Matemática indiana

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A matemática indiana surgiu no subcontinente indiano[1] a partir de 1 200 a.C. [2] e desenvolveu-se relativamente isolada, sem influência exterior, mas exportando seu conhecimento, até o final do século XVIII. No período clássico da matemática indiana (400 a 1600), importantes contribuições foram feitas por estudiosos como Ariabata, Brahmagupta, Mahavira, Bhaskara II, Madhava de Sangamagrama e Nilakantha Somayaji. O sistema de numeração decimal em uso hoje [3] foi primeiramente registrado na matemática indiana.[4] Matemáticos indianos fizeram contribuições iniciais para o estudo do conceito de zero como um número, [5] números negativos, [6] aritmética e álgebra.[7] Além disso, trigonometria era mais avançada na Índia,[8] e, em particular, as definições modernas de seno e cosseno foram desenvolvidas lá.[9] Estes conceitos matemáticos foram transmitidos para o Oriente Médio, China e Europa [7] e levaram a novos desenvolvimentos que agora formam os fundamentos de muitas áreas da matemática.

Trabalhos matemáticos indianos antigos e medievais, todos compostas em sânscrito, geralmente consistiam de uma seção de sutras em que um conjunto de regras ou problemas eram apresentadas com grande economia nos versos, a fim de ajudar a memorização por um estudante. Isto era seguido por uma segunda seção que consistia de um comentário em prosa (às vezes vários comentários de diferentes estudiosos) que explicavam o problema mais detalhadamente e apresentavam uma justificação para a solução. Na seção prosa, a forma (e, portanto, sua memorização) não era considerada tão importante quanto as ideias envolvidas.[1][10] Todos os trabalhos matemáticos foram transmitidos oralmente até cerca de 500 a.C.; depois, foram transmitidos oralmente e em forma manuscrita. O mais antigo documentos matemático produzido existente no subcontinente indiano é a casca de bétula Manuscrito Bakhshali, descoberto em 1881 na aldeia de Bakhshali, perto de Pexauar (atual Paquistão) e é provável que seja do século VII.[11][12]

Um marco posterior na matemática indiana foi o desenvolvimento dos expansões em séries para funções trigonométricas (seno, cosseno e arco tangente) por matemáticos da escola de Querala, no século XV. Seu trabalho notável, completou dois séculos antes da invenção do cálculo na Europa, sendo o que hoje é considerado o primeiro exemplo de uma série de potências (com exceção da série geométrica).[13] No entanto, eles não formularam uma teoria sistemática de diferenciação e integração, nem há qualquer evidência direta de seus resultados serem transmitidos fora de Querala.[14][15][16][17]

Pré-história[editar | editar código-fonte]

Escavações em Harappa, Mohenjo-daro e outros sítios arqueológicos da Civilização do Vale do Indo (CVI) descobriram evidências do uso de "matemática prática". As pessoas da CVI fabricaram tijolos cujas dimensões eram nas proporções 4:2:1, consideradas favoráveis para a estabilidade de uma estrutura de tijolos. Eles usaram um sistema padronizado de pesos com base nas proporções: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 e 500, com a unidade peso igual a cerca de 28 gramas (aproximadamente igual à onça inglesa ou a uncia grega). Esses pesos eram conformados em formas geométricas regulares, que incluíram hexaedros, barris, cones e cilindros, demonstrando assim o conhecimento da geometria básica, e eram produzidos em massa.[18]

Os habitantes da civilização do Indo também tentaram padronizar a medida de comprimento a um alto grau de precisão. Eles projetaram um padrão legal — o padrão Mohenjo-daro — cuja unidade de comprimento (cerca de 3,4 centímetros ou 1,32 polegadas) foi dividido em dez partes iguais. Tijolos fabricados no padrão Mohenjo-daro, muitas vezes tinham dimensões antigas que eram múltiplos inteiros desta unidade de comprimento.[19][20]

Período védico[editar | editar código-fonte]

Samhitas e Brahmanas[editar | editar código-fonte]

Os textos religiosos do Período Védico fornecem evidências do uso de grandes números. Ao período do Yajurvedasaṃhitā - (1200-900 a.C.), números tão elevadas como 1012 foram incluídos nos textos.[2] Por exemplo, o mantra (fórmula sacrificial) no final do annahoma ("rito da oferta de alimento"), realizado durante o Ashvamedha, e pronunciado apenas antes-, durante-, e logo após o nascer do sol, invoca potências de dez de uma centena a um trilhão:[2]

"Salve śata ("cem," 102), salve sahasra ("mil," 103), salve ayuta ("dez mil," 104), salve niyuta ("cem mil," 105), salve prayuta ("milhão," 106), salve arbuda ("dez milhões," 107), salve nyarbuda ("cem milhões," 108), salve samudra ("bilhão," 109, literalmente "oceano"), salve madhya ("dez bilhões," 1010, literalmente "meio"), salve anta ("cem bilhões," 1011, lit., "fim"), salve parārdha ("um trilhão," 1012 lit., "partes além"), salve o amanhecer (us'as), salve o crepúculo (vyuṣṭi), salve o que vai se elevar (udeṣyat), salve o que está se elevando (udyat), salve ao que já se elevou (udita), salve svarga (o paraíso), salve martya (o mundo), salve tudo.”[2]

A solução a fração parcial era conhecida do Povo Rigvédico como apresentado no purush Sukta (RV 10.90.4):

Com três quartos Purusha subiu: de um quarto dele novamente esteve aqui.

O Satapatha Brahmana (aproximadamente século VII a.C.) contém regras para construções geométricas rituais que são semelhantes aos Śulba Sūtras.[21]

Śulba Sūtras[editar | editar código-fonte]

O Śulba Sūtras (literalmente, "Aforismos dos Acordes" em sânscrito védico) (aprox. 700-400 a.C.) lista regras para a construção de altares de fogo de sacrifício.[22] A maioria dos problemas matemáticos considerados na primavera Śulba Sūtras de "uma única exigência teológica ",[23] para a construção de altares de fogo que têm diferentes formas, mas ocupam a mesma área. Os altares eram obrigados a ser construídos de cinco camadas de tijolo queimado, adicionalmente com a condição de que cada camada consistia de 200 tijolos em que não haveria duas camadas adjacentes com congruências de tijolos.[23]

De acordo com (Hayashi 2005, p. 363), o Śulba Sūtras contém "a mais antiga expressão verbal existente do teorema de Pitágoras no mundo, embora já tivesse sido conhecido pelos antigos babilônios."

“A corda diagonal (akṣṇayā-rajju) de um (retângulo) oblongo produz tanto como as (cordas) do flanco (pārśvamāni) e a horizontal (tiryaṇmānī) produzem separadamente."[24]

Dado que a declaração é um sūtra, é necessariamente compacto e o que as cordas produzem não é elaborado, mas o contexto implica claramente as áreas dos quadrados construídos em seus comprimentos, e tal seria explicado pelo professor para o aluno.[24]

Eles contêm listas de trios pitagóricos,[25] que são casos particulares de equações diofantinas.[26] Também contêm afirmações (que com retrospectiva que sabemos ser aproximada) sobre a quadratura do círculo e "circulatura do quadrado".[27]

Baudhayana (aproximadamente século VIII a.C.) compôs o Baudhayana Śulba Sūtra, o mais conhecido Śulba Sūtra, que contém exemplos de trios pitagóricos simples, tais como: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8 , 15, 17), (7, 24, 25), e (12, 35, 37),[28] bem como uma indicação do teorema de Pitágoras para os lados de um quadrado: "a corda que é esticada entre os diagonal de um quadrado produz uma área duas vezes o tamanho do quadrado original "[28] Também contém a instrução geral do teorema de Pitágoras (para os lados de um rectângulo): "A corda esticada ao longo do comprimento da diagonal de um retângulo faz uma área que os lados verticais e horizontais fazem em conjunto."[28] Baudhayana dá uma fórmula para a raiz quadrada de dois,[29]

A fórmula é precisa até a quinta casa decimal, o valor verdadeiro sendo 1,41421356 ... [30] Esta fórmula é semelhante em estrutura à fórmula encontrada em uma tábua da Mesopotâmia [31] do período babilônico antigo (1900-1 600 a.C.):[29]

que expressa √2 no sistema sexagesimal, e que também é preciso até cinco casas decimais (após arredondamento).

De acordo com o matemático S.G. Dani, a tábua cuneiforme babilônica Plimpton 322, escrita em 1 850 a.C.[32] "contém quinze trios pitagóricos com valores bastante grandes, incluindo (13500, 12709, 18541), que é um trio primitivo,[33] o que indica, em particular, que havia sofisticada compreensão sobre o tema" na Mesopotâmia em 1 850 a.C.. "Uma vez que estas tábuas são anteriores ao período Śulba Sūtras por vários séculos, tendo em conta o aspecto contextual de algumas dos trios, é razoável esperar que compreensão semelhante teria ocorrido na Índia."[34] Dani continua dizendo:

"Como o principal objetivo do Śulba Sūtras foi descrever as construções de altares e os princípios geométricos envolvidos neles, objeto de trios pitagóricos, mesmo se isso tivesse sido bem entendido podendo ainda não ter sido apresentado no Śulba Sūtras. A ocorrência dos triplos no Śulba Sūtras é comparável à matemática que se pode encontrar em um livro introdutório sobre arquitetura ou de outra área aplicada semelhante, e não correspondem diretamente ao conhecimento geral sobre o tema nesse momento. uma vez que, infelizmente, não há outras fontes contemporâneas que tenham sido encontrados e isso pode nunca ser possível de ser resolvido como problema de forma satisfatória."[34]

Ao todo, três Śulba Sūtras foram compostos. Os dois restantes, o Manava Śulba Sūtra composto por Manavá (fl. 750-650 a.C.) e o Apastamba Śulba Sūtra, composto por Āpastamba (c. 600 a.C.), continha resultados semelhantes ao Baudhayana Śulba Sūtra.

Vyakarana

Um marco importante do período védico foi o trabalho do gramático sânscrito, Panini (c. 520-460 a.C.). Sua gramática inclui o uso precoce de lógica booleana, do operador nulo, e de gramáticas livres de contexto, e inclui um precursor da forma Backus-Naur (usado na descrição de linguagens de programação).

Pingala[editar | editar código-fonte]

Entre os estudiosos do período pós-védico que contribuíram para a matemática, o mais notável é Pingala (pingalá) (fl. 300-200 a.C.), teórico musical que foi o autor do Chhandas Shastra (chandaḥ-śāstra, também Chhandas Sūtra, "chhandaḥ-sūtra" ), um tratado em sânscrito sobre prosódia. Há evidências de que em seu trabalho sobre a enumeração de combinações silábicas, Pingala tropeçou tanto no triângulo de Pascal como em coeficientes binomiais, embora ele mesmo não tivesse conhecimento do teorema binomial.[35][36] A obra de Pingala também contém as ideias básicas dos números de Fibonacci (chamados maatraameru). Embora o Chhandas Sūtra não tenha sobrevivido em sua totalidade, um comentário do século X por Halāyudha tem. Halāyudha, que refere-se ao triângulo Pascal como Meru-prastāra (literalmente "a escada para o monte: Meru"), contém essa afirmação:

"Desenhe um quadrado. Começando pela metade do quadrado, desenhe dois outros quadrados semelhantes abaixo dele. Abaixo desses dois, três outros quadrados, e assim por diante. A marcação deve ser iniciada por colocar 1 no primeiro quadrado. Coloque 1 em cada um dos dois quadrados da segunda linha. Na terceira linha coloque 1 nos dois quadrados nas extremidades e, no quadrado do meio, a soma dos dígitos nos dois quadrados que encontram-se acima dele. Na quarta linha colocar 1 nos dois quadrados nas extremidades. No meio coloque a soma dos dígitos nos dois quadrados acima de cada. Procedendo desta forma. Destas linhas, a segunda dá as combinações com uma sílaba, a terceira as combinações com duas sílabas, ... "[35]

O texto também indica que Pingala estava ciente da identidade combinatória:[36]

Katyayana

Katyayana (c. século III a.C.) é notável por ser o último dos matemáticos védicos. Ele escreveu o Katyayana Śulba Sūtra, que apresentou muita geometria, incluindo o teorema de Pitágoras geral e um cálculo da raiz quadrada de 2 correta a cinco casas decimais.

Matemática Jain (400 a.C. - 200 d.C.)[editar | editar código-fonte]

Embora o Jainismo como uma religião e filosofia antecede o seu mais famoso expoente, o grande Mahāvīra (século VI a.C.), a maioria dos textos Jain sobre temas matemáticos foram feitos após o século VI a.C.. Matemáticos Jain são importantes historicamente como ligações cruciais entre a matemática do período védico e aqueles do "período clássico".

A contribuição histórica significativa dos matemáticos Jain estava em sua libertarem a matemática indiana de suas restrições religiosas e rituais. Em particular, o seu fascínio com a enumeração dos números muito grandes e infinitos os levou a classificar os números em três classes: enumeráveis, inumeráveis e infinitos. Não contentes com uma simples noção de infinito, passaram a definir cinco diferentes tipos de infinito: o infinito em uma direção, o infinito em duas direções, o infinito na área, o infinito em todos os lugares, e o infinito perpetuamente. Além disso, os matemáticos Jain conceberam notações para potências simples (e expoentes) de números como quadrados e cubos, o que lhes permitiu definir equações algébricas simples (beejganita samikaran). Matemáticos Jain foram, aparentemente, também os primeiros a usar a palavra shunya (literalmente “vazio” em sânscrito) para se referir a zero. Mais de um milênio depois, sua denominação tornou-se o Inglês palavra "zero" depois de uma viagem tortuosa de traduções e transliterações da Índia para a Europa. (Veja Zero: Etimologia.)

Em adição a Surya Prajnapti, importante trabalhos Jain na matemática incluíram a Vaishali Ganit (c. século III d.C.); o Sthananga Sutra (fl. 300 a.C. - 200 d.C.); o Anoyogdwar Sutra (fl. 200 a.C. - 100 d.C.); e o Satkhandagama (c. século II d.C.). Importantes matemáticos Jain incluiram Bhadrabahu, o autor de duas obras astronômicas, o Bhadrabahavi-Samhita e um comentário sobre a Surya Prajinapti (d. 298 a.C.); Yativrisham Acharya (c 176 a.C.), autor de um texto matemático chamado Tiloyapannati; e Umasvati (c. 150 a.C.), que, embora mais conhecido por seus escritos influentes sobre filosofia Jain e metafísica, compôs um trabalho matemático chamado Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya.

Tradição oral[editar | editar código-fonte]

Matemáticos da antiga Índia e no início medieval eram quase todos pandits (Pandita "homem culto") em sânscrito,[37] que foram treinados no idioma sânscrito e literatura, e possuiam "um fundo comum de conhecimentos em gramática (vyākaraṇa), a exegese (mīmāṃsā) e lógica (nyāya)."[37] Memorização “do que é ouvido" (śruti em sânscrito) através de recitação que desempenhava um papel importante na transmissão de textos sagrados na Índia antiga. Memorização e recitação também foram usadas para transmitir obras filosóficas e literárias, bem como tratados sobre rituais e gramática. Os estudiosos modernos da Índia antiga notaram as "realizações verdadeiramente notáveis dos pandits indianos, que têm preservado enormemente textos volumosos oralmente por milênios."[38]

Estilos de memorização[editar | editar código-fonte]

Prodigiosa energia foi despendida pela antiga cultura indiana na garantia de que esses textos fossem transmitidos de geração em geração com excessiva fidelidade.[39] Por exemplo, a memorização dos Vedas sagrados incluiu até onze formas de recitação do mesmo texto. Os textos foram posteriormente "provado-pela-leitura" ao comparar as diferentes versões recitadas. Formas de recitação incluiam a jaṭā-pāṭha (literalmente "recitação em malha"), no qual a cada duas palavras adjacentes no texto eram recitadas pela primeira vez na sua ordem original, em seguida, repetidas na ordem inversa e, finalmente, repetidas novamente na ordem original.[40] A recitação então procedia como:

palavra1palavra2, palavra2palavra1, palavra1palavra2; palavra2palavra3, palavra3palavra2, palavra2palavra3;...

Em uma outra forma de recitação, dhvaja-pāṭha [40] (literalmente "recitação em bandeira") uma seqüência de N palavras eram recitados (e memorizadas), emparelhando as duas primeiras e duas últimas palavras e, em seguida, procedendo como:

palavra1palavra2, palavraN-1palavraN; palavra2palavra3, palavraN-3palavraN-2;...; palavraN-1palavraN, palavra1palavra2; ...

A forma mais complexa de recitação, ghana-pāṭha (literalmente "recitação densa"), de acordo com (Filliozat 2004, p. 139), tomou a forma:

palavra1palavra2, palavra2palavra1, palavra1palavra2palavra3, palavra3palavra2palavra1, palavra1palavra2palavra3; palavra2palavra3, palavra3palavra2, palavra2palavra3palavra4, palavra4palavra3palavra2, palavra2palavra3palavra4; ...

Que estes métodos tenham sido eficazes, é testemunhado pela preservação do mais antigo texto religioso indiano, o Rigveda (cerca de 1 500 a.C.), como um texto único, sem quaisquer leituras variantes.[40] Métodos semelhantes foram usados para memorizar textos matemáticos, cuja transmissão permaneceu exclusivamente oral até o final do período védico (cerca de 500 a.C.).

O gênero Sutra[editar | editar código-fonte]

Atividade matemática na antiga Índia começou como uma parte de uma "reflexão metodológica" sobre os Vedas sagrados, que assumiram a forma de obras chamado Vedangas, ou, "Auxiliares do Veda" (séculos VII a IV a.C.).[41] A necessidade de conservar a sonoridade do texto sagrado por uso de śikṣā (fonética) e chandas (métrica); para conservar o seu significado através da utilização de vyākaraṇa (gramática) e nirukta (etimologia); e para executar corretamente os ritos no momento correto pelo uso de kalpa (ritual) e jyotiṣa (astrologia), deu origem às seis disciplinas dos Vedangas.[41] Matemática surgiu como parte da última duas disciplinas, ritual e astronomia (que incluía também a astrologia). Dado que os Vedangas imediatamente precederam o uso da escrita na Índia antiga, eles formaram o final da literatura exclusivamente oral. Eles foram expressos em uma forma mnemônica altamente comprimida, o Sutra (literalmente, "fio”, ou “linha"):

Os conhecedores do sūtra conhecem-na como tendo alguns fonemas, sendo desprovidas de ambiguidade, contendo a essência, apresentando diretamente todo seu conteúdo, sendo sem pausa e irrepreensíveis.[41]

Extrema brevidade foi obtida através de múltiplos meios, que incluíram o uso de reticências "além da tolerância da linguagem natural",[41] usando nomes técnicos em vez de nomes mais descritivos, cerceando listas mencionando apenas a primeira e a última entradas, e utilizando marcadores e variáveis.[41] Os sutras criam a impressão de que a comunicação através do texto era "apenas uma parte de toda a instrução. O resto da instrução deve ter sido transmitido pela chamada Guru-shishya paramparai, "sucessão ininterrupta de professor (guru) para o aluno (śisya)", e não foi aberto ao público em geral ‘e talvez até mesmo mantido em segredo’.[42] A brevidade alcançada em um sūtra é demonstrada no seguinte exemplo do Baudhāyana Śulba Sūtra (700 a.C.).

O altar de fogo doméstico no período védico foi exigido pelo ritual para ter uma base quadrada e ser constituído de cinco camadas de tijolos com 21 tijolos em cada camada. Um método de construção de altar foi dividir um lado do quadrado em três partes iguais, usando um cabo ou corda, para dividir o lado transversal (ou perpendicular) lateral em sete partes iguais, e assim, subdividir o quadrado 21 em retângulos congruentes . Os tijolos foram então concebidos para ser da forma do componente de retângulo e a camada foi criada. Para formar a camada seguinte, a mesma fórmula foi usada, mas os tijolos foram dispostos transversalmente.[43] O processo era então repetido mais três vezes (com as direções alternadas), a fim de completar a construção. No Baudhāyana Śulba Sūtra, esse procedimento é descrito nas seguintes palavras:

“II.64. Depois de dividir o quadri-lateral em sete, uma [corda] divide a transversal em três. II.65. Em uma outra camada coloca-se [os tijolos] apontados para o Norte.”[43]

De acordo com (Filliozat 2004, p. 144), o celebrante construindo o altar tinha apenas algumas ferramentas e materiais à sua disposição: um cabo (em Sânscrito, rajju, f.), dois pinos (em Sânscrito, śanku, m.), e barro para fazer tijolos (em Sânscrito, iṣṭakā, f.). Concisão é alcançada no sūtra, por não mencionar explicitamente o que o adjetivo "transversal" qualifica; no entanto, a partir da forma feminina do adjetivo usado (em sânscrito), é facilmente inferido que qualifica "cordão". Da mesma forma, na segunda estrofe, "tijolos" não são explicitamente mencionados, mas inferidos novamente pela forma plural feminina de "apontado para o Norte". Finalmente, a primeira estrofe, diz não explicitamente que a primeira camada de tijolos é orientada na direção leste-oeste, mas que também está implícito na menção explícita de "apontado para o Norte" na segunda estrofe; pois, se a orientação era para ser a mesma nas duas camadas, seria ou não mencionado em todos ou seria apenas mencionada na primeira estrofe. Todas estas inferências são feitas pelo celebrante como ele recorda a fórmula de sua memória.[43]

A tradição escrita: o comentário em prosa[editar | editar código-fonte]

Com a crescente complexidade da matemática e outras ciências exatas, tanto escrita e cálculo foram exigidos. Consequentemente, muitos trabalhos matemáticos começaram a ser escritos em manuscritos que foram, em seguida, copiados e re-copiados de geração em geração.

"Na Índia hoje estima-se ter cerca de trinta milhões de manuscritos, o maior corpo de material de leitura, escrita à mão em qualquer lugar do mundo. A cultura letrada da ciência indiana remonta pelo menos ao século V a.C. ... como é demonstrado pelos elementos da literatura profética e astronomia da Mesopotâmia que entraram na Índia naquela época e (foram) definitivamente não ... preservados oralmente."[44]

O mais antigo comentário em prosa matemática foi no trabalho Aryabhatiya (escrito em 499 d.C.), sobre astronomia e matemática. A parte matemática do Aryabhatiya foi composto de 33 sutras (em forma de verso) que consistem em declarações matemáticas ou regras, mas sem quaisquer demonstrações.[45] No entanto, de acordo com (Hayashi 2003, p. 123), "isto não significa, necessariamente, que seus autores não os demonstraram. Foi provavelmente uma questão de estilo de exposição". A partir do período de Bhaskara I (600 d.C. em diante), comentários de prosa cada vez mais começaram a incluir algumas derivações (upapatti). O comentário de Bhaskara I, na Aryabhatiya, tinha a seguinte estrutura:

  • Regra ('sutra') em verso pelo Ariabata.
  • Comentário por Bhāskara I, consistindo de:
    • Elucidação da regra (derivações ainda eram raras na época, mas se tornaram mais comuns depois)
    • Examplo (uddeśaka) usualmente em verso.
    • Colocação (inserção) (nyāsa/sthāpanā) dos dados numéricos.
    • Trabalho (desenvolvimento) (karana) da solução.
    • Verificação (pratyayakaraṇa, literalmente "produzir convicção") da resposta. Este passo tornou-se raro pelo século XIII, derivações ou demonstrações sendo por eles favorecidas.[45]

Tipicamente, para qualquer tópico matemático, os estudantes na Índia antiga primeiro memorizavam os sūtras, que, como explicado anteriormente, foram "deliberadamente inadequados"[44] em detalhes explicativos (de maneira a transmitir sucintamente as regras matemáticas estruturais do argumento). Os alunos, em seguida, trabalhavam com os temas do comentário em prosa por escrito (e desenhavam diagramas) sobre lousas cobertas de argila fina ou material similar (ou seja, placas cobertas com pó). Esta última atividade, uma parte importante do trabalho matemático, foi mais tarde a base sobre a qual o matemático-astrônomo Brahmagupta (fl século VII), caracterizou cálculos astronômicos como "trabalho em pó" (sânscrito: dhulikarman).[46]

Numerais e o sistema de numeração decimal[editar | editar código-fonte]

É bem conhecido que o sistema numérico de posição decimal em uso hoje foi registrado pela primeira vez na Índia, em seguida, transmitido para o mundo islâmico, e, eventualmente, para a Europa.[47] O bispo sírio Severus Sebokht escreveu em meados do século VII d.C. sobre os "nove sinais" dos índianos para expressar números.[47] No entanto, como, quando e onde o primeiro sistema de valores de casas decimais foi inventado não é tão claro.[48]

O primeiro sistema de escrita existente utilizado na Índia foi o sistema caroste utilizado na cultura Gandara do noroeste. Acredita-se que ele seja de origem aramaica e esteve em uso a partir do século IV a.C. até o século IV d.C.. Quase simultaneamente, um outro sistema de escrita, o sistema Brami, apareceu em grande parte do sub-continente, e mais tarde se tornaria a base de muitos sistemas do sul da Ásia e Sudeste Asiático. Ambos os sistemas tinham símbolos numéricos e sistemas numerais, os quais não foram inicialmente baseados em um sistema de valor local.[49]

Os primeiros indícios sobreviventes de sistema numérico de posição decimal na Índia e sudeste da Ásia são a partir da metade meio do I milênio d.C..[50] A placa de cobre de Guzarate, na Índia, menciona a data de 595, escrita em uma notação casa de valor decimal, embora haja algumas dúvidas quanto à autenticidade da placa.[50] Números decimais de gravação dos anos 683, também foram encontrados em inscrições em pedra na Indonésia e Camboja, onde a influência cultural indiana foi substancial.[50]

Existem fontes textuais mais velhas, embora as cópias manuscritas existentes destes textos são de datas muito posteriores.[51] Provavelmente a mais antiga dessas fontes é a obra do filósofo budista Vasumitra datado provavelmente do século I.[51] Discutindo a contagem de poços de comerciantes, observações de Vasumitra: "Quando [a mesma] peça de argila de contagem está no lugar de unidades, é denotada como um, quando em centenas, cem."[51] Embora essas referências pareçam implicar que os seus leitores tinham conhecimento de uma representação de valor decimal, a "brevidade de suas alusões e a ambiguidade de suas datas, no entanto, não estabelecem solidamente a cronologia do desenvolvimento deste conceito."[51]

Uma terceira representação decimal foi empregada em uma técnica de composição de versos, mais tarde chamada Bhuta-sankhya (literalmente, "números objeto") usada inicialmente ​​por autores de livros técnicos em sânscrito.[52] Uma vez que muitos trabalhos técnicos iniciais foram compostos em verso, os números eram muitas vezes representados por objetos no mundo natural ou religioso que correspondiam a eles; isso permitiu uma correspondência de muitos-para-um para cada número e composição de versos facilitada.[52] De acordo com (Plofker, 2009), o número 4, por exemplo, poderia ser representado pela palavra "Veda" (uma vez que havia quatro destes textos religiosos), o número 32 pela palavra "dentes" (uma vez que um conjunto completo de dentes consiste de 32), e o número 1 pela "lua" (uma vez que existe apenas uma lua).[52] Assim, Veda / dentes / lua corresponderia ao numeral decimal 1324, como a convenção para números era enumerar seus dígitos da direita para a esquerda.[52] A mais antiga referência empregando números de objeto é um texto sânscrito de ca. 269 d.C., Yavanajātaka (literalmente "horóscopos gregos") de Sphujidhvaja, uma versificação de uma adaptação em prosa indiana anterior (ca. 150) de uma obra perdida da astrologia helênica.[53] Tal uso parece assegurar que por meados do século III, o sistema de valores de casa decimal era familiar, pelo menos para os leitores de textos astronômicos e astrológicos na Índia.[52]

Postula-se que o sistema indiano de casa de valor decimal baseou-se nos símbolos usados em placas de contagem chinesas já a partir de meados do I milênio a.C..[54] De acordo com (Plofker 2009),

“Estas placas de contagem, como os poços (depressões) de contagem indianos, ..., tinham uma estrutura de valor de casa decimal ... indianos podem muito bem ter aprendido esses valores decimais de "varetas numerais" de peregrinos budistas chineses ou outros viajantes, ou eles podem ter desenvolvido o conceito de forma independente a partir de seu sistema anterior não-lugar-valor; nenhuma prova documental sobrevive para confirmar ou concluir-se."[54]

Manuscrito Bakhshali[editar | editar código-fonte]

O mais antigo manuscrito matemático existente no Sul da Ásia é o Manuscrito Bakhshali, um manuscrito em casca de bétula escrito em "sânscrito budista híbrido",[12] no sistema de escrita Śāradā, o qual foi utilizado na região noroeste do subcontinente indiano entre os séculos VIII e XII d.C..[55] O manuscrito foi descoberto em 1881 por um agricultor ao escavar em um recinto de pedra na aldeia de Bakhshali, perto de Peshawar (então na Índia britânica e agora no Paquistão). De autoria desconhecida e preservado atualmente na Biblioteca Bodleiana, na Universidade de Oxford, o manuscrito foi por diversas vezes datado como sendo tão antigo como os "primeiros séculos da era cristã" [56] e tão posterior quanto entre os os séculos IX e XII d.C..[57] O século VII é considerado agora uma data plausível, [58] embora com a possibilidade de que o "manuscrito em sua forma atual constitui um comentário ou uma cópia de um trabalho matemático anterior."[59]

O manuscrito sobrevivente tem setenta folhas, algumas das quais estão em fragmentos. Seu conteúdo matemático consiste em regras e exemplos, escritos em versos, juntamente com comentários em prosa, que incluem soluções para os exemplos.[55] Os temas tratados incluem aritmética (frações, raízes quadradas, lucros e perdas, juros simples, a regra de três e regula falsi) e álgebra (equações lineares simultâneas e equações quadráticas), e progressões aritméticas. Além disso, há um pequeno número de problemas geométricos (incluindo problemas sobre volumes de sólidos irregulares). O manuscrito Bakhshali também "emprega um sistema de valores de casa decimal com um ponto para zero."[55] Muitos de seus problemas são de uma categoria conhecida como "problemas de compensação» que levam a sistemas de equações lineares. Um exemplo do Fragmento III-5-3v é o seguinte:

"Um comerciante tem sete cavalos asava, um segundo tem nove cavalos haya, e um terceiro tem dez camelos. Eles são igualmente afortunados no valor dos animais se cada dá dois animais, um para cada um dos outros. Encontre o preço de cada animal e o valor total para os animais possuídos por cada comerciante."[60]

O comentário em prosa que acompanha o exemplo resolve o problema, convertendo três equações (sub-determinadas) em quatro incógnitas e assumindo que os preços são todos inteiros.[60]

Período clássico (400–1600)[editar | editar código-fonte]

Este período é muitas vezes conhecido como a “idade de ouro” da matemática indiana. Este período viu matemáticos como Ariabata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhaskara I, Mahavira, Bhaskara II, Madhava de Sangamagrama e Nilakantha Somayaji dar mais ampla e clara forma a muitos ramos da matemática. Suas contribuições se espalhariam pela Ásia, o Oriente Médio, e, eventualmente, para a Europa. Ao contrário da matemática védica, seus trabalhos incluíram tanto contribuições astronômicos como matemáticas. Na verdade, a matemática desse período foi incluído na "ciência astral” (jyotiḥśāstra) e consistiu em três sub-disciplinas: Ciências matemáticas (gaṇita ou tantra), horóscopo astrológico (horā ou jātaka) e adivinhação (saṃhitā).[46] Essa divisão tripartite é vista na compilação de Varahamihira do século VIPancasiddhantika[61] (literalmente panca, "cinco", siddhānta, "conclusão de deliberação", ou mais propriamente, “cinco princípios”, datado de 575) — de cinco obras anteriores, Surya Siddhanta, Romaka Siddhanta, Paulisa Siddhanta, Vasishtha Siddhanta e Paitamaha Siddhanta, que eram adaptações de obras ainda anteriores da astronomia da Mesopotâmia, gregos, egípcios, romanos e indianos. Como explicado anteriormente, os textos principais foram compostos em versos em sânscrito, e foram seguidos por comentários em prosa.[46]

Séculos quinto e sexto[editar | editar código-fonte]

Surya Siddhanta

Apesar de sua autoria ser desconhecida, o Surya Siddhanta (c. 400) contém as raízes da trigonometria moderna.[62][63][64] Devido a conter muitas palavras de origem estrangeira, alguns autores consideram que ele foi escrito sob a influência da Mesopotâmia e Grécia.[65]

Este texto antigo usa as seguintes funções trigonométricas pela primeira vez:

Também contém os primeiros usos de:

Mais tarde matemáticos indianos como Ariabata fizeram referências a este texto, enquanto traduções árabes e latinas posteriores foram muito influentes na Europa e no Oriente Médio.

Calendário Chhedi

O calendário Chhedi (594) contém um uso precoce do moderno sistema de posição-valor do sistema numérico hindu-arábico agora usado universalmente (ver também algarismos hindu-arábicos).

Ariabata I

Ariabata (476-550) escreveu o Aryabhatiya. Ele descreveu os princípios fundamentais importantes da matemática em 332 shlokas. O tratado continha:

Ariabata também escreveu o Arya Siddhanta, o qual se encontra atualmente perdido. As contribuições de Ariabata incluem:

Trigonometria:

  • Introduziu as funções trigonométricas.
  • Definiu o seno (jya) como moderna relação entre a metade de um ângulo e metade de uma corda.
  • Definiu o cosseno (kojya).
  • Definiu o seno verso (utkrama-jya).
  • Definiu o arco seno (seno inverso, otkram jya).
  • Forneceu métodos de cálculo dos valores numéricos aproximados.
  • Contém as primeiras tabelas de valores de seno, cosseno e seno verso, em intervalos de 3,75° de 0° a 90°, com quatro casas decimais de precisão.
  • Contém a fórmula trigonométrica sen(n + 1)x − sen nx = sen nx − sin(n − 1)x − (1/225)sen nx.
  • Trigonometria esférica.

Aritmética:

Álgebra:

  • Soluções de equações quadráticas simultâneas.
  • Soluções de números inteiros de equações lineares por um método equivalente ao método moderno.
  • Solução geral da equação linear indeterminada.

Astronomia matemática:

  • Cálculos precisos para constantes astronômicas, como:
Varāhamihira

Varāhamihira (505–587) produziu o Pancha Siddhanta (Os Cinco Cânones Astronômicos). Fez importantes contribuições para a trigonometria, incluindo tabelas de seno e cosseno com precisão até 4 casas decimais e as seguintes fórmulas relacionando as funções de seno e cosseno:

Séculos sétimo e oitavo[editar | editar código-fonte]

O teorema de Brahmagupta estabelece que AF = FD.

No século VII, dois campos separados, aritmética (que incluiu medição) e álgebra, começaram a surgir na matemática indiana. Os dois campos mais tarde seriam chamados pāṭī-gaṇita (literalmente "matemática de algoritmos") e bīja-gaṇita (lit. "matemática de sementes", com "sementes" tendo o sentido de sementes de plantas - representando incógnitas com o potencial de gerar, neste caso, as soluções de equações).[67] Brahmagupta, em seu trabalho astronômico Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628), incluiu dois capítulos (12 e 18) dedicados a estes campos. O capítulo 12, que contém 66 versos em sânscrito, foi dividido em duas seções: "operações básicas" (incluindo raízes cúbicas, frações, razão e proporção e permutações) e "matemática prática" (incluindo misturas, séries matemáticas, figuras planas, empilhamentos de tijolos, serragem de madeira e grãos).[68] Neste último ponto, ele declarou seu famoso teorema sobre as diagonais de um quadrilátero cíclico:[68]

Teorema de Brahmagupta: Se um quadrilátero cíclico tem diagonais que são perpendiculares uma a outra, então a linha perpendicular traçada a partir do ponto de interseção das diagonais para qualquer lado do quadrilátero sempre corta o lado oposto.

O capítulo 12 também inclui uma fórmula para a área de um quadrilátero cíclico (uma generalização da fórmula de Herão), bem como uma descrição completa dos triângulos racionais (isto é, os triângulos com lados racionais e áreas racionais).

Fórmula de Brahmagupta: A área, A, de um quadrilátero cíclico com lados de comprimentos a, b, c, d, respectivamente, é dada por

onde s, o semiperímetro, é dado por:

Teorema de Brahmagupta sobre triângulos racionais: Um triângulo com lados racionais e área racional é da forma:

para números racionais e .[69]

O capítulo 18 contém 103 versos em sânscrito os quais iniciam com regras para operações aritméticas envolvendo zero e números negativos e é considerada o primeiro tratamento sistemático do assunto.[68] As regras (as quais incluíam e ) estavam todas corretas, com uma exceção: .[68] Mais adiante, no capítulo, ele apresenta a primeira solução explícita (embora ainda não completamente geral) da equação quadrática:

"Para o número absoluto multiplicado por quatro vezes o [coeficiente do] quadrado, adicionar o quadrado do [coeficiente do] termo médio; a raiz quadrada da mesma, menos o [coeficiente do] termo médio, sendo dividido por duas vezes o [do coeficiente] quadrado é o valor."[70]

Isto é equivalente a:

Também no capítulo 18, Brahmagupta foi capaz de fazer progressos na busca de soluções (inteiras) da equação de Pell,[71]

onde é um inteiro não quadrado. Ele fez isso por descobrir a seguinte identidade:[71]

Identidade de Brahmagupta: a qual é uma generalização de uma identidade mais primordial de Diofanto de Alexandria.[71] Brahmagupta usou essa identidade para provar o seguinte lema:[71]

Lema (Brahmagupta): Se é uma solução de e, é uma solução de , então:

é uma solução de

Teorema (Brahmagupta): Se a equação tem uma solução inteira para qualquer um de então a equação de Pell:

também tem uma solução inteira.[72]

Brahmagupta não chegou a provar o teorema, mas trabalhou com exemplos usando seu método. O primeiro exemplo apresentado foi:[71]

Exemplo (Brahmagupta): Encontre inteiros tais que:

Em seu comentário, Brahmagupta adicionou, "uma pessoa solucionando este problema dentro de um ano é um matemático."[71] A solução que ele forneceu foi:

Bhaskara I

Bhaskara I (c. 600–680) expandiu o trabalho de Ariabata em seus livros intitulados Mahabhaskariya, Aryabhatiya-bhashya e Laghu-bhaskariya. Ele produziu:

  • Soluções de equações indeterminadas.
  • Uma aproximação racional da função seno.
  • Uma fórmula para o cálculo do seno de um ângulo agudo sem o uso de uma tabela, correta a duas casas decimais.

Séculos nono a duodécimo[editar | editar código-fonte]

Virasena

Virasena (século VIII) foi um matemático Jain na corte de Rashtrakuta, rei Amoghavarsha de Manyakheta, Karnataka. Ele escreveu o Dhavala, um comentário sobre matemática Jain, no qual:

  • Lidou com o conceito de ardhaccheda, o número de vezes que um número poderia ser dividido à metade e enumera várias regras que envolvem esta operação. Isso coincide com o logaritmos de base 2 (binários) quando aplicado à potências de dois,[73][74] mas difere em outros números, assemelhando-se mais de perto a 2-ésima ordem.
  • Usou pela primeira vez logaritmos de base 3 (trakacheda) e base 4 (caturthacheda).
  • A derivação do volume do frustum (tronco de bases paralelas) por uma espécie de procedimento infinito.

Pensa-se que a maior parte do material de matemática no Dhaval pode ser atribuído a escritores anteriores, especialmente Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra e Bappadeva e são datados como tendo sido escritos entre 200 e 600.[74]

Mahavira

Mahavira Acharya (c. 800–870) de Karnataka, o último dos notáveis matemáticos Jain, viveu no século IX e foi patrocinado por Rashtrakuta, rei Amoghavarsha. Escreveu um livro chamado Ganit Saar Sangraha em matemática numérica, e também escreveu tratados sobre uma ampla gama de temas matemáticos. Estes incluem a matemática de:

Mahavira também:

  • Afirmou que a raiz quadrada de um número negativo não existia.
  • Apresentou a soma de uma série cujos termos são quadrados de uma progressão aritmética, e deu regras empíricas para a área e o perímetro de uma elipse.
  • Resolveu equações cúbicas.
  • Resolveu equações quárticas.
  • Resolveu algumas equações quínticas e polinômios de ordens mais altas.
  • Apresentou as soluções gerais das equações polinomiais de ordem mais alta:
  • Resolveu equações quadráticas indeterminadas.
  • Resolveu equações cúbicas indeterminadas.
  • Resolveu equações indeterminadas de ordem mais alta.
Shridhara

Shridhara (c. 870–930), que viveu em Bengala, escreveu os livros intitulados Nav Shatika, Tri Shatika e Pati Ganita. Ele apresentou:

O Pati Ganita é um trabalho sobre aritmética e medida. Trata-se de várias operações, incluindo:

  • Operações elementares
  • Extração de raízes quadradas e cúbicas.
  • Frações.
  • Oito regras são apresentadas para operações envolvendo zero.
  • Métodos de somatório de diferentes séries aritméticas e geométricas, que viriam a se tornar referências padrão em trabalhos posteriores.
Manjula

As equações diferenciais de Ariabata foram elaboradas no século X por Manjula (também Munjala), que apresentou a seguinte expressão[75]

que pode ser expressa aproximadamente como

Ele entendeu o conceito de diferenciação depois de resolver a equação diferencial que resultou substituindo esta expressão na equação diferencial de Ariabata.[75]

Ariabata II

Ariabata II (c. 920–1000) escreveu um comentário sobre Shridhara, e um tratado astronômico, Maa-Sidanta. O Maa-Sidanta tem 18 capítulos, e discute:

  • Matemática numérica (Ank Ganit).
  • Álgebra.
  • Soluções de equações indeterminadas (kuttaka).
Shripati

Shripati Mishra (1019–1066) escreveu os livros Siddhanta Shekhara, um grande trabalho sobre astronomia em 19 capítulos, e Ganit Tilaka, um tratado aritmético incompleto em 125 versos baseado em um trabalho de Shridhara. Trabalhou principalmente em:

Também foi autor de Dhikotidakarana, um trabalho de vinte versos sobre:

O Dhruvamanasa é um trabalho de 105 versos sobre:

Nemichandra Siddhanta Chakravati

Nemichandra Siddhanta Chakravati (c. 1100) foi autor de um tratado matemático intitulado Gome-mat Saar.

Bhaskara II

Bhāskara II (1114–1185) foi um matemático-astrônomo que escreveu uma série de tratados importantes, a saber, o Siddhanta Shiromani, Lilavati, Bijaganita, Gola Addhaya, Griha Ganitam e Karan Kautoohal. Um número significativo de suas contribuições foram posteriormente transmitidas para o Oriente Médio e Europa. Suas contribuições incluem:

Aritmética:

  • Cálculo de juros
  • Progressões aritméticas e geométricas
  • Geometria plana
  • Geometria sólida
  • A sombra do gnômon
  • Soluções de combinações
  • Apresentou uma demonstração para a divisão por zero sendo a infinidade.

Álgebra:

  • O reconhecimento de um número positivo como tendo duas raízes quadradas.
  • Raízes n-ésimas.
  • As operações com produtos de várias incógnitas.
  • As soluções de:
    • Equações quadráticas.
    • Equações cúbicas.
    • Equações quárticas.
    • Equações com mais de uma incógnita.
    • Equações quadráticas com mais de uma incógnita.
    • A forma geral da equação de Pell usando o método chakravala.
    • A equação quadrática indeterminada geral usando o método chakravala.
    • Equações cúbicas indeterminadas.
    • Equações quárticas indeterminadas.
    • Equações polinomiais de ordem mais alta indeterminadas.

Geometria:

Cálculo:

Trigonometria:

  • Desenvolvimentos de trigonometria esférica.
  • As fórmulas trigonométricas:

Matemática de Querala (1300–1600 d.C.)[editar | editar código-fonte]

A escola Querala de astronomia e matemática foi fundada por Madhava de Sangamagrama em Querala, Índia do Sul e incluiu entre os seus membros: Parameshvara, Neelakanta Somayaji, Jyeshtadeva, Achyuta Pisharati, Melpathur Narayana Bhattathiri e Achyuta Panikkar. Ela floresceu entre os séculos XIV e XVI as descobertas originais da escola parecem ter terminado com Narayana Bhattathiri (1559-1632). Na tentativa de resolver os problemas astronômicos, os astrônomos da escola de Querala criaram independentemente um significativo número de conceitos matemáticos importantes. O resultado mais importante, a expansão da série para funções trigonométricas, foi apresentada em versículos em sânscrito em um livro de Neelakanta chamado Tantrasangrahaand, e um comentário sobre esta obra, chamado Tantrasangraha-vakhya, de autoria desconhecida. Os teoremas foram afirmados sem demonstrações, mas as demonstrações para as séries de seno, cosseno e tangente inversa foram fornecidas um século mais tarde no trabalho Yuktibhāṣā (c.1500-c.1610), escrito em Malayalam, por Jyesthadeva, e também em um comentário sobre Tantrasangraha.[76]

A descoberta dessas três expansões em séries importantes para o cálculo — vários séculos antes do cálculo ser desenvolvido na Europa por Isaac Newton e Gottfried Leibniz — foi uma conquista. No entanto, a Escola de Querala não inventou o cálculo,[77] porque, enquanto eles foram capazes de desenvolver expansões de séries de Taylor para importantes funções trigonométricas, a diferenciação, a integração termo por termo, os testes de convergência, os métodos iterativos para soluções de equações não-lineares, e a teoria de que a área sob a curva é a sua integral eles não desenvolveram nem uma teoria de diferenciação ou integração, nem o teorema fundamental do cálculo.[78]

Os resultados obtidos pela escola Querala incluem:

  • As séries geométricas (infinitas): [79] Esta fórmula já era conhecida, por exemplo, no trabalho do matemático árabe do século X Alhazen (a forma latinizada do nome ibne al-Haitam (965-1039)).[80]
  • Uma demonstração semi-rigorosa (ver "indução", observação abaixo) do resultado: para grande valor de n. Esse resultado também era conhecido por Alhazen.[76]
  • Uso intuitivo de indução matemática, no entanto, a [[Indução matemática|hipótese indutiva] não foi formulada ou utilizada em demonstrações.[76]
  • Aplicações de ideias do (o que viria a se tornar) cálculo diferencial e integral para obter séries infinitas (Taylor–Maclaurin) para sen x, cos x, e arctan x.[77] O Tantrasangraha-vakhya apresenta a série em versos, os quais quando traduzidos para a notação matemática, podem ser escritos como:[76]
onde, para r = 1, a série reduz-se à série de potências padrão para essas funções trigonométricas, por exemplo:
e
  • Uso da retificação (cálculo do comprimento) do arco de um círculo para dar a demonstração desses resultados. (O método posterior de Leibniz, usando quadratura (i.e. cálculo da área sob o arco do círculo, não foi usada.)[76]
  • Uso da expansão de séries de arctn x para obter uma expressão de séries infinitas (posteriormente conhecida como séries de Gregory) para :[76]
  • Uma aproximação racional de erro para a soma infinita se suas séries de interesse. Por exemplo, o erro, , (para n ímpar, e i = 1, 2, 3) para as séries:
  • Manipulação do termo de erro para derivar uma série de convergência mais rápida para :[76]
  • Uso da série melhorada para derivar uma expressão racional,[76] 104348/33215 para π correto até nove casas decimais, i.e. 3,141592653.
  • Uso de uma noção intuitiva de limite para calcular esses resultados.[76]
  • Um método semi-rigoroso (ver observação sobre limites acima) de diferenciação de algumas funções trigonométricas.[78] Entretanto, eles não formularam uma noção de uma função, ou tinham conhecimento das funções exponenciais ou logarítmicas.

As obras da escola de Querala foram escritos pela primeira vez para o mundo ocidental pelo inglês C.M. Whish em 1835. De acordo com Whish, os matemáticos de Querala tinham "lançado as bases para um sistema completo de fluxões" e estas obras abundavam "com formas fluxonais e séries a não serem encontradas em qualquer obra de países estrangeiros."[81]

No entanto, os resultados da Whish foram quase completamente negligenciados, até mais de um século mais tarde, quando as descobertas da escola de Querala foram investigadas novamente por C. Rajagopal e seus associados. Seu trabalho inclui comentários sobre as provas da série arctan em Yuktibhāṣā dada em dois artigos,[82][83] um comentário sobre a prova do Yuktibhāṣā da série seno e cosseno [84] e dois artigos que fornecem os versos em sânscrito do Tantrasangrahavakhya para a série de arco tangente, seno e cosseno (com tradução para o inglês e comentários).[85][86]

Os matemáticos de Querala, incluindo Narayana Pandit (c. 1340-1400.), que compôs duas obras, um tratado de aritmética, Ganita Kaumudi, e um tratado de álgebra, Bijganita Vatamsa.[87][88] Narayana também é considerado como sendo o autor de um elaborado comentário de Bhaskara II de Lilavati, intitulado Karmapradipika (ou Karma-Paddhati).[89] Madhava de Sangamagrama (c. 1340-1425) foi o fundador da Escola de Querala. Embora seja possível que ele tenha escrito o trabalho Karana Paddhatia em algum momento entre 1375 e 1475, tudo o que sabemos realmente de seu trabalho vem de trabalhos de estudiosos posteriores.

Parameshvara (c. 1370-1460) escreveu comentários sobre as obras de Bhaskara I, Ariabata and Bhaskara II. Sua Lilavati Bhasya, um comentário sobre Bhaskara II de Lilavati, contém uma das suas importantes descobertas: uma versão do teorema do valor médio. Nilakantha Somayaji (1444-1544) compôs o Tantra Samgraha (que "gerou" um comentário anônimo depois, Tantrasangraha-vyakhya e mais um comentário de nome Yuktidipaika, escrito em 1501). Ele elaborou e estendeu as contribuições de Madhava.

Citrabhanu (c. 1530) foi um matemático de Querala, do século XVI, que deu soluções inteiras para 21 tipos de sistemas de duas equações algébricas simultâneas em duas incógnitas. Estes são os tipos de todos os possíveis pares de equações das sete formas seguintes:

Para cada caso, Citrabhanu deu uma explicação e justificação de sua regra, bem como um exemplo. Algumas de suas explicações são algébricas, enquanto outras são geométricas. Jyesthadeva (c. 1500-1575) foi outro membro da Escola de Querala. Sua obra fundamental foi a Yukti-Bhasa (escrito em Malayalam, uma língua regional de Querala). Jyesthadeva apresentou provas da maioria dos teoremas matemáticos e séries infinitas anteriormente descobertos por Madava e outros matemáticos da Escola de Querala.

Acusações de eurocentrismo[editar | editar código-fonte]

Tem sido sugerido que as contribuições indianas para a matemática não recebido o devido reconhecimento na história moderna e que muitas descobertas e invenções por matemáticos indianos são atualmente culturalmente atribuídas a suas contrapartes ocidentais, como resultado do eurocentrismo. De acordo com G. G. Joseph em "Ethnomathematics” (Etnomatemática):

“[O trabalho] tem em conta algumas das objeções levantadas sobre a trajetória eurocêntrica clássica. A consciência [de matemática indiana e árabe] é muito provável que tenha sido temperada com rejeições não condizentes com sua importância em relação a matemática grega. As contribuições de outras civilizações - nomeadamente a China e a Índia, são percebidas, quer como mutuários de fontes gregas ou tendo sico feitas apenas contribuições menores ao desenvolvimento matemático principal. A abertura a resultados de pesquisas mais recentes, especialmente no caso da matemática indiana e chinesa, está tristemente em falta."[90]

O historiador da matemática, Florian Cajori, sugeriu que ele e outros "Suspeitamos que Diofanto conseguiu seu primeiro vislumbre de conhecimento algébrico da Índia."[91] No entanto, ele também escreveu que "é certo que porções de matemática hindus são de origem grega."[92]

Mais recentemente, como discutido na seção acima, as séries infinitas de cálculo para funções trigonométricas (redescobertas por Gregory, Taylor e Maclaurin no final do século XVII) foram descritas (com demonstrações) na Índia, por matemáticos da escola de Querala, notavelmente aproximadamente dois séculos antes. Alguns estudiosos têm sugerido recentemente que o conhecimento desses resultados pode ter sido transmitido para a Europa através da rota de comércio a partir de Querala pelos comerciantes e missionários jesuítas.[93] Querala estava em contato permanente com a China e a Arábia, e, por volta de 1500, com a Europa. A existência de vias de comunicação e uma cronologia adequada certamente fazem de tal transmissão uma possibilidade. No entanto, não há nenhuma evidência direta por meio de manuscritos relevantes que tal transmissão realmente ocorreu.[93] De acordo com David Bressoud, "não há nenhuma evidência de que o trabalho indiano de série foi conhecida além da Índia, ou mesmo fora de Querala, até o século XIX".[77][94]

Tanto os estudiosos árabes e indianos fizeram descobertas antes do século XVII que agora são consideradas uma parte do cálculo.[78] No entanto, eles não foram capazes, como Newton e Leibniz eram, de "combinar muitas ideias diferentes ao abrigo dos dois temas unificadores da derivada e a integral, mostrando a conexão entre os dois, e transformar o cálculo na grande ferramenta de resolução de problemas que temos hoje."[78] As carreiras intelectuais de Newton e Leibniz são bem documentadas e não há nenhuma indicação de que seu trabalho não seja próprio;[78] no entanto, não se sabe com certeza se os antecessores imediatos de Newton e Leibniz", incluindo, em particular, Fermat e Roberval, obtiveram conhecimentos de algumas das ideias dos matemáticos islâmicos e indianos através de fontes que são não agora conhecidas."[78] Esta é uma área ativa de pesquisa atual, especialmente nos manuscritos das coleções da Espanha e Magrebe, uma investigação que está agora a ser prosseguida, entre outros lugares, no Centro Nacional de Pesquisa Científica, em Paris.[78]


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Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b Encyclopædia Britannica (Kim Plofker) 2007, p. 1
  2. a b c d (Hayashi 2005, pp. 360–361)
  3. Ifrah 2000, p. 346: "The measure of the genius of Indian civilisation, to which we owe our modern (number) system, is all the greater in that it was the only one in all history to have achieved this triumph. Some cultures succeeded, earlier than the South Asian cultures, in discovering one or at best two of the characteristics of this intellectual feat. But none of them managed to bring together into a complete and coherent system the necessary and sufficient conditions for a number-system with the same potential as our own." - Tradução: “A medida do gênio da civilização indiana, à qual devemos o nosso sistema (numérico) moderno, é tanto maior na medida em que era o único em toda a história a ter conseguido esse triunfo. Algumas culturas conseguiram, mais cedo do que as culturas do sul da Ásia, a descoberta de um ou no máximo duas das características desta façanha intelectual. Mas nenhum deles conseguiu reunir, em um sistema completo e coerente, as condições necessárias e suficientes para um sistema de números com o mesmo potencial como o nosso.”
  4. Plofker 2009, pp. 44–47
  5. Bourbaki 1998, p. 46: "...our decimal system, which (by the agency of the Arabs) is derived from Hindu mathematics, where its use is attested already from the first centuries of our era. It must be noted moreover that the conception of zero as a number and not as a simple symbol of separation) and its introduction into calculations, also count amongst the original contribution of the Hindus." - Tradução: “... nosso sistema decimal, que (pela agência dos árabes) é derivado de matemática hindu, onde seu uso já era atestado desde os primeiros séculos da nossa era. Deve notar-se, além disso, que a concepção de zero como um número e não como um símbolo de separação simples) e a sua introdução em cálculos, também contam entre a contribuição original dos hindus.”
  6. Bourbaki 1998, p. 49: Modern arithmetic was known during medieval times as "Modus Indorum" or method of the Indians. Leonardo of Pisa wrote that compared to method of the Indians all other methods is a mistake. This method of the Indians is none other than our very simple arithmetic of addition, subtraction, multiplication and division. Rules for these four simple procedures was first written down by Brahmagupta during 7th century CE. "On this point, the Hindus are already conscious of the interpretation that negative numbers must have in certain cases (a debt in a commercial problem, for instance). In the following centuries, as there is a diffusion into the West (by intermediary of the Arabs) of the methods and results of Greek and Hindu mathematics, one becomes more used to the handling of these numbers, and one begins to have other "representation" for them which are geometric or dynamic." - Tradução: “Aritmética moderna foi conhecida durante a época medieval como "Modus Indorum" ou método dos indianos. Leonardo de Pisa escreveu que, em comparação com o método dos índianos todos os outros métodos eram um erro. Este método dos indianos não é outro senão a nossa aritmética muito simples de adição, subtração, multiplicação e divisão. Regras para estes quatro procedimentos simples foram escritas pela primeira vez por Brahmagupta durante século VII. "Neste ponto, os hindus já estavam conscientes da interpretação de que os números negativos devem existir, em certos casos (a dívida em um problema comercial, por exemplo). Nos séculos seguintes, como há uma difusão para o Oeste (por intermédio dos árabes) dos métodos e resultados da matemática grega e hindu, esse sistema torna-se mais utilizado para o tratamento destes números, e começa-se a ter outra "representação" para os que eram geométricos ou dinâmicos".
  7. a b "algebra" 2007. Britannica Concise Encyclopedia. Encyclopædia Britannica Online. 16 May 2007. Citação: "A full-fledged decimal, positional system certainly existed in India by the 9th century (CE), yet many of its central ideas had been transmitted well before that time to China and the Islamic world. Indian arithmetic, moreover, developed consistent and correct rules for operating with positive and negative numbers and for treating zero like any other number, even in problematic contexts such as division. Several hundred years passed before European mathematicians fully integrated such ideas into the developing discipline of algebra." - Tradução: “Um sistema de posicionamento decimal de pleno direito certamente existiu na Índia por volta do século IX, mas muitas de suas ideias centrais tinham sido transmitidas bem antes que o tempo para a China e o mundo islâmico. A aritmética indiana, além disso, desenvolveu regras consistentes e corretas para operar com números positivos e negativos e para o tratamento de zero como qualquer outro número, mesmo em contextos problemáticos, como divisão. Várias centenas de anos se passaram antes de matemáticos europeus totalmente integrarem tais ideias no desenvolvimento da disciplina da álgebra.”
  8. (Pingree 2003, p. 45) Citação: "Geometry, and its branch trigonometry, was the mathematics Indian astronomers used most frequently. Greek mathematicians used the full chord and never imagined the half chord that we use today. Half chord was first used by Aryabhata which made trigonometry much more simple. In fact, the Indian astronomers in the third or fourth century, using a pre-Ptolemaic Greek table of chords, produced tables of sines and versines, from which it was trivial to derive cosines. This new system of trigonometry, produced in India, was transmitted to the Arabs in the late eighth century and by them, in an expanded form, to the Latin West and the Byzantine East in the twelfth century." - Tradução: “A Geometria, e seu ramo trigonometria, era a matemática que astrônomos indianos utilizavam mais frequentemente. Matemáticos gregos usaram a corda cheia e nunca imaginaram a metade da corda que usamos hoje. A metade da corda foi usada pela primeira vez por Ariabata que produziu trigonometria muito mais simples. Na verdade, os astrônomos indianos no terceiro ou quarto século, utilizando uma tabela pré-grega ptolomaica de cordas, produziram tabelas de senos e versenos (arco senos), a partir da qual era trivial derivar cossenos. Este novo sistema de trigonometria, produzido na Índia, foi transmitida aos árabes no final do século VIII e por elas, em uma forma expandida, para o Ocidente Latino e no Oriente Bizantino no século XII.”
  9. (Bourbaki 1998, p. 126): "As for trigonometry, it is disdained by geometers and abandoned to surveyors and astronomers; it is these latter (Aristarchus, Hipparchus,Ptolemy) who establish the fundamental relations between the sides and angles of a right angled triangle (plane or spherical) and draw up the first tables (they consist of tables giving the chord of the arc cut out by an angle on a circle of radius r, in other words the number ; the introduction of the sine, more easily handled, is due to Hindu mathematicians of the Middle Ages)." - Tradução: “Quanto a trigonometria, é desprezada pelos geômetras e abandonada por agrimensores e astrônomos; são estes últimos (Aristarco, Hiparco, Ptolomeu) que estabelecem as relações fundamentais entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo (plano ou esférico) e elaboram as primeiras tabelas (eles consistem de quadros com a corda do arco cortado por um ângulo sobre um círculo de raio r, em outras palavras o número ; a introdução do seno, mais facilmente manipulado, é devido aos matemáticos hindus da Idade Média)."
  10. Filliozat 2004, pp. 140–143
  11. Hayashi 1995
  12. a b Encyclopædia Britannica (Kim Plofker) 2007, p. 6
  13. Stillwell 2004, p. 173
  14. Bressoud 2002, p. 12. Citação: "There is no evidence that the Indian work on series was known beyond India, or even outside Kerala, until the nineteenth century. Gold and Pingree assert [4] that by the time these series were rediscovered in Europe, they had, for all practical purposes, been lost to India. The expansions of the sine, cosine, and arc tangent had been passed down through several generations of disciples, but they remained sterile observations for which no one could find much use." - Tradução: “Não há nenhuma evidência de que o trabalho indiano sobre séries foi conhecido além da Índia, ou mesmo fora Querala, até o século XIX. Gold e Pingree afirmam que até o momento estas séries foram redescobertas na Europa, que tinham, para todos os efeitos práticos, sido perdidas para a Índia. As expansões do seno, cosseno, tangente e arco tinham sido transmitidas através de várias gerações de discípulos, mas permaneceram observações estéreis para o qual ninguém poderia encontrar muito uso.”
  15. Plofker 2001, p. 293. Citação: "It is not unusual to encounter in discussions of Indian mathematics such assertions as that “the concept of differentiation was understood [in India] from the time of Manjula (... in the 10th century)” [Joseph 1991, 300], or that "we may consider Madhava to have been the founder of mathematical analysis" (Joseph 1991, 293), or that Bhaskara II may claim to be "the precursor of Newton and Leibniz in the discovery of the principle of the differential calculus" (Bag 1979, 294). ... The points of resemblance, particularly between early European calculus and the Keralese work on power series, have even inspired suggestions of a possible transmission of mathematical ideas from the Malabar coast in or after the 15th century to the Latin scholarly world (e.g., in (Bag 1979, 285)). ... It should be borne in mind, however, that such an emphasis on the similarity of Sanskrit (or Malayalam) and Latin mathematics risks diminishing our ability fully to see and comprehend the former. To speak of the Indian "discovery of the principle of the differential calculus" somewhat obscures the fact that Indian techniques for expressing changes in the Sine by means of the Cosine or vice versa, as in the examples we have seen, remained within that specific trigonometric context. The differential "principle" was not generalised to arbitrary functions—in fact, the explicit notion of an arbitrary function, not to mention that of its derivative or an algorithm for taking the derivative, is irrelevant here"
    Tradução: Não é incomum encontrar em discussões de matemática indiana tais afirmações como que "o conceito de diferenciação foi entendido [na Índia] no tempo de Manjula (... no século X)” [Joseph 1991, 300], ou que "podemos considerar Madhava ter sido o fundador da análise matemática" (Joseph 1991, 293), ou que Bhaskara II pode ser aclamado como "o precursor de Newton e Leibniz na descoberta do princípio do cálculo diferencial" (Bag 1979, 294). … Os pontos de semelhança, particularmente entre cálculo primordial europeu e o trabalho de Keralese em séries de potências, tem sugestões inspiradas mesmo de uma possível transmissão de ideias matemáticas da costa de Malabar em ou após o século XV para o mundo acadêmico Latino (e.g., em (Bag 1979, 285)). ... Deve-se ter em mente, contudo, que tal ênfase sobre a semelhança do sânscrito (ou malaiala) e matemática latina corre o risco de diminuir a nossa capacidade plena de ver e compreender o primeiro. Para falar da "descoberta do princípio do cálculo diferencial" indiana pouco obscurece o fato de que as técnicas indianas para expressar mudanças no seno por meio da cosseno ou vice-versa, como nos exemplos que temos visto, permaneceu dentro desse específico contexto trigonométrico. O "princípio" diferencial não foi generalizado para funções arbitrárias—na verdade, a noção explícita de uma função arbitrária, para não mencionar que de uma derivada sua ou um algoritmo para tomar a derivado, é irrelevante aqui."
  16. Pingree 1992, p. 562 Citação: "One example I can give you relates to the Indian Mādhava's demonstration, in about 1400 A.D., of the infinite power series of trigonometrical functions using geometrical and algebraic arguments. When this was first described in English by Charles Matthew Whish, in the 1830s, it was heralded as the Indians' discovery of the calculus. This claim and Mādhava's achievements were ignored by Western historians, presumably at first because they could not admit that an Indian discovered the calculus, but later because no one read anymore the Transactions of the Royal Asiatic Society, in which Whish's article was published. The matter resurfaced in the 1950s, and now we have the Sanskrit texts properly edited, and we understand the clever way that Mādhava derived the series without the calculus; but many historians still find it impossible to conceive of the problem and its solution in terms of anything other than the calculus and proclaim that the calculus is what Mādhava found. In this case the elegance and brilliance of Mādhava's mathematics are being distorted as they are buried under the current mathematical solution to a problem to which he discovered an alternate and powerful solution."
    Tradução: "Um exemplo que eu posso dar-lhe relaciona-se com a demonstração do indiano Mādhava, aproximadamente em 1400., da série de infinitas potências de funções trigonométricas usando argumentos geométricos e algébricos. Quando isso foi descrito pela primeira vez em Inglês por Charles Matthew Whish, nos anos 1830s, foi anunciado como a descoberta do cálculo dos indianos. Esta alegação e conquistas de Mādhava foram ignoradas pelos historiadores ocidentais, presumivelmente, em primeiro lugar porque não podiam admitir que um indiano descobriu o cálculo, mas mais tarde, porque ninguém mais leria as Transactions of the Royal Asiatic Society, na qual o artigo de Whish foi publicado. A questão ressurgiu na década de 1950, e agora temos os textos sânscritos devidamente editados, e entendemos a maneira inteligente que Mādhava derivou a série sem o cálculo; mas muitos historiadores ainda acham que é impossível conceber o problema e sua solução em termos de outra coisa senão o cálculo e proclamar que o cálculo é o que Mādhava encontrou. Neste caso, a elegância e o brilho da matemática de Mādhava estão sendo distorcidos como eles estão enterrados sob a solução matemática atual para um problema para o qual ele descobriu uma alternativa e uma solução poderosa."
  17. Katz 1995, pp. 173–174 Citação: "How close did Islamic and Indian scholars come to inventing the calculus? Islamic scholars nearly developed a general formula for finding integrals of polynomials by A.D. 1000—and evidently could find such a formula for any polynomial in which they were interested. But, it appears, they were not interested in any polynomial of degree higher than four, at least in any of the material that has come down to us. Indian scholars, on the other hand, were by 1600 able to use ibn al-Haytham's sum formula for arbitrary integral powers in calculating power series for the functions in which they were interested. By the same time, they also knew how to calculate the differentials of these functions. So some of the basic ideas of calculus were known in Egypt and India many centuries before Newton. It does not appear, however, that either Islamic or Indian mathematicians saw the necessity of connecting some of the disparate ideas that we include under the name calculus. They were apparently only interested in specific cases in which these ideas were needed. There is no danger, therefore, that we will have to rewrite the history texts to remove the statement that Newton and Leibniz invented the calculus. They were certainly the ones who were able to combine many differing ideas under the two unifying themes of the derivative and the integral, show the connection between them, and turn the calculus into the great problem-solving tool we have today."
    Tradução: "Quão perto estudiosos islâmicos e indianos estiveram de inventar o cálculo? Estudiosos islâmicos quase desenvolveram uma fórmula geral para a determinação de integrais de polinômios em 1000—e, evidentemente, poderiam encontrar uma fórmula para qualquer polinômio em que eles estavam interessados. Mas, ao que parece, eles não estavam interessados em qualquer polinômio de grau maior do que quatro, pelo menos, em qualquer parte do material que chegou até nós. Estudiosos indianos, por outro lado, eram em 1600 capazes de usar a fórmula da soma de ibne al-Haitam para potências arbitrárias integrais no cálculo de séries de potências para as funções em que estavam interessados. Ao mesmo tempo, eles também sabiam como calcular as diferenciais destas funções. Assim, algumas das ideias básicas de cálculo eram conhecidas no Egito e Índia muitos séculos antes de Newton. Não parece, no entanto, que os matemáticos islâmicos ou indianos viram a necessidade de ligar algumas das ideias díspares que incluímos sob o nome de cálculo. Eles estavam aparentemente interessados apenas em casos específicos nos quais essas ideias eram necessárias. Não há perigo, portanto, que tenhamos de reescrever os textos de história para remover a afirmação de que Newton e Leibniz tenham inventado o cálculo. Eles foram certamente os únicos que foram capazes de combinar muitas ideias diferentes ao abrigo dos dois temas unificadores da derivada e a integral, mostrando a conexão entre eles, e tornar o cálculo a grande ferramenta de resolução de problemas que temos hoje."
  18. Sergent, Bernard (1997), Genèse de l'Inde, ISBN 2-228-89116-9 (em French), Paris: Payot, p. 113 
  19. Coppa, A.; et al. (6 de abril de 2006), «Early Neolithic tradition of dentistry: Flint tips were surprisingly effective for drilling tooth enamel in a prehistoric population» (PDF), Nature, 440 (7085): 755–6, PMID 16598247, doi:10.1038/440755a. 
  20. Bisht, R. S. (1982), «Excavations at Banawali: 1974–77», in: Possehl, Gregory L. (ed.), Harappan Civilisation: A Contemporary Perspective, New Delhi: Oxford and IBH Publishing Co., pp. 113–124 
  21. A. Seidenberg, 1978. The origin of mathematics. Archive for the history of Exact Sciences, vol 18.
  22. (Staal 1999)
  23. a b (Hayashi 2003, p. 118)
  24. a b (Hayashi 2005, p. 363)
  25. Trios pitagóricos são trios de inteiros (a, b, c) com a propriedade: a2+b2 = c2. Então, 32+42 = 52, 82+152 = 172,122+352 = 372, etc.
  26. (Cooke 2005, p. 198): "The arithmetic content of the Śulva Sūtras consists of rules for finding Pythagorean triples such as (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), and(12, 35, 37). It is not certain what practical use these arithmetic rules had. The best conjecture is that they were part of religious ritual. A Hindu home was required to have three fires burning at three different altars. The three altars were to be of different shapes, but all three were to have the same area. These conditions led to certain "Diophantine" problems, a particular case of which is the generation of Pythagorean triples, so as to make one square integer equal to the sum of two others." - Tradução: “O conteúdo aritmético dos Śulva Sūtras consiste em regras para encontrar triplos pitagóricos, tais como (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), e (12, 35, 37). Não é certo qual utilização prática essas regras aritméticas tinham. A melhor conjectura é que eles eram parte de um ritual religioso. Uma casa Hindu era obrigada a ter três piras cerimoniais que queimavam em três altares diferentes. Os três altares eram para ser de formas diferentes, mas todos os três eram para ter a mesma área. Estas condições originaram alguns problemas "Diofantinos", caso particular dos quais é a geração de trios pitagóricos, de modo a fazer um número inteiro quadrado igual à soma dos outros dois.”
  27. (Cooke 2005, pp. 199–200): "The requirement of three altars of equal areas but different shapes would explain the interest in transformation of areas. Among other transformation of area problems the Hindus considered in particular the problem of squaring the circle. The Bodhayana Sutra states the converse problem of constructing a circle equal to a given square. The following approximate construction is given as the solution.... this result is only approximate. The authors, however, made no distinction between the two results. In terms that we can appreciate, this construction gives a value for π of 18 (3 − 2√2), which is about 3.088." - Tradução: “A exigência de três altares de áreas iguais, mas diferentes formas, explicaria o interesse na transformação de áreas. Entre outras transformações de problemas da área os Hindus consideravam, em particular, o problema da quadratura do círculo. O Bodhayana Sutra declara o problema inverso de construção de um círculo de área igual a um determinado quadrado (“circulatura” do quadrado). A construção seguinte aproximada é dada como a solução .... este resultado é apenas aproximado. Os autores, no entanto, não fazem distinção entre os dois resultados. Em termos que podemos apreciar, esta construção dá um valor para π de 18 (3 − 2√2), o que é cerca de 3.088."
  28. a b c (Joseph 2000, p. 229)
  29. a b (Cooke 2005, p. 200)
  30. O valor dessa aproximação, 577/408, é o sétimo de uma sequência de aproximações cada vez mais precisas, 3/2, 7/5, 17/12, ... a √2, numeradores e denominadores os quais eram conhecidos como "números laterais e diâmetros" para os gregos antigos, e na matemática moderna são chamados os números de Pell. Se x/y é um termo nessa sequência de aproximações, o próximo é (x + 2y)/(x + y). Estas aproximações podem também ser obtidas por truncagem da representação da fração contínua √2.
  31. Neugebauer, O. and A. Sachs. 1945. Mathematical Cuneiform Texts, New Haven, CT, Yale University Press. p. 45.
  32. Mathematics Department, University of British Columbia, The Babylonian tabled Plimpton 322.
  33. Três inteiros positivos formam um trio pitagórico primitivo se e se o mais alto fator comum de é 1 (são “primos entre si”). No exemplo particular do documento Plimpton 322, isso significa que e que os três números não têm quaisquer fatores comuns. No entanto, alguns estudiosos têm contestado a interpretação pitagórica desta tábula; ver Plimpton 322 para detalhes.
  34. a b (Dani 2003)
  35. a b (Fowler 1996, p. 11)
  36. a b (Singh 1936, pp. 623–624)
  37. a b (Filliozat 2004, p. 137)
  38. (Pingree 1988, p. 637)
  39. (Staal 1986)
  40. a b c (Filliozat 2004, p. 139)
  41. a b c d (Filliozat 2004, pp. 140–141)
  42. (Yano 2006, p. 146)
  43. a b c (Filliozat 2004, pp. 143–144)
  44. a b (Pingree 1988, p. 638)
  45. a b (Hayashi 2003, pp. 122–123)
  46. a b c (Hayashi 2003, p. 119)
  47. a b Plofker 2007, p. 395
  48. Plofker 2007, p. 395, Plofker 2009, pp. 47–48
  49. (Hayashi 2005, p. 366)
  50. a b c Plofker 2009, p. 45
  51. a b c d Plofker 2009, p. 46
  52. a b c d e Plofker 2009, p. 47
  53. (Pingree 1978, p. 494)
  54. a b Plofker 2009, p. 48
  55. a b c (Hayashi 2005, p. 371)
  56. (Datta 1931, p. 566)
  57. (Ifrah 2000, p. 464) Citação: "To give the second or fourth century CE as the date of this document would be an evident contradiction; it would mean that a northern derivative of Gupta writing had been developed two or three centuries before the Gupta writing itself appeared. Guptaonly began to evolve into Shāradā style around the ninth century CE. In other words, the Bak(h)shali manuscript cannot have been written earlier than the ninth century CE. However, in the light of certain characteristic indications, it could not have been written any later than the twelfth century CE." - Tradução: “Afirmar o segundo ou século IV como a data deste documento seria uma contradição evidente; isso significaria que um derivado da escrita do norte de Gupta foi desenvolvida dois ou três séculos antes da escrita Gupta aparecer. Gupta somente começou a evoluir em estilo Shāradā por volta do século IX. Em outras palavras, o manuscrito Bak(h)shali pode não ter sido escrito antes do século IX. No entanto, à luz de certas indicações características, não poderia ter sido escrito mais tarde do que o século XII."
  58. (Hayashi 2005, p. 371) Citação: "The dates so far proposed for the Bakhshali work vary from the third to the twelfth centuries CE, but a recently made comparative study has shown many similarities, particularly in the style of exposition and terminology, between Bakhshalī work and Bhāskara I's commentary on the Āryabhatīya. This seems to indicate that both works belong to nearly the same period, although this does not deny the possibility that some of the rules and examples in the Bakhshālī work date from anterior periods." - Tradução: “As datas até agora propostas para o trabalho Bakhshali variam a partir do terceiro ao décimo segundo séculos, mas um estudo comparativo feito recentemente mostrou muitas semelhanças, principalmente no estilo de exposição e terminologia, entre o trabalho Bakhshalī e comentários de Bhaskara I no Āryabhatīya. Isto parece indicar que ambas as obras pertencem quase ao mesmo período, embora isso não nega a possibilidade de que algumas das regras e exemplos na data do trabalho Bakhshālī sejam de períodos anteriores.
  59. (Ifrah 2000, p. 464)
  60. a b Anton, Howard and Chris Rorres. 2005. Elementary Linear Algebra with Applications. 9th edition. New York: John Wiley and Sons. 864 pages. ISBN 0-471-66959-8.
  61. (Neugebauer & Pingree (eds.) 1970)
  62. Zaheer Baber; The Science of Empire: Scientific Knowledge, Civilization, and Colonial Rule in India; SUNY Press, 1996. pg 31.
  63. Dick Teresi; Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science - from the Babylonians to the Maya; Simon and Schuster, 2010. pg 131.
  64. G. H. A. Cole; The Inverted Bowl: Introductory Accounts of the Universe and Its Life; World Scientific, 2010. pg 299.
  65. Cooke, Roger (1997), "The Mathematics of the Hindus", The History of Mathematics: A Brief Course, Wiley-Interscience, p. 197, ISBN 0-471-18082-3, A palavra Siddhanta significa aquilo o que está provado ou estabelecido. Os Sulva Sutras são de origem Hindu, mas o Siddhantas contém muitas palavras de origem estrangeira que, sem dúvida, têm raízes na Mesopotâmia e na Grécia.
  66. Katz, Victor J. (1995), «Ideas of Calculus in Islam and India», Mathematics Magazine, 68 (3): 163–174, doi:10.2307/2691411 
  67. (Hayashi 2005, p. 369)
  68. a b c d (Hayashi 2003, pp. 121–122)
  69. (Stillwell 2004, p. 77)
  70. (Stillwell 2004, p. 87)
  71. a b c d e f (Stillwell 2004, pp. 72–73)
  72. (Stillwell 2004, pp. 74–76)
  73. Gupta, R. C. (2000), «History of Mathematics in India», in: Hoiberg, Dale; Ramchandani, Indu, Students' Britannica India: Select essays, Popular Prakashan, p. 329 
  74. a b Singh, A. N., Mathematics of Dhavala, Lucknow University 
  75. a b Joseph (2000), p. 298–300.
  76. a b c d e f g h i (Roy 1990)
  77. a b c (Bressoud 2002)
  78. a b c d e f g (Katz 1995)
  79. Singh, A. N. Singh (1936), «On the Use of Series in Hindu Mathematics», Osiris, 1: 606–628, doi:10.1086/368443 
  80. Edwards, C. H., Jr. 1979. The Historical Development of the Calculus. New York: Springer-Verlag.
  81. (Whish 1835)
  82. Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1949), «A Neglected Chapter of Hindu Mathematics», Scripta Mathematica, 15: 201–209 
  83. Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1951), «On the Hindu proof of Gregory's series», Ibid., 17: 65–74 
  84. Rajagopal, C.; Venkataraman, A. (1949), «The sine and cosine power series in Hindu mathematics», Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal (Science), 15: 1–13 
  85. Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1977), «On an untapped source of medieval Keralese mathematics», Archive for History of Exact Sciences, 18: 89–102 
  86. Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1986), «On Medieval Kerala Mathematics», Archive for History of Exact Sciences, 35 (2): 91–99, doi:10.1007/BF00357622 
  87. Narayana Pandit - www-groups.dcs.st-and.ac.uk
  88. P Singh, The Ganita Kaumudi of Narayana Pandita, Ganita-Bharati 20 (1-4) (1998), 25-82.
  89. V Madhukar Mallayya, Various methods of squaring with special reference to the Lilavati of Bhaskara II and the commentary Kriyakramakari of Sankara and Narayana, Ganita Sandesh 11 (1) (1997), 31-36.
  90. Joseph, G. G. 1997. "Foundations of Eurocentrism in Mathematics." In Ethnomathematics: Challenging Eurocentrism in Mathematics Education (Eds. Powell, A. B. et al.). SUNY Press. ISBN 0-7914-3352-8. p.67-68.
  91. Cajori, Florian (1893), «The Hindoos», A History of Mathematics P 86, Macmillan & Co., In algebra, there was probably a mutual giving and receiving [between Greece and India]. We suspect that Diophantus got his first glimpse of algebraic knowledge from India 
  92. Florian Cajori (2010). "A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching". p.94. ISBN 1-4460-2221-8
  93. a b Almeida, D. F.; John, J. K.; Zadorozhnyy, A. (2001), «Keralese Mathematics: Its Possible Transmission to Europe and the Consequential Educational Implications», Journal of Natural Geometry, 20: 77–10 
  94. Gold, D.; Pingree, D. (1991), «A hitherto unknown Sanskrit work concerning Madhava's derivation of the power series for sine and cosine», Historia Scientiarum, 42: 49–65