Problema de Basileia

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O Problema de Basileia é um famoso problema de teoria dos números proposto pela primeira vez por Pietro Mengoli e resolvido por Leonhard Euler em 1735.[1] Posto que o problema não foi resolvido pelos matemáticos mais importantes da época, a solução tornou Euler rapidamente conhecido aos vinte e oito anos. Euler generalizou o problema consideravelmente, e suas ideias foram tomadas anos depois por Bernhard Riemann em seu artigo de 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, onde definiu sua função zeta e demonstrou suas propriedades básicas. O problema deve seu nome à cidade onde residia Euler (Basileia), cidade onde vivia também a família Bernoulli, que tentou resolver o problema sem êxito.

O problema de Basileia consiste em encontrar a soma exata dos inversos dos quadrados dos inteiros positivos, isto é, a soma exata da série infinita:

A prova de Euler[editar | editar código-fonte]

A prova formulada por Euler parte da série de Taylor para a função seno, ou seja

que conduz à fórmula

(1)

Para um polinômio geral de grau n, em que são n raízes de , vale a seguinte decomposição:

Visto que as raízes de sen(x)/x ocorrem exatamente quando em que, Euler assumiu que pode-se expressar a série infinita em questão como o produto das diversas raízes, tal como um polinômio finito, i.e.:

Desenvolvendo-se o produto, obtém-se:

comparando-se esta igualdade com a expressão (1), contata-se, pelos termos que acompanham o , que

Evidenciando-se o , segue que

c.q.d..

Crítica à demonstração de Euler[editar | editar código-fonte]

Nos dias atuais, a prova apresentada por Euler não seria considerada válida; não há dúvidas, todavia, de que o resultado está correto. A crítica que se faz fundamenta-se no argumento de que séries de potências não são polinômios, e, portanto, não compartilham todas as suas propriedades, não sendo válida, pois, a utilização da decomposição apresentada. Genericamente, de fato, não é válida; na função sen(x)/x, contudo, ela funciona, visto que outras demonstrações mais minuciosas conduzem ao mesmo resultado. Faltou a Euler, em seu tempo, uma abordagem mais elaborada da Análise utilizando quantidades infinitas e infinitesimais.

Referências

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