Equação do quinto grau

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Gráfico de uma função do quinto grau

Em matemática, uma equação do quinto grau ou equação quíntica é o resultado de um polinômio do quinto grau igualado a zero. Um exemplo,

A forma geral de uma equação do quinto grau é:

, com

Suporemos sempre que é diferente de zero, pois no contrário seria uma equação de grau 4.

Como podemos deduzir do Teorema fundamental da álgebra, uma equação do quinto grau terá sempre cinco raízes, quer complexas ou duplicadas.

Insolubilidade da quíntica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teorema de Abel-Ruffini

Resolver a equação do quinto grau significa encontrar as suas raízes.

Pelo Teorema de Abel-Ruffini, não é possível resolver uma equação qualquer de grau igual ou superior a 5 através de transformações algébricas dos radicais, isto é, não é possível encontrar uma fórmula ou algoritmo algébrico geral para resolver todas as equações de grau 5, 6, e assim por diante. Existem, no entanto, critérios que determinam quais equações são solúveis por operações algébricas analisando-se casos específicos.

Por exemplo, a equação não é solúvel por radicais, mas a equação (cuja única solução real é ) é solúvel.


Métodos para achar soluções aproximadas são possíveis através do Cálculo Numérico, por exemplo o método de Newton-Raphson.

Existem métodos que reduzem uma equação geral do quinto grau, eliminando sucessivamente os coeficientes dos termos do quarto, terceiro e segundo grau, através de operações com radicais (estas operações são feitas resolvendo-se equações do quarto grau ou menor). Em seguida, chega-se a uma equação da forma

que pode ser resolvida pelo radical de Bring ou através de funções teta.

De acordo com o polinômio de Martinelli[1] podemos solucionar diversos casos de equação de quinto grau completa por radicais. Como por exemplo a equação que é solúvel por radicais se considerarmos as raízes da equação . Onde:

Aproximadamente x = 2,54579... é a única solução real da equação .


Com o uso do auxilio das raízes de uma equação de quinto grau na forma que é solúvel por radicais, os polinômios a seguir são todos também solúveis por radicais:


No caso do uso das raízes de os polinômios:



Tem suas soluções por radicais, pois o polinômio de Martinelli é a soma de duas raízes da equação após passar pela transformação de Martinelli[1]. Como o polinômio de Martinelli é uma equação polinomial de décimo grau podemos separar essa equação (em alguns casos) em duas de grau 5(cinco) e, ao invés de utilizar uma das raízes desse polinômio para separar a equação de quinto grau em duas de grau menor, podemos usar essas raízes para solucionar os polinômios completos solúveis por radicais quando for possível separar o polinômio de Martinelli em duas equações de grau 5.

Referências

  1. a b ANDRADE, RODRIGO (3 de dezembro de 2019). «Resolução de uma equação de quinto grau» (PDF). Revista Paulista Eletrônica de Matemática (C.Q.D). Consultado em 15 de janeiro de 2020 
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