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Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas
Em matemática , uma equação do quarto grau ou equação quártica é uma equação polinomial monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
e
=
0
,
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,}
em que os coeficientes
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
,
b
{\displaystyle b}
,
c
{\displaystyle c}
,
d
{\displaystyle d}
e
e
{\displaystyle e}
são elementos de um
corpo , geralmente o dos
números reais ou
complexos .
x
4
+
2
x
3
−
13
x
2
−
14
x
+
24
=
0
{\displaystyle x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24=0}
x
4
−
1
=
0
{\displaystyle x^{4}-1=0}
x
4
−
5
x
2
+
6
=
0
{\displaystyle x^{4}-5x^{2}+6=0}
O teorema fundamental da álgebra garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos números complexos .
Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:
p
x
4
+
q
x
2
+
r
=
0.
{\displaystyle px^{4}+qx^{2}+r=0.}
Como
p
≠
0
{\displaystyle p\neq 0}
, esta equação pode ser reduzida a uma
equação do segundo grau através da mudança de variáveis
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}}
, de modo que
p
y
2
+
q
y
+
r
=
0.
{\displaystyle py^{2}+qy+r=0.}
Os valores de
y
{\displaystyle y}
que satisfazem esta equação são dados pela
fórmula :
y
=
−
q
±
q
2
−
4
p
r
2
p
.
{\displaystyle y={\frac {-q\pm {\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}.}
Logo,
x
=
±
−
q
+
q
2
−
4
p
r
2
p
{\displaystyle x=\pm {\sqrt {\frac {-q+{\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}}}
e
x
=
±
−
q
−
q
2
−
4
p
r
2
p
{\displaystyle x=\pm {\sqrt {\frac {-q-{\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}}}
.
Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida
(
x
4
+
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
)
,
{\displaystyle \left(x^{4}+ax^{2}+bx+c=0\right),}
apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em
x
=
−
b
4
a
.
{\displaystyle x=-{\dfrac {b}{4a}}.}
Exemplo:
x
4
−
4
x
3
+
6
x
2
−
4
x
+
1
=
0
{\displaystyle x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1=0}
quando reduzido fica na forma
z
4
=
0
,
{\displaystyle z^{4}=0,}
logo
x
=
−
b
4
a
{\displaystyle x=-{\dfrac {b}{4a}}}
ou
x
=
1.
{\displaystyle x=1.}
Formula de Wilson x⁴=y²
As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari .
Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:
x
4
+
p
x
2
+
q
=
r
x
{\displaystyle x^{4}+px^{2}+q=rx}
Nota-se que a equação geral
a
z
4
+
b
z
3
+
c
z
2
+
d
z
+
e
=
0
{\displaystyle az^{4}+bz^{3}+cz^{2}+dz+e=0}
pode ser reduzida a este caso através da transformação
z
=
x
−
b
4
a
,
{\displaystyle z=x-{\frac {b}{4a}},}
e dividindo a equação resultante por
a
{\displaystyle a}
.
Ao dividirmos a equação por
a
{\displaystyle a}
, a equação terá a forma
z
4
+
A
z
3
+
B
z
2
+
C
z
+
D
=
0
{\displaystyle z^{4}+Az^{3}+Bz^{2}+Cz+D=0}
, onde
A
=
b
a
{\displaystyle A={\frac {b}{a}}}
,
B
=
c
a
{\displaystyle B={\frac {c}{a}}}
,
C
=
d
a
{\displaystyle C={\frac {d}{a}}}
e
D
=
e
a
{\displaystyle D={\frac {e}{a}}}
[ 1] . Ao realizar a substituição
z
=
x
−
B
4
{\displaystyle z=x-{\frac {B}{4}}}
a equação assumirá a forma reduzida
x
4
+
p
x
2
+
q
=
r
x
{\displaystyle x^{4}+px^{2}+q=rx}
, onde[ 1]
p
=
B
−
3
8
A
2
{\displaystyle p=B-{\frac {3}{8}}A^{2}}
r
=
−
1
8
A
3
+
1
2
A
B
−
C
{\displaystyle r=-{\frac {1}{8}}A^{3}+{\frac {1}{2}}AB-C}
q
=
−
3
256
A
4
+
1
16
A
2
B
−
1
4
A
C
+
D
{\displaystyle q=-{\frac {3}{256}}A^{4}+{\frac {1}{16}}A^{2}B-{\frac {1}{4}}AC+D}
A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual
(
x
2
+
A
)
2
−
(
B
x
+
C
)
2
=
0
,
{\displaystyle (x^{2}+A)^{2}-(Bx+C)^{2}=0,}
cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau .
No primeiro passo, o primeiro membro da equação,
x
4
+
p
x
2
+
q
,
{\displaystyle x^{4}+px^{2}+q,}
é transformado no quadrado baseado em
x
4
+
q
,
{\displaystyle x^{4}+q,}
ou seja,
x
4
+
2
q
x
2
+
q
:
{\displaystyle x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q:}
x
4
+
q
=
r
x
−
p
x
2
{\displaystyle x^{4}+q=rx-px^{2}}
x
4
+
2
q
x
2
+
q
=
(
2
q
−
p
)
x
2
+
r
x
{\displaystyle x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q=(2{\sqrt {q}}-p)x^{2}+rx}
(
x
2
+
q
)
2
=
r
x
+
(
2
q
−
p
)
x
2
{\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}}
Em seguida, somam-se termos em uma nova variável
y
,
{\displaystyle y,}
porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar
y
2
,
{\displaystyle y^{2},}
devemos somar também
2
y
⋅
(
x
2
+
q
)
,
{\displaystyle 2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}}),}
ou seja:
(
x
2
+
q
)
2
+
2
y
⋅
(
x
2
+
q
)
+
y
2
=
r
x
+
(
2
q
−
p
)
x
2
+
2
y
⋅
(
x
2
+
q
)
+
y
2
{\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}+2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}})+y^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}+2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}})+y^{2}}
Reescrevendo:
(
x
2
+
q
+
y
)
2
=
(
2
q
−
p
+
2
y
)
x
2
+
r
x
+
2
y
q
+
y
2
{\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}}
O segundo membro da equação pode ser reescrito como
(
2
q
−
p
+
2
y
)
⋅
(
x
−
x
+
)
⋅
(
x
−
x
−
)
,
{\displaystyle (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-}),}
onde
x
+
{\displaystyle x_{+}}
e
x
−
{\displaystyle x_{-}}
são soluções da equação quadrática
(
2
q
−
p
+
2
y
)
x
2
+
r
x
+
2
y
q
+
y
2
=
0
,
{\displaystyle (2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}=0,}
ou seja,
x
=
−
r
±
r
2
−
4
⋅
(
2
q
−
p
+
2
y
)
⋅
(
2
y
q
+
y
2
)
2
⋅
(
2
q
−
p
+
2
y
)
{\displaystyle x={\dfrac {-r\pm {\sqrt {r^{2}-4\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (2y{\sqrt {q}}+y^{2})}}}{2\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)}}}
Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que
(
2
q
−
p
+
2
y
)
⋅
(
x
−
x
+
)
⋅
(
x
−
x
−
)
{\displaystyle (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-})}
seja um quadrado, então escreveremos que
x
+
=
x
−
,
{\displaystyle x_{+}=x_{-},}
que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.
Em outras palavras, isto requer:
r
2
−
4
⋅
(
2
q
−
p
+
2
y
)
⋅
(
2
y
q
+
y
2
)
=
0
{\displaystyle r^{2}-4\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (2y{\sqrt {q}}+y^{2})=0}
que, expandido, gera a
equação do terceiro grau auxiliar:
8
y
3
+
(
24
q
−
4
p
)
y
2
+
(
16
q
−
8
p
q
)
y
−
r
2
=
0
,
{\displaystyle 8y^{3}+(24{\sqrt {q}}-4p)y^{2}+(16q-8p{\sqrt {q}})y-r^{2}=0,}
onde apenas uma raiz
y
1
{\displaystyle y_{1}}
é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real). Quando
r
≠
0
{\displaystyle r\neq 0}
, a equação sempre irá possuir uma raiz real positiva
[ 1] .
Retomando o cálculo da incógnita
x
,
{\displaystyle x,}
temos que
x
+
=
x
−
=
−
r
2
⋅
(
2
q
−
p
+
2
y
)
{\displaystyle x_{+}=x_{-}=-{\dfrac {r}{2\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)}}}
Com isso a equação
(
x
2
+
q
+
y
)
2
=
(
2
q
−
p
+
2
y
)
⋅
(
x
+
r
2
⋅
(
2
q
−
p
+
2
y
)
)
2
,
{\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=\left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)\cdot \left(x+{\dfrac {r}{2\cdot \left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)}}\right)^{2},}
pode ser reescrita como
(
x
2
+
q
+
y
)
2
−
(
2
q
−
p
+
2
y
)
2
⋅
(
x
+
r
2
⋅
(
2
q
−
p
+
2
y
)
)
2
=
0
,
{\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}-\left({\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}\right)^{2}\cdot \left(x+{\dfrac {r}{2\cdot \left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)}}\right)^{2}=0,}
ou
(
x
2
+
q
+
y
)
2
−
(
x
2
q
−
p
+
2
y
+
r
8
q
−
4
p
+
8
y
)
2
=
0
{\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}-\left(x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}\right)^{2}=0}
que resulta em uma diferença de dois quadrados:
x
2
+
q
+
y
±
(
x
2
q
−
p
+
2
y
+
r
8
q
−
4
p
+
8
y
)
=
0
{\displaystyle x^{2}+{\sqrt {q}}+y\pm \left(x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}\right)=0}
Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:
x
2
+
x
2
q
−
p
+
2
y
+
q
+
y
+
r
8
q
−
4
p
+
8
y
=
0
{\displaystyle x^{2}+x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\sqrt {q}}+y+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}=0}
x
2
−
x
2
q
−
p
+
2
y
+
q
+
y
−
r
8
q
−
4
p
+
8
y
=
0
{\displaystyle x^{2}-x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\sqrt {q}}+y-{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}=0}
Referências