Equação de Pell
Na matemática, mais especificamente dentro das equações Diofantinas, a equação de Pell (também chamada de equação de Pell-Fermat) é a equação " ".
Esta equação foi nomeada em homenagem ao matemático inglês John Pell e foi estudada por Brahmagupta no século VII e por Fermat no século XVII[1]. A equação de Pell é um caso especial da equação diofantina quadrática e tem a forma:
.
Onde n é um inteiro positivo.
Se n não possui raiz exata (ou seja n não é quadrado), então existem infinitas soluções inteiras (Se n tiver raíz exata pode-se mostrar que a única solução é e )[2].
Nas coordenadas cartesianas, a equação que tem a forma de uma hipérbole; soluções ocorrem sempre que a curva passa através de um ponto cujas coordenadas e são ambas números inteiros, tais como a solução trivial[3] com em e [4][5]. Joseph Louis Lagrange provou que, contanto que não seja um quadrado perfeito, a equação de Pell tem infinitas soluções inteiras distintas. Estas soluções podem ser usadas para aproximar com precisão a raiz quadrada de pelos números racionais de forma [6]
Essa equação de Pell-Fermat são estudadas a milênios na Índia e na Grécia. Eles tinham uma grande interesse particularmente no caso de n = 2 uma vez que sua solução forneciam uma boas aproximações racionais de Baudhayana encontrou os pares (17,12) e (577, 408) forneciam muito boas a aproximações Já Arquimedes usou a equação no caso de n = 3 e obteve a aproximação . com Brahmagupta , que desenvolveu o método chakravala para resolver a equação de Pell e outras equações indeterminadas quadráticas em sua Brahma Sphuta Siddhanta em 628, cerca de mil anos antes da época de Pell. O nome de Pell, nestas equações, ocorre devido a um erro de Euler atribuindo ao matemático inglês John Pell (1610-1685) o estudo da mesma. Aparentemente foi Lord Brouncker (1620-1684) o primeiro matemático europeu moderno a estudar as equações de Pell-Fermat.[7]
Soluções[editar | editar código-fonte]
Considere os coeficientes da fração continuada de e r o índice a partir do qual os coeficientes ficam periódicos.
Se r é par, seja e . Caso contrário, seja e . Surpreendentemente, existe um teorema que diz que x, y representam a menor solução inteira positiva para (1)[8].
Uma vez encontrada uma solução , todas as soluções restantes podem ser calculadas algebricamente a partir de
Exemplo[editar | editar código-fonte]
Considere a equação de Pell para n = 2; isso é
Note que (3,2) é uma solução não trivial para a equação. A aplicação da fórmula de recorrência a esta solução gera a sequência infinita de soluções
(1,0); (3, 2); (17, 12); (99,70); (577, 408), ...
Referências
- ↑ «Pell Equation». Wolfram - MathWorld. Consultado em Janeiro de 2015 Verifique data em:
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(ajuda) - ↑ Kunigami (12 de Fevereiro, 2012). «Equações de Pell». Consultado em Janeiro de 2015 Verifique data em:
|acessodata=, |data=
(ajuda) - ↑ Introduction to partial differential equations with applications, by Zachmanoglou and Thoe, p309
- ↑ The Pell equation
- ↑ Lagarias, J. C. "On the Computational Complexity of Determining the Solvability or Unsolvability of the Equation ." Trans. Amer. Math. Soc. 260, 485-508, 1980.
- ↑ Pell Equation
- ↑ Gondim, Rodrigo (2011). Aritmética em Retas e Cônicas. Sergipe: [s.n.] pp. 57 – 64
- ↑ H. W. Lenstra Jr. (FEBRUARY 2002). «Solving the Pell Equation» (PDF). NOTICES OF THE AMS (pg. 183-190). Consultado em Janeiro de 2015 Verifique data em:
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(ajuda)