é

Uma circunferência com raio 1 unidade tem perímetro de comprimento 2π.

Círculo[editar | editar código-fonte]

O círculo é a área interna () delimitada pela circunferência[1], que pode ser calculada usando a equação

Seção cônica[editar | editar código-fonte]

A circunferência é a curva plana fechada que se obtém quando da interseção de um cone circular reto com um plano paralelo à sua base.[6]

Seções cônicas: A = Parábola, B = Circunferência (parte de baixo do duplo cone) e Elipse (parte de cima), C = Hipérboles

Referências

  1. a b c Carvalho, Benjamin - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1988, p. 28.
  2. a b c d e Pompeo, José Nicolau (2013). Fundamentos de Matemática Elementar - 9 (São Paulo: Atual). pp. 143–152. 
  3. «Conceitos básicos de circunferência - Mundo Educação». Mundo Educação. Consultado em 2016-09-06. 
  4. «Posição relativa entre duas circunferências - Mundo Educação». Mundo Educação. Consultado em 2016-09-23. 
  5. [1] www.somatematica.com.br, acessada em 24-Agosto-2011.
  6. Braga, Theodoro. Desenho Linear Geométrico. Ed. Ícone, São Paulo, 1997, p. 230.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
  • Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
  • Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
  • Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
  • Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
  • Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]