Triângulo de Pascal

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O triângulo de Yang Hui foi publicado na China, em 1303.

O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente em França, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais , onde representa o número da linha e representa o número da coluna, iniciando a contagem a partir do zero.[1] O triângulo foi descoberto pelo matemático chinês Yang Hui, e 500 anos depois várias de suas propriedades foram estudadas pelo francês Blaise Pascal. O triângulo também pode ser representado:

0 1 2 3 4 5 6
0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 3 4 5 6
2 1 3 6 10 15
3 1 4 10 20
4 1 5 15
5 1 6
6 1

Ele define os números no triângulo por recursão: Chame o número na (m+1)-ésima linha e na (n+1)-ésima coluna por tmn. Então tmn = tm-1,n + tm,n-1, para m = 0, 1, 2... e n = 0, 1, 2... As condições de contorno são tm, −1 = 0, t−1, n para m = 1, 2, 3... e n = 1, 2, 3... O gerador t00 = 1. Pascal conclui com a prova,

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Relação de Stifel[editar | editar código-fonte]

O triângulo de Pascal.

Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e do antecessor do número de cima.

Portanto:

Soma de uma Linha[editar | editar código-fonte]

A soma de uma linha no triângulo de Pascal é igual a .

Soma de uma Coluna[editar | editar código-fonte]

A soma da coluna, no triângulo de Pascal, pode ser calculada pela relação .

Portanto:

Simetria[editar | editar código-fonte]

O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se for escrito da seguinte forma:

[2]

Isso deve-se ao fato de que

Soma de uma Diagonal[editar | editar código-fonte]

Conhecendo as fórmulas (Soma de uma coluna) e (Simetria) do triângulo de Pascal, pode-se encontrar a seguinte fórmula para soma de diagonais: .

Novas Propriedades - Desigualdades[editar | editar código-fonte]

Em 2014 foram descobertas novas propriedades, envolvendo Desigualdades, quais sejam:[3]

1- Em toda a infinita coluna central do Triângulo, na figura abaixo, o produto de dois de seus elementos é maior do que o produto de dois elementos pertencentes à mesma coluna central, localizados simetricamente entre eles. Por exemplo, na figura abaixo: 1 x 20 > 2 x 6, ou então, 2 x 20 > 6 x 6, ou ainda, 1 x 6 > 2 x 2. Isto vale para toda a coluna central.

2- Dados dois elementos A e B da coluna central, o produto deles é maior do que o produto de dois elementos C e D pertencentes às diagonais que passam por A e por B, que estejam simetricamente localizados em relação a A e a B. Por exemplo, olhando novamente a figura acima: se A = 2 e B = 20, então:

2 x 20 > 3 x 10 > 4 x 4 > 1 x 5.

Se A = 1 e B = 20, então:

1 x 20 > 1 x 10 > 1 x 4 > 1 x 1.

Algoritmos[editar | editar código-fonte]

Java[editar | editar código-fonte]

public void Pascal(int n) {

int nfilas = n;    

int[] a = new int[1];    

for (int i = 1; i <= nfilas; i++) {        

int[] x = new int[i];        

for (int j = 0; j < i; j++) {            

if (j == 0 || j == (i - 1)) {                

x[j] = 1;            

} else {                

x[j] = a[j] + a[j - 1];            

}            

System.out.print(x[j] + " ");        

}        

a = x;        

System.out.println();

}

}

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Kadane (2011), p. 62.
  2. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-18. 
  3. Antônio Luiz de Melo, Rogério César dos Santos (13/03/2014). «Desigualdades no Triângulo de Pascal» (PDF). Revista Eletrônica Paulista de Matemática. Consultado em 06/04/2015. [fonte confiável?]

Referências[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]