Equação de Pell

Na matemática, mais especificamente dentro das equações Diofantinas, a equação de Pell (também chamada de equação de Pell-Fermat) é a equação " $x^{2}-ny^{2}=\pm 1$ ".

Esta equação foi nomeada em homenagem ao matemático inglês John Pell e foi estudada por Brahmagupta no século VII e por Fermat no século XVII. A equação de Pell é um caso especial da equação diofantina quadrática e tem a forma:

$x^{2}-ny^{2}=1$.

Onde n é um inteiro positivo.

Se n não possui raiz exata (ou seja n não é quadrado), então existem infinitas soluções inteiras $x,y$ (Se n tiver raíz exata pode-se mostrar que a única solução é $x=\pm 1$ e $y=0$ ).

Nas coordenadas cartesianas, a equação que tem a forma de uma hipérbole; soluções ocorrem sempre que a curva passa através de um ponto cujas coordenadas $x$ e $y$ são ambas números inteiros, tais como a solução trivial com em $x=1$ e $y=0$. Joseph Louis Lagrange provou que, contanto que $n$ não seja um quadrado perfeito, a equação de Pell tem infinitas soluções inteiras distintas. Estas soluções podem ser usadas para aproximar com precisão a raiz quadrada de $n$ pelos números racionais de forma $x/y$

Essa equação de Pell-Fermat são estudadas a milênios na Índia e na Grécia. Eles tinha uma grande interesse particularmente no caso de n = 2 uma vez que sua solução forneciam uma boas aproximações racionais de ${\sqrt {2}}\approx x/y.$ Baudhayana encontrou os pares (17,12) e (577, 408) forneciam muito boas a aproximações ${\sqrt {2}}\approx 577/408.$ Já Arquimedes usou a equação no caso de n = 3 e obteve a aproximação ${\sqrt {3}}\approx 1351/780$. com Brahmagupta , que desenvolveu o método chakravala para resolver a equação de Pell e outras equações indeterminadas quadráticas em sua Brahma Sphuta Siddhanta em 628, cerca de mil anos antes da época de Pell. O nome de Pell, nestas equações, ocorre devido a um erro de Euler atribuindo ao matemático inglês John Pell (1610-1685) o estudo da mesma. Aparentemente foi Lord Brouncker (1620-1684) o primeiro matemático europeu moderno a estudar as equações de Pell-Fermat.

Soluções

Considere os coeficientes da fração continuada de ${\sqrt {n}}$ e r o índice a partir do qual os coeficientes ficam periódicos.

Se r é par, seja $x=p_{r-1}$ e $y=q_{r-1}$. Caso contrário, seja $x=p_{2r-1}$ e $y=q_{2r-1}$. Surpreendentemente, existe um teorema que diz que x, y representam a menor solução inteira positiva para (1).

Uma vez encontrada uma solução $(x_{1},y_{2})$ , todas as soluções $(x_{n},y_{n})$ restantes podem ser calculadas algebricamente a partir de

$x_{k}+y_{k}{\sqrt {2}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {2}})^{k}$

Exemplo

Considere a equação de Pell para n = 2; isso é

$x^{2}-2y^{2}=1$

Note que (3,2) é uma solução não trivial para a equação. A aplicação da fórmula de recorrência a esta solução gera a sequência infinita de soluções

(1,0); (3, 2); (17, 12); (99,70); (577, 408), ...