Prova da irracionalidade de π

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Embora o número π (pi) tenha sido estudado desde a antigüidade, assim como o conceito de número irracional, foi apenas no século XVIII que se provou a irracionalidade de Pi.

Apresentamos abaixo uma demonstração moderna baseada no raciocínio proposto no século XX pelo matemático Ivan Niven.

Existem outras provas da irracionalidade da constante de Pi, que foram dadas por:

Prova[editar | editar código-fonte]

\pi é um número irracional, ou seja, não pode ser escrito na forma a/b com a e b inteiros. A prova se faz por absurdo como se segue: Suponha que \pi^2=\frac{a}{b} com a e b inteiros positivos e escolha n suficientemente grande de forma que:

\frac{\pi a^n}{n!}<1

Defina f(x) como o polinômio de grau 2n:

f(x)=\frac{x^n(1-x)^n}{n!}

Usando o binômio de Newton, vale:

    f(x)=\frac{x^n}{n!}\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}(-x)^j=\frac{1}{n!}\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}(-1)^jx^{n+j}

Seja f^{(s)}(x)=\frac{d^s f}{dx^s} a s-ésima derivada de f(x).

  • Se 0\leq s\leq n-1, temos:
f^{(s)}(x)=\frac{1}{n!}\displaystyle\sum_{j=0}^n\binom{n}{j}(-1)^j\frac{(n+j)!}{(n+j-s)!}x^{n+j-s}\Longrightarrow f^{(s)}(0)=0
  • Se n\leq s\leq 2n, temos:
f^{(s)}(x)=\frac{1}{n!}\displaystyle\sum_{j=s-n}^n\binom{n}{j}(-1)^j\frac{(n+j)!}{(n+j-s)!}x^{n+j-s}

f^{(s)}(0)=\frac{1}{n!}\binom{n}{s-n}(-1)^{s-n}s!=(-1)^{s-n}\frac{s!}{n!}\binom{n}{s-n}\in\mathbb{Z}

  • Se  s>2n , temos:
f^{(s)}(x)=0

Observe ainda que 0<f(x)<\frac{1}{n!}, \forall x\in(0,1) e que f(x)=f(1-x)

Agora, defina:

F_n:=b^n\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^j\pi^{2n-2j}f^{(2j)}(x)

Observe que:

b^n\pi^{2n-2j}=b^n\frac{a^{n-j}}{b^{n-j}}=a^{n-j}b^j\in\mathbb{Z}

E portanto F(0)=F(1)\in\mathbb{Z} \begin{array}{rcl} \frac{d}{dx}\left[F'(x)\sin\pi x-\pi F(x)\cos\pi
x\right]&=&\left[F''(x)\sin\pi x +\pi F'(x)\cos\pi x -\pi
F'(x)\cos\pi x + \pi^2 F(x)\sin\pi x \right]\\&=&\left[F''(x) + \pi^2 F(x) \right]\sin\pi x\\
\end{array}

Mas \begin{array}{rcl}
F''(x)&=& b^n\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^j\pi^{2n-2j}f^{(2j+2)}(x)=b^n\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}(-1)^j\pi^{2n-2j}f^{(2j+2)}(x)\\
&=&b^n\displaystyle\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j-1}\pi^{2n-2j+2}f^{(2j)}(x)
\end{array} Portanto: 
\begin{array}{rcl}\frac{d}{dx}\left[F'(x)\sin\pi x-\pi F(x)\cos\pi
x\right]=\pi^2b^n\pi^{2n}f(x)\sin\pi x=\pi^2a^nf(x)\sin\pi
x\end{array}

Assim, aplicando o teorema fundamental do cálculo:

J:=\displaystyle\int_{0}^{1}\pi^2a^nf(x)\sin\pi x=\left[F'(x)\sin\pi x-\pi F(x)\cos\pi
x\right]_0^1=\pi\left[F(1)+F(0)\right]

Mas como 0<f(x)<\frac{1}{n!} em (0,1), temos:

0< J=\displaystyle\int_{0}^{1}\pi^2a^nf(x)\sin\pi x\leq\frac{\pi^2a^n}{n!}

e assim: 0<F(0)+F(1)=\frac{J}{\pi}<\frac{\pi a^n}{n!}<1

Um absurdo pois não existe número inteiro maior que zero e menor que 1.

Provamos então que não só \pi é irracional como também \pi^2 o é. Confronte isto com o fato de que \pi é um número transcendente.