Inverso multiplicativo

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A função real de variável real f(x)=1/x asoccia cada x não-nulo com seu inverso multiplicativo.

Em matemática, o inverso multiplicativo de um número x é o número y que, multiplicado por x, gera a identidade multiplicativa. Note-se que estamos falando de qualquer operação binária que tenha o nome de multiplicação, que não precisa ser comutativa, mas deve ter elemento neutro.

No caso de uma operação não comutativa, o inverso deve ser tal que x y = y x = 1.

Quando este inverso é único (por exemplo, o inverso multiplicativo de um número real), ele é representado por . O termo "recíproco" era de uso comum pelo menos até a terceira edição de "Encyclopædia Britannica" (1797) para descrever dois números cujo produto é 1; As quantidades geométricas em proporção inversa são descritas como reciprocall em uma tradução 1570 de Euclid Elements .[1]

Unicidade[editar | editar código-fonte]

As condições necessárias para que se possa definir o inverso multiplicativo são um conjunto S, uma operação binária * definida como uma função e a existência de um elemento neutro 1 desta operação, definido de forma que .

Estas são as definições de um grupóide com elemento neutro.

Por exemplo, para a operação binária * definida no conjunto {1, a, b, c} de forma que 1 seja o elemento neutro, a * a = 1, a * b = 1, a * c = a, b * a = 1, b * b = b, b * c = b, c * a = c, c * b = 1 e c * c = c, temos que a é um elemento inverso de a, b também é um elemento inverso de a e a é um elemento inverso de b, e não existe elemento inverso de c. Note-se que no caso geral, o elemento inverso não precisa existir nem ser único (devia se chamar de um elemento inverso, em vez de o elemento inverso).

Quando a operação é associativa (ou seja, (S, *) é um monóide), pode-se mostrar que o inverso, se existe, é único:

Seja x um elemento de S, e y e z elementos inversos de x. Então, pela associatividade:
Portanto, pelas definições de elemento inverso e de elemento neutro:

Referências

  1. "In equall Parallelipipedons the bases are reciprokall to their altitudes". OED "Reciprocal" §3a. Sir Henry Billingsley translation of Elements XI, 34.