Quadratura do círculo

É impossível construir com régua não graduada e compasso um quadrado com a mesma área de um círculo dado.(Figura 1)

A quadratura do círculo é um problema proposto pelos antigos geômetras gregos consistindo em construir um quadrado com a mesma área de um dado círculo servindo-se somente de uma régua não graduada e um compasso em um número finito de etapas.

Em 1882, Ferdinand Lindemann provou que π é um número transcendente, isto é, não existe um polinômio com coeficientes inteiros ou racionais não todos nulos dos quais π seja uma raiz. Como resultado disso, é impossível exprimir π com um número finito de números inteiros, de frações racionais ou suas raízes.

A transcendência de π estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com uma régua não graduada e um compasso, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de um determinado círculo.

Método para encontrar quadratriz de Hipias.(Figura 2)

Na Antiguidade

O problema da quadratura do círculo era considerado, pelos gregos, como muito difícil, mas não impossível;^{[carece de fontes]} Plutarco, por exemplo, ao comentar que para um homem é impossível tirarem sua felicidade, assim como não se pode tirar a virtude ou a sabedoria, diz que Anaxágoras, quando foi preso, dedicou-se a tentar resolver o problema da quadratura do círculo. No Papiro Rhind ou Ahmes é dada uma solução plana para se construir um quadrado de área próxima a de um círculo. Para isso o lado do quadrado deveria ser 8/9 do diâmetro do círculo. Embora esta não seja uma construção geométrica precisa, é uma boa aproximação, pois corresponde a tomar 3,1605 como valor para π (pi) ao invés de 3,14159... Porém os gregos antigos também tentaram achar outras soluções, através de algumas curvas que foram inventadas, ou através de construções mecânicas. Contudo, há várias hipóteses que apresentam como e para que objetivo os gregos se interessaram nos problemas de quadratura. Segundo Zsabó (2000), o problema primitivo do qual se originaram todos os outros foi o da quadratura do retângulo. Aristóteles afirma que a origem deste problema foi a procura da média geométrica, mas que isso foi esquecido e que só foi preservado o problema.

Na Era Moderna

Na Cyclopaedia, de 1743, Ephraim Chambers comenta que este problema havia sido pesquisado por matemáticos de todas as eras, e a sua dificuldade consistia em que a razão entre o perímetro da circunferência e seu diâmetro não era conhecida. À sua época, a melhor aproximação havia sido dada como 3,14159265358979323846264338327950. A solução do problema, falhando a geometria, havia sido dada através de curvas, como a quadratriz, uma curva construída por meios mecânicos, e através da análise.

Em Canons (1769), Emanuel Swedenborg diz que o processo da quadratura do círculo, por requerer um número infinito de etapas, poderia ser feito por Deus, que é infinito.

A Quadratriz de Hipias

A quadratriz, inventada por Hípias de Elis (viveu em torno de 420 a.C.), consiste em uma curva mecânica, que pode ser obtida da seguinte maneira:

Suponha o raio OP (Figura 2) se deslocando uniformemente até a posição OQ e ao mesmo tempo a reta r se deslocando até OQ, também uniformemente. Depois de um tempo, OP estará na posição OP' e r estará em s, cuja intersecção é o ponto A.

Assim a quadratriz é a curva descrita por A durante todo o percurso.

Método de Dinóstrato

Oronce Finé, Quadratura circuli, 1544

J. P. de Faurè, Dissertation, découverte, et demonstrations de la quadrature mathematique du cercle, 1747

Dinóstrato (viveu em torno de 350 a.C.) desenvolveu um método para quadrar o círculo através de quadratriz ou trissectriz de Hipias. O método é o seguinte:

Afirmamos que OB = 2a/π, com "a" sendo o comprimento do lado do quadrado, isto é, o raio da curva PP'. Com efeito, sejam θ o ângulo AOB, x = AA', y = OA' e OP = a. Então, devido à proporcionalidade dos dois movimentos, temos que y/θ = k, onde k é a constante de proporcionalidade.

Quando θ = π/2, temos que a/(π/2) = k, logo, k = 2a/π. E, portanto, podemos concluir que θ = πy/2a, isto é, y = 2aθ/π. Assim, y/ρ = sen(θ), ou seja, ρ = y/sen(θ) = 2aθ/πsen(θ). Quando θ tende a 0 (zero), o limite de ρ (que é igual ao limite de 2aθ/π quando θ tende a zero) é igual a OB. Logo, AZ = ρ = 2a/π.

Após obter um segmento de comprimento 2a/π, é imediato construir π para fazer a quadratura do círculo. Com efeito, é fácil dividir, usando somente régua e compasso, 2a/π por 2a e, em seguida, tomar o inverso de 1/π.

Ver também

• Pi
• Construções com régua e compasso
• Duplicação do cubo
• Trissecção do ângulo
• Arquitas de Tarento
• Hípias de Elis
• Hipócrates de Quio
• Pierre Laurent Wantzel

Ligações externas

• Quadratura do Círculo