Inverso multiplicativo

A função real de variável real f(x)=1/x asoccia cada x não-nulo com seu inverso multiplicativo.

Em matemática, o inverso multiplicativo de um número x é o número y que, multiplicado por x, gera a identidade multiplicativa. Note-se que estamos falando de qualquer operação binária que tenha o nome de multiplicação, que não precisa ser comutativa, mas deve ter elemento neutro.

No caso de uma operação não comutativa, o inverso deve ser tal que x y = y x = 1.

Quando este inverso é único (por exemplo, o inverso multiplicativo de um número real), ele é representado por $\frac {1} {x} = x^{-1}$.

Unicidade

As condições necessárias para que se possa definir o inverso multiplicativo são um conjunto S, uma operação binária * definida como uma função $\star: S \times S \to S$ e a existência de um elemento neutro 1 desta operação, definido de forma que $\forall x \in S, 1 \star x = x \star 1 = x$.

Estas são as definições de um grupóide com elemento neutro.

Por exemplo, para a operação binária * definida no conjunto {1, a, b, c} de forma que 1 seja o elemento neutro, a * a = 1, a * b = 1, a * c = a, b * a = 1, b * b = b, b * c = b, c * a = c, c * b = 1 e c * c = c, temos que a é um elemento inverso de a, b também é um elemento inverso de a e a é um elemento inverso de b, e não existe elemento inverso de c. Note-se que no caso geral, o elemento inverso não precisa existir nem ser único (devia se chamar de um elemento inverso, em vez de o elemento inverso).

Quando a operação é associativa (ou seja, (S, *) é um monóide), pode-se mostrar que o inverso, se existe, é único:

Seja x um elemento de S, e y e z elementos inversos de x. Então, pela associatividade:

$(z\cdot x)\cdot y=z\cdot (x\cdot y)$

Portanto, pelas definições de elemento inverso e de elemento neutro:

$1\cdot y=z\cdot1$

$y=z$