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Prova por contradição

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Prova Redução ao absurdo( do latim reductio ad absurdum) é um método de prova matemática indireta, não construtiva(Ou seja, apenas válida na lógica clássica). Este tipo de prova é feito assumindo-se como verdade o contrário do que queremos provar e então chegando-se a uma contradição.

A prova por redução ao absurdo é muito usada em teoremas de existência. Neste caso, é usada para provar a existência de um elemento com determinada característica, sem no entanto mostrar tal elemento. Por esta razão, alguns matemáticos a evitam quando possível, preferindo métodos de prova construtivos. O argumento de diagonalização de Cantor para demonstrar a não enumerabilidade dos números reais normalmente é provado por contradição, embora possa ser pensado como uma prova construtiva [1].

Ao contrário do que se pensa nas línguas lusófonas, Redução ao absurdo não é a mesma coisa de Prova por contradição.[2]

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Prove que existem infinitos números primos.

Prova: Suponha por absurdo, que existem n (uma quantidade finita) números primos, denotados por p1, p2, ..., pn. Considere o número x = p1p2...pn + 1. O número x não é divisível por nenhum dos números p1, p2, ..., pn (o resto da divisão é sempre 1). Logo, existe um primo diferente de p1, p2 ... pn que divide x. Isto contradiz a nossa hipótese inicial de que existem apenas n números primos. Então nossa hipótese inicial está errada e portanto existem infinitos números primos.

Ver também[editar | editar código-fonte]

  1. «Mathematics and Computation | On a proof of Cantor's theorem». math.andrej.com. Consultado em 15 de abril de 2022 
  2. «What is the difference between "reductio ad absurdum" and "proof by contradiction"?». Philosophy Stack Exchange (em inglês). Consultado em 31 de março de 2024