Equação de Pell

Na matemática, mais especificamente na Teoria dos Números, a equação de Pell (também chamada de equação de Pell-Fermat) é a equação:

$x^{2}-dy^{2}=1$

Onde $x$ e $y$ são números inteiros e $d$ um número natural.

Esta equação foi nomeada em homenagem ao matemático inglês John Pell, foi estudada por Brahmagupta no século VII e por Fermat no século XVII.

Introdução

As equações de Pell-Fermat são estudadas há milênios na Índia e na Grécia. Eles tinham uma grande interesse particularmente no caso de $d$ = 2 uma vez que sua solução forneciam uma boas aproximações racionais de ${\sqrt {2}}\approx x/y.$ Baudhayana encontrou os pares (17,12) e (577, 408) forneciam muito boas a aproximações ${\sqrt {2}}\approx 577/408.$ Já Arquimedes usou a equação no caso de n = 3 e obteve a aproximação ${\sqrt {3}}\approx 1351/780$. com Brahmagupta , que desenvolveu o método chakravala para resolver a equação de Pell e outras equações indeterminadas quadráticas em sua Brahma Sphuta Siddhanta em 628, cerca de mil anos antes da época de Pell. O nome de Pell, nestas equações, ocorre devido a um erro de Euler atribuindo ao matemático inglês John Pell (1610-1685) o estudo da mesma. Aparentemente foi Lord Brouncker (1620-1684) o primeiro matemático europeu moderno a estudar as equações de Pell-Fermat.

Soluções

Note que

 ${\textstyle x^{2}-dy^{2}=1\Longleftrightarrow (x-{\sqrt {d}}y)(x+{\sqrt {d}}y)=1}$

Se ${\sqrt {d}}\in \mathbb {N}$, isto é, se $d$ é um quadrado perfeito, então

 $(x-{\sqrt {d}}y)(x+{\sqrt {d}}y)=1\Longrightarrow {\begin{cases}x-{\sqrt {d}}y=1\\x+{\sqrt {d}}y=1\end{cases}}\quad {\text{ou}}\quad {\begin{cases}x-{\sqrt {d}}y=-1\\x+{\sqrt {d}}y=-1\end{cases}}$

Como ${\sqrt {d}}\in \mathbb {N}$, então existe $n$ natural tal que $n={\sqrt {d}}$. Assim, no primeiro caso acima, temos que

 ${\begin{cases}x-ny=1\\x+ny=1\end{cases}}\Longrightarrow (x-ny)+(x+ny)=1+1$

Assim,

 $(x+x)+(ny-ny)=2\Longrightarrow x=1.$

Substituindo $x=1$ em uma das equações do sistema, teremos que $y=0$.

Resolvendo o caso

 ${\begin{cases}x-ny=-1\\x+ny=-1\end{cases}}$

Teremos $x=-1$ e $y=0$. Assim, os pares $(x,y)=(1,0)$ e $(x,y)=(-1,0)$ são ditos soluções triviais.

Joseph Louis Lagrange provou que, contanto que $d$ não seja um quadrado perfeito, a equação de Pell tem infinitas soluções inteiras distintas.

Os inversíveis em $Z[{\sqrt {d}}]$

Como $x^{2}-dy^{2}=(x+{\sqrt {d}}y)(x-{\sqrt {d}}y)$, então iremos usar os números da forma $a+{\sqrt {d}}b$, números em $\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$, para resolver a equação.

Definição

Definiremos a norma $N:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ da seguinte forma

 $N(u)=u{\bar {u}}.$

Onde $u=x+{\sqrt {d}}y$ e ${\bar {u}}=x-{\sqrt {d}}y$.

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Proposição

Seja $u=x+{\sqrt {d}}y$ uma solução da equação de Pell, qualquer potência $u^{n};2\leq n\in \mathbb {N}$ é, também, uma solução da equação de Pell.

Demonstração

Usaremos o processo de indução. Assim, note que para $n=2$

${\begin{aligned}N(u^{2})&=N{\Big (}(x+{\sqrt {d}}y)(x+{\sqrt {d}}y){\Big )}\\&=N{\Big (}x^{2}+dy^{2}+2{\sqrt {d}}xy{\Big )}\\&=\left(x^{2}+dy^{2}+2{\sqrt {d}}xy\right)\left(x^{2}+y^{2}-2{\sqrt {d}}xy\right)\\&=\left(x^{2}+dy^{2}\right)^{2}-\left(2{\sqrt {d}}xy\right)^{2}\\&=x^{4}+2dx^{2}y^{2}+d^{2}y^{4}-4dx^{2}y^{2}\\&=x^{4}-2dx^{2}y^{2}+d^{2}y^{4}\\&=(x^{2}-dy^{2})(x^{2}-dy^{2})\\&=N(u)N(u)\\&=1\end{aligned}}$

Suponha que para todo $n\leq k,N(u^{n})=N(u^{n-1}\cdot u)=1$, então para $n=k+1$, temos que

${\begin{aligned}N(u^{k+1})&=N(u^{k}\cdot u)\\&=N(u^{k})N(u)\\&=1\end{aligned}}$

Assim, fica demonstrado que qualquer potência de uma solução é, ainda, uma solução da equação de Pell.

Proposição

Seja $u=x+{\sqrt {d}}y$ a solução fundamental da equação de Pell e $u^{k}=x_{k}+{\sqrt {d}}y_{k}$ a k-ésima potência de $u$, então

 ${\begin{aligned}x_{k}&=x_{k-1}x+dy_{k-1}y\\y_{k}&=x_{k-1}y+y_{k-1}x\end{aligned}}$

Demonstração

Note que $u^{k}=u^{k-1}u$, logo

${\begin{aligned}u^{k}&=(x_{k-1}+{\sqrt {d}}y_{k-1})(x+{\sqrt {d}}y)\\&=x_{k-1}x+x_{k-1}{\sqrt {d}}y+{\sqrt {d}}y_{k-1}x+dy_{k-1}y\\\Rightarrow x_{k}+{\sqrt {d}}y_{k}&=(x_{k-1}x+dy_{k-1}y)+{\sqrt {d}}(x_{k-1}y+y_{k-1}x)\end{aligned}}$

Comparando os termos, temos que $x_{k}=x_{k-1}x+dy_{k-1}y{\text{ e }}y_{k}=x_{k-1}y+y_{k-1}x$.

Observação: note que $u=x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}}$ é a solução fundamental

O grupo dos inversíveis em $\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$

Seja a restrição,

$N:\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]^{*}\rightarrow \mathbb {Z} ^{*}$

Onde $\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]^{*}=\{u\in \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}];N(u)=1\}$ e $\mathbb {Z} ^{*}=\{-1,1\}$ (inversíveis em $\mathbb {Z}$).

Note que a norma definida dessa forma é um homomorfismo.

Agora iremos verificar que $G=(\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]^{*},\cdot )$ é um grupo:

1. Associatividade: como $\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]\subset \mathbb {R}$ e a operação é a multiplicação usual, garantimos a associatividade;
2. Elemento neutro: Note que $1\cdot u=u\ \forall \ u\in \mathbb {R}$, logo, $u\in \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]^{*}\Rightarrow 1\cdot u=u$;
3. Inverso : Por construção, todo $u\in \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]^{*}$possui inverso.

Seja $u\in \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]^{*}$ a solução fundamental da equação de Pell, então $u^{k}$ ainda será uma solução da equação, logo, $u$ gera $G$, portanto, $G$ é um grupo cíclico, logo, abeliano. Assim,

 $G=\{u^{0},u^{1},\dots \}=\{1,u,u^{2},...\}$

Aplicações

Da equação de Pell, temos que $x^{2}=1+dy^{2}$, logo

 ${\frac {x^{2}}{y^{2}}}={\frac {1}{y^{2}}}+d\Longrightarrow {\frac {x}{y}}={\sqrt {{\frac {1}{y^{2}}}+d}}.$

Intuitivamente, podemos perceber que a razão $x/y$ nos dará boas aproximações para ${\sqrt {d}}$ quando $1/y^{2}$ for pequeno. Matematicamente, podemos formular essa ideia como

 $\lim _{y\rightarrow +\infty }{\sqrt {{\frac {1}{y^{2}}}+d}}={\sqrt {d}}.$

Com isso, podemos usar frações continuadas para escrever o número irracional ${\sqrt {d}}$ na forma ${\sqrt {d}}=[a_{0},{\overline {a_{1},\dots ,2a_{0}}}]$

Exemplo

Seja a equação de Pell

 $x^{2}-2y^{2}=1$.

A solução fundamental dessa equação é o par $(3,2)$, pois, $3^{2}-2(2)^{2}=9-8=1$. Assim, $u=3+2{\sqrt {2}}$, então $u^{k}=3x_{k-1}+4y_{k-1}+{\sqrt {2}}(x_{k-1}2+y_{k-1}3)$, daí

 ${\begin{aligned}u^{2}&=3x_{1}+4y_{1}+(2x_{1}+3y_{1}){\sqrt {2}}=17+12{\sqrt {2}}\\u^{3}&=3x_{2}+4y_{2}+(2x_{2}+3y_{2}){\sqrt {2}}=99+70{\sqrt {2}}\\u^{4}&=3x_{3}+4y_{3}+(2x_{3}+3y_{3}){\sqrt {2}}=577+408{\sqrt {2}}\\\end{aligned}}$
 $\vdots$

Fazendo a razão entre os coeficientes das soluções, temos que

 ${\frac {3}{2}}=1,5;\quad {\frac {17}{12}}=1,41{\overline {6}};\quad {\frac {99}{70}}=1,41{\overline {428571}};\quad {\frac {577}{408}}=1.4142{\overline {1568627450980392}}$

Essas razões estão se aproximando de ${\sqrt {2}}=1,414213562373\dots$