Inverso multiplicativo

A função real de variável real f(x)=1/x asoccia cada x não-nulo com seu inverso multiplicativo.

Em matemática, o inverso multiplicativo de um número x é o número y que, multiplicado por x, gera a identidade multiplicativa. Note-se que estamos falando de qualquer operação binária que tenha o nome de multiplicação, que não precisa ser comutativa, mas deve ter elemento neutro.

No caso de uma operação não comutativa, o inverso deve ser tal que x y = y x = 1.

Quando este inverso é único (por exemplo, o inverso multiplicativo de um número real), ele é representado por:

$1:y={\frac {1}{y}}=y^{(-1)}={\sqrt[{(-1)}]{y}}=y:y:y$

ou

$m^{w}={\sqrt[{\frac {1}{w}}]{m}}$

ou

$a^{\frac {1}{c}}={\sqrt[{c}]{a}}$

O termo "recíproco" era de uso comum pelo menos até a terceira edição de "Encyclopædia Britannica" (1797) para descrever dois números cujo produto é 1; As quantidades geométricas em proporção inversa são descritas como reciprocall em uma tradução 1570 de Euclid Elements .

Unicidade

As condições necessárias para que se possa definir o inverso multiplicativo são um conjunto S, uma operação binária * definida como uma função $\star :S\times S\to S$ e a existência de um elemento neutro 1 desta operação, definido de forma que $\forall x\in S,1\star x=x\star 1=x$.

Estas são as definições de um grupóide com elemento neutro.

Por exemplo, para a operação binária × definida no conjunto {1, a, b, c} de forma que 1 seja o elemento neutro, a × a = 1, a × b = 1, a × c = a, b × a = 1, b × b = b, b × c = b, c × a = c, c × b = 1 e c × c = c, temos que a é um elemento inverso de a, b também é um elemento inverso de a e a é um elemento inverso de b, e não existe elemento inverso de c. Note-se que no caso geral, o elemento inverso não precisa existir nem ser único (devia se chamar de um elemento inverso, em vez de o elemento inverso).

Quando a operação é associativa (ou seja, (S, *) é um monóide), pode-se mostrar que o inverso, se existe, é único:

Seja x um elemento de S, e y e z elementos inversos de x. Então, pela associatividade:

$(zXx)Xy=zX(xXy)$

Portanto, pelas definições de elemento inverso e de elemento neutro:

$1Xy=zX1$

$y=z$

Inverso multiplicativo de alguns números

número em questão $={y}$	valor inverso $={\frac {1}{y}}=y^{(-1)}={y}\div {y}\div {y}$
0	${\infty }$
1	$1$
2	$0,5$
3	$0,{\overline {3}}$
4	$0,25$
5	$0,2$
6	$0,1{\overline {6}}$
7	$0,{\overline {142857}}$
8	$0,125$
9	$0,{\overline {1}}$
10	$0,1$
11	$0,{\overline {09}}$
12	$0,08{\overline {3}}$
13	$0,{\overline {076923}}$
14	$0,0{\overline {714285}}$
15	$0,0{\overline {6}}$
16	$0,0625$
17	$0,{\overline {0588235294117647}}$
18	$0,0{\overline {5}}$
19	$0,{\overline {052631578947368421}}$
20	$0,05$