Equação do quarto grau

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Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas

Em matemática, uma equação do quarto grau é uma equação polinomial monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:

em que os coeficientes , , , e são elementos de um corpo, geralmente o dos números reais ou complexos.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Existência de soluções[editar | editar código-fonte]

O teorema fundamental da álgebra garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos números complexos.

Formas especiais[editar | editar código-fonte]

Equação biquadrática[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Equação biquadrada

Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:

Como , esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através da mudança de variáveis , de modo que
Os valores de que satisfazem esta equação são dados pela fórmula: Logo, e .

Produtos Notáveis[editar | editar código-fonte]

Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em

  • Exemplo: quando reduzido fica na forma logo ou

Formula de Wilson x⁴=y²

O método de Ferrari[editar | editar código-fonte]

As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari.

Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:

Nota-se que a equação geral pode ser reduzida a este caso através da transformação e dividindo a equação resultante por

A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.

No primeiro passo, o primeiro membro da equação, é transformado no quadrado baseado em ou seja,

Em seguida, somam-se termos em uma nova variável porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar devemos somar também ou seja:

Reescrevendo:


O segundo membro da equação pode ser reescrito como onde e são soluções da equação quadrática

ou seja,

Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que seja um quadrado, então escreveremos que que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.


Em outras palavras, isto requer:

que, expandido, gera a equação do terceiro grau auxiliar:
onde apenas uma raíz é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real).


Retomando o cálculo da incógnita temos que


Com isso a equação pode ser reescrita como ou

que resulta em uma diferença de dois quadrados:

Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:



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