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Relação de recorrência

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Relação de recorrência (ou passo recorrente) é uma técnica matemática que permite definir sequências, conjuntos, operações ou até mesmo algoritmos partindo de problemas particulares para problemas genéricos. Ou seja, por intermédio de uma regra pode-se calcular qualquer termo em função do(s) antecessor(es) imediato(s).

As relações de recorrência são compostas por duas partes importantes: a(s) condição(ões) inicial(is) — que deve(m) ser conhecida(s) —, e a “equação de recorrência” — que é a regra que permitirá calcular os próximos termos em função dos antecessores.

A equação de recorrência não pode definir sequências sem as condições iniciais, isto é, não é uma relação de recorrência.[1]

Tipos de Equações de Recorrência

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Exemplos:

Ou

  • Equação de Recorrência Não Linear: Se a equação de recorrência não for do mesmo modelo que as funções do primeiro grau.

Exemplos:

Ou

  • Quanto à quantidade de termos envolvidos:
  • Equação de Recorrência de Primeira Ordem: Quando aparece na equação de recorrência um termo em função de seu antecessor imediato.

Exemplos:

Ou

  • Relação de Recorrência de Segunda Ordem: Quando aparece na equação de recorrência um termo em função de seus dois antecessores imediatos.

Exemplos:

Ou

  • Relação de Recorrência de Ordem k: Quando aparece na equação de recorrência um termo em função de seus k antecessores imediatos.

Exemplos:

Ou

(Esse exemplo é não linear).

  • Quanto à equação:
  • Relação de Recorrência Homogênea: Quando, em um dos lados da igualdade estarão todos os termos da sequência presentes e no outro lado restará o

Exemplos:

  • Relação de Recorrência Não – Homogênea: Quando, em um dos lados da igualdade estarão todos os termos da sequência presentes e no outro lado restará uma

Exemplos:

Ou

Equação de diferenças

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Em diversos modelos matemáticos de fenômenos físicos, o tempo, que costuma ser a variável independente, varia continuamente. Assim, a variação é uma grandeza infinitesimal e as mudanças na variável dependente podem ser descritas por derivadas. Nesses casos, usamos as equações diferenciais para construir modelos matemáticos que descrevam melhor, em termos numéricos, um determinado fenômeno.

Mas há modelos onde o tempo varia discretamente, isto é, assume apenas valores inteiros. Deste modo, já não se justifica utilizar as equações diferenciais para modelar esses fenômenos, pois o conceito de derivada perde sua aplicabilidade. Nessas situações, usamos as equações de diferenças para a construção do modelo matemático.[2]

Matematicamente,

  • Equações diferenciais (envolvem derivadas, pois a distância entre os pontos está ficando cada vez menor, até ser nula. A variação é continua).
  • Equação de diferenças (a variação é discreta).
Com

Logo, uma equação de diferenças é qualquer problema onde deve-se determinar uma função (desconhecida) a partir de uma relação de recorrência envolvendo o operador diferença. O termo “equação de diferenças” refere-se a um tipo específico de relação de recorrência, embora, frequentemente, seja usado como sinônimo das equações de recorrência.

Demonstração da Resolução das Relações de Recorrência Lineares

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Resolver uma relação de recorrência significa procurar uma forma de calcular qualquer termo dessa relação dependendo apenas do valor do e não precisando calcular todos os antecessores até o valor que se deseja descobrir.

Essa função dependendo de é chamada de forma fechada da equação de recorrência.

Equação característica

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  • Equação de Recorrência de segunda ordem homogênea
Acompanhe a demonstração de resolução da equação de recorrência de segunda ordem homogênea abaixo:

   

Nesta equação, a soma de um termo com seu antecessor imediato e seu segundo antecessor imediato deve resultar em 0 (equação de recorrência de segunda ordem homogênea).
  • Se   o termo será igual a seu segundo antecessor imediato vezes uma constante.
  • Se   o primeiro antecessor será igual ao segundo antecessor vezes uma constante.
  • Se   o termo será igual a seu antecessor vezes uma constante.
As funções lineares (e seus múltiplos), verificam qualquer uma dessas 3 condições. Assim, uma solução possível para esta equação de recorrência de segunda ordem homogênea seria 

Disso,

Substituindo

na equação:

Logo, calculando as raízes da equação quadrática

e&, também conhecida por equação característica da relação de recorrência, se encontrará uma solução da equação de recorrência.[3]

  • Equações de recorrência de primeira ordem homogênea

A equação característica será  

  • Equações de recorrência de ordem  homogênea

A equação característica será

Raízes Distintas da Equação Característica

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Como a equação característica da equação de recorrência de segunda ordem pode ter duas raízes distintas, as soluções da equação de recorrência serão     e   

Assim, também é solução da equação de recorrência

  • Demonstração:

Como é solução de então as contantes e serão solução do sistema

Ou seja,

&

Logo,

Com efeito, seja  

Assim,

<

O primeiro parênteses é igual a zero porque supomos que é solução de& ; os dois últimos parênteses são iguais a zero porque e ; ;são raízes de .

Então

Além disso, como e

Mas, se ;e CQD.

Portanto a forma fechada para a equação de recorrência onde a equação característica tem raízes distintas, é:

Raízes Iguais da Equação Característica

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Para o caso das raízes serem iguais podemos nos basear na resolução das equações diferenciais. Observe que as equações de diferença também geram equações de recorrência.[carece de fontes?]

Assim, considerando que a variação de    seja contínua, o método para resolver equações diferenciais de segunda ordem homogênea pode ser aplicado.

e tem como equação característica:

Sendo    raízes da equação característica, uma das soluções da equação diferencial    será  

Qualquer múltiplo dessa solução será solução da equação diferencial . Então, vamos supor que   também seja solução.

Assim,

Substituindo na equação

A parcela envolvendo é nula. O coeficiente de que também é nulo pois as raízes são iguais.

Logo, a equação será   com  

Portanto

;

;

Então, a solução de , será:

[4]

Traduzindo esse resultado para as relações de recorrência de segunda ordem homogêneas com raízes iguais, a forma fechada da solução será:

  • Para as equações de recorrência de ordem k podemos ter uma raiz de multiplicidade até k. Assim, a forma fechada da equação de recorrência será:

Raízes Complexas da Equação Característica

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Quando as raízes da equação característica são da forma , pode-se trocar o modo de representação do número complexo para a forma polar e evitar cálculos com complexos. Portanto, se a solução da equação de recorrência fosse

poderia ser trocada por
; onde e são novas constantes arbitrárias.

Resolução das Equações de Recorrência Não-Homogêneas

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Seja    uma equação de recorrência de segunda ordem não-homogênea, sua solução é do tipo    onde    é a forma fechada da equação homogênea relacionada e    é uma solução particular da equação não homogênea.

  • Demonstração:

Substituindo por :

  que é válida pois é solução da equação não-homogênea e é válida pois é solução da equação homogênea associada.

Se , será da forma e poderá ser determinado usando as condições iniciais da relação de recorrência. Se for raiz de multiplicidade da equação característica da equação homogênea associada, será da forma

Se   ;será da forma

e cada pode ser determinado usando as condições iniciais da relação de recorrência.

Se 1 for raiz de multiplicidade   da equação característica da equação homogênea associada, será da forma   pois quando 1 é raiz de multiplicidade; da equação característica ele gera um polinômio do tipo

Se for uma soma dos dois últimos casos: será, também, uma soma das formas dos dois casos acima e a resolução procederá como explicado em cada item.

Sequências definidas por recorrência

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Ver artigo principal: Seqüência matemática

As sequências definidas recursivamente satisfazem uma determinada relação de recorrência e tem seu(s) primeiro(s) termo(s) dado(s).

Exemplos:

  • A seqüência abaixo:
  para    ou  

De acordo com a definição da seqüência    temos os seguintes termos:

e assim por diante.

  • A sequência dos números naturais (  ) ímpares  pode ser definida por   com  

Observe que essa sequência só esta definida como “a sequência dos números naturais ímpares” por causa da condição inicial    Se esta condição não tivesse sido estabelecida, a relação de recorrência seria satisfeita por todas as progressões aritméticas de razão 2.

  • Todas as progressões aritméticas de razão  podem ser definidas por com
  • Todas as progressões geométricas de razão podem ser definidas por com
  • A sequência dos números de Lucas:
com e
com e

Números de Fibonacci

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Ver artigo principal: Números de Fibonacci

Os números de Fibonacci são definidos usando-se a relação de recorrência linear , para , com os seguintes valores iniciais: e

Explicitamente, a recorrência produz as equações:

etc.

Obtém-se a partir daí a sequência de número de Fibonnacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Conjuntos definidos por recorrência

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Ver artigo principal: Conjunto

Conjuntos são coleções de objetos onde não existe uma ordem imposta. Porém, ainda assim é possível definir alguns conjuntos por recorrência.

  • Exemplo:
  • Na definição das regras sintáticas para as fórmulas bem formadas (FBFs) da lógica proposicional, utiliza-se a seguinte recorrência:
  1. Condição básica: Toda proposição A é uma FBF, denominada de Fórmula Atômica;
  2. Relação de recorrência: Se P e Q são FBFs, então ¬P (negação), P Λ Q (conjunção), P V Q (disjunção), P→Q (implicação ou condicional) e P↔Q (bicondicional) também são FBFs.

De acordo com esta definição:

  • As proposições A, B e C são fórmulas, pela Condição Básica;
  • Como A, B e C são fórmulas, então ¬A e (B Λ C) também são fórmulas, pela relação de recorrência;
Portanto, visto que ¬A e (B Λ C) são fórmulas, então (¬A →(B Λ C)) também é uma fórmula, pela relação de recorrência.
  • Conjunto de A* (elementos concatenados de um alfabeto A, formando cadeias de comprimento finito). A definição recorrente de A* é:
  1. Condição básica: ¢ Є A* — a cadeia vazia (de comprimento zero, representada por ¢) pertence a A*;
  2. Relação de recorrência:
a) Se a Є A, então a Є A* — todos os elementos de A pertencem a A*;
b) Se a, b Є A*, então ab Є A* — a concatenação "a" com "b" pertence a A*.

De acordo com a definição, para A = {a, b}: A* = {¢, a, b, aa, ab, bb, aaa, ...}.

Operações definidas por recorrência

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Algumas operações em objetos podem ser definidas de forma recorrente.

Exemplo:
  • A operação de exponenciação    de um número real  ,  onde    é um número natural, é definida por:
  1. Condição básica:  
  2. Relação de recorrência:   para    ou  
  • A operação de multiplicação de dois números naturais,    e  ,   é definida por:
  1. Condição básica:  
  2. Relação de recorrência:    para  

Algoritmos definidos por Recorrência

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Ver artigo principal: Algoritmo

Na construção de um algoritmo recursivo é necessário estabelecer uma condição de parada, ou seja, uma condição na qual o algoritmo deve ser capaz resolver o problema de forma trivial. Veja alguns exemplos:

  • Exemplo: O algoritmo para o cálculo do fatorial de modo recorrente.

função

se então
retorne
caso contrário
retorne

Matematicamente, escrevemos:

Sequência de Fibonacci

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função

se então
retorne
caso contrário
retorne

Matematicamente, definimos de forma recursiva Fn como sendo:

Referências

  1. JOSÉ PLÍNIO O. SANTOS - Introdução a Análise Combinatória
  2. http://200.17.60.4/icet/matematica/geraldo/eq_diferencas.pdf
  3. A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Elon Lima, Paulo Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto Morgado
  4. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 9ª Ed. 2010. Autor: Boyce, William Edward. Editora: Ltc.