Terno pitagórico

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Representação dos ternos pitagóricos com c<4500. A abcissa e ordenada correspondem ao números a e b e a distância à origem, o número c.

Em matemática, nomeadamente em teoria dos números, um terno pitagórico (ou trio pitagórico, ou ainda tripla pitagórica) é formado por três números naturais a, b e c tais que a²+b²=c². O nome vem do teorema de Pitágoras que afirma que se as medidas dos lados de um triângulo rectângulo são números inteiros, então são um terno pitagórico. Se (a,b,c) é um terno pitagórico, então (ka,kb,kc) também é um terno pitagórico, para qualquer número natural k. Um terno pitagórico primitivo é um terno pitagórico em que os três números são primos entre si. Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)...[1]

Os ternos pitagóricos apareceram em problemas na Matemática Babilônia na tabela Plimpton 322, escrita no Século XVIII a.C.[2][3] e, posteriormente, foram estudadas no período grego pelos pitagóricos e por Platão e aparecem de forma explícita na obra de Euclides e nos estudos de Diofanto. Também foi estudada por alguns matemáticos islâmicos e, nesse caso, estavam relacionadas com o Problema dos Números Congruentes, um antigo problema que remonta à época do matemático italiano Leonardo Fibonacci.

Através dos séculos diversas gerações de estudiosos, cientistas e matemáticos têm tentado achar uma solução geral para esse problema, encontrando, na maioria das vezes, soluções parciais. Uma solução geral implicaria encontrar um algoritmo que permitisse determinar quando um número natural é congruente ou não.

O Teorema de Pitágoras (e, portanto, os ternos pitagóricos) é a mais bela jóia da tradição pitagórica. Como lembrança inesquecível da época escolar, ele pertence à base cultural comum da humanidade. O seu estudo introduziu uma radical inflexão intelectual entre a prática empírica e indutiva e a argumentação lógico-dedutiva, tanto no aspecto histórico cultural matemático como no âmbito escolar.

Pitágoras[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Pitágoras

Pitágoras, filosofo e matemático, nasceu em 572 a.C. em Samos, uma ilha grega no mar Egeu na costa da Asia Menor, na época pertencente `a Grécia, ele viajou pelo Egito e Babilônia, e segundo alguns historiadores, possivelmente foi até à Índia. Pitágoras mudou-se para Crotona, na atual Itália e ali fundou uma escola filosófica que muito se assemelhava a um culto religioso. A escola fundada por ele era secreta e ao mesmo tempo comunitária, onde conhecimento e propriedades eram comuns, possuía bases religiosas, matemáticas e filosóficas.

O filósofo e matemático Pitágoras, além de fundador e líder, era visto como profeta. A escola também praticava rituais de purificação através do estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia. Acreditavam na transmigração da alma de um corpo para o outro após a morte, portanto acreditavam na reencarnação e na imortalidade da alma.

Fórmula de Euclides[editar | editar código-fonte]

Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou uma fórmula que gera todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:

é pitagórico, e é primitivo se e só se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.

3, 4 e 5[editar | editar código-fonte]

O primeiro terno pitagórico é formado pelos números 3, 4 e 5, já que 3²+4²=5². Mas os números 3, 4 e 5 desempenham um papel importante em todos os ternos pitagóricos. Pode provar-se, pela definição ou pela fórmula de Euclides, que num terno pitagórico primitivo:

  • exactamente um dos números a ou b é múltiplo de 3;
  • exactamente um dos números a ou b é múltiplo de 4;
  • exactamente um dos números a, b ou c é múltiplo de 5.

Os ternos pitagóricos no período babilônico[editar | editar código-fonte]

Um dos problemas babilônicos sobre raiz quadrada está ligado à relação entre o lado de um quadrado e sua diagonal. Essa relação é um caso especial do resultado conhecido como o teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, a soma das medidas dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. O nome desse teorema é em homenagem ao filósofo e matemático grego do século VI a. C., é indiscutivelmente o teorema elementar mais importante em Matemática, uma vez que as suas consequências e generalizações têm ampla aplicação. No entanto, é um dos primeiros teoremas conhecidos das civilizações antigas; de fato, há evidências de que ele era conhecido pelo menos 1000 anos antes de Pitágoras. (Katz, 1998, p. 30)

Katz sinaliza que há indícios da utilização de ternos pitagóricos em construções de templos megalíticos. Alguns estudiosos têm argumentado que as pedras dos templos na Inglaterra relacionadas com a astronomia e edificada no terceiro milênio a. C. foram construídas utilizando o conhecimento do teorema de Pitágoras e, em especial, ternos pitagóricos, ternos de inteiros (a, b, c) , tal que a² + b² = c². No entanto, a evidência disso é bastante tênue. (Katz, 1998, p. 30)

Além disso, conforme Katz há registros históricos comprobatórios em placas de argila do período de Hamurabi que comprovam o conhecimento, construção e utilização de ternos pitagóricos. Em especial, se tem a tabuleta Plimpton 322, que consta no acervo da Biblioteca de Livros Raros e Manuscritos da Universidade de Columbia, que foi estudada por Neugebauer e Sachs. O historiador Katz, em seu texto, reproduz em notação decimal o conteúdo dessa tabuleta e explica como o escriba babilônico conseguiu obter esses ternos pitagóricos.

Obtenção de trios pitagóricos por fórmulas de geometria algébrica[editar | editar código-fonte]

Geometria

Se tomarmos um quadrado de lado que somado a um quadrado de lado seja igual a um quadrado de lado com , ao pormos o quadrado de lado dentro do quadrado de lado no canto inferior esquerdo coincidindo os lados do quadrado de lado com parte dos lados de pois é maior do que , chamaremos a diferença , ou e observamos que na figura ficará uma área do quadrado de lado não coberta pelo quadrado de lado e esta área não coberta é uma figura que tem a forma de uma letra L de cabeça para baixo.

Esta figura pode ser divida em três partes sendo a primeira parte um retângulo exatamente em cima do quadrado de lado , tendo como base o valor e como altura o valor , a segunda figura será um retângulo ao lado direito do quadrado de lado , tendo como base o valor e como altura o valor , a terceira figura será um quadrado de base e altura . Esta claro que o quadrado de lado , somado com o quadrado de lado é igual ao quadrado de lado ,e que o quadrado de lado obrigatoriamente tem a mesma área que a soma das três figuras citadas.

Álgebra

O quadrado de lado tem a sua área expressa por , a primeira figura tem sua área expressa por , a segunda figura tem sua área expressa por e a terceira figura tem sua área expressa por . Então ou seja consequentemente .

Para termos raiz quadrada em todas as condições deveremos transformar a expressão num produto notável da forma , isto implica transformar o valor em duas parcelas pois temos como terceira parcela o valor . Logo teremos . Se no primeiro espaço colocarmos e no segundo espaço também teremos ,porém ao obtermos os lados ,nós conseguiremos apenas o primeiro terno pitagórico e seus multiplos.

Então está faltando algo para completar o valor de . A solução é introduzir o parâmetro ficando , então vemos que e então finalmente temos

ou então e temos que

ou então e temos que

ou seja ou então


Determinação de ,temos que logo ou seja , que podemos escrever .

Como nos Ternos Pitagóricos temos que será sempre um número racional

Observações sobre as equações


1- tangentes dos ângulos agudos


Sabemos que logo ficando

O que nos mostra que a tangente dos ângulos agudos do triângulo retângulo dependem somente do parâmetro .

Vemos nesta equação que temos a divisão dos números consecutivos por . Como dois números consecutivos são sempre primos entre si, isto implica que não teremos números inteiros ou irracionais , apenas números racionais como expressão da tangente de ângulos pitagóricos.

Quando fixamos um valor para e variamos o valor de obtemos uma série existente de triângulos retângulos, todos diferentes entre si, pois o parâmetro define sempre a forma do triângulo, ou seja, fixa os seus ângulos agudos.

Quando fixamos um valor para e variamos o valor de obtemos toda a série de triângulos daquela forma definida pelo parâmetro m, porém todos com diferentes áreas entre si, pois o parâmetro t é um parâmetro de escala, ou seja define a variação do tamanho ou área.


2- Analise dos triângulos retângulos com lados iguais


Neste caso os lados são iguais, então , ficando ou e finalmente .

Para temos que a equação que representa

Para temos que a equação que representa

Para temos que a equação que representa


3- Caso em que onde é o lado menor do triângulo retângulo

Analise do caso , onde , , sendo , e

Estes resultados foram obtidos com .


Se na dedução inicial considerarmos a superposição da área do quadrado formado pelo lado menor sobre o quadrado de lado igual a hipotenusa a área não coberta do quadrado da hipotenusa, representaria o quadrado de lado maior, porém a equação seria a mesma ou seja: ,

porque a passagem da geometria para a álgebra seria a mesma, porém teríamos uma mudança nos valores de , onde

e teremos .

Então temos . Vemos ai que agora temos e , logo ou seja :

A equação que expressava o menor lado, agora expressa o maior lado.

Para , ou seja a equação que expressava o maior lado, agora expressa o menor lado e não temos alteração no valor da equação que expressa a hipotenusa.

esta operação vale para todos os Ternos Pitagóricos


Então para , o lado menor será expresso por e o lado maior será expresso por

Para , o lado menor será expresso por e o lado maior será expresso por

Finalmente temos que todos os Ternos Pitagóricos podem ser expressos por em duas séries, sendo uma quando temos , e e a outra quando temos , e , sendo que no intervalo de os ternos pitagóricos aparecem em ordem crescente com a diminuição de e no intervalo os ternos pitagóricos aparecem também em ordem crescente, com o aumento de .

Vemos então que variando entre conseguimos todos os ternos pitagóricos, o que também conseguimos porém variando entre .ou seja

para para , .....

para para , ....

4 - Equação para números congruentes

Números congruentes são números inteiros que expressam áreas de triângulos retângulos onde os lados (catetos) são números inteiros ou racionais

logo

Esta é a equação dos Números Congruentes

5 - Ternos pitagóricos primitivos[editar | editar código-fonte]

Os ternos Pitagóricos primitivos são divididos em duas séries sendo uma com o cateto menor com paridade impar e a outra com o cateto menor com paridade par.

Tanto na série impar como na série par o valor para será um número inteiro, pois

Vamos tomar nesse caso um valor racional para , ou seja com .

Neste caso temos que racionalizando fica , e para esta condição vemos que tem que ser submúltiplo de .

Para o outro cateto temos temos que racionalizando fica e para estas condições vemos que tem que ser submúltiplo de ,

Então temos que tomar onde com primos entre si e .


Então na série impar tomamos e sendo e primos entre si.

Logo: b = 2pq + q² , a = 2p² + 2pq , c = 2p² + 2pq +q²' . com sempre impar e sendo impar ou par

Neste caso temos q=1, p=1,2,3,4,5..., q=3, p=4,5,7,8,10..., q=5, p=4,6,7,8,9....

Com q=1 temos b=3,5,7,9,11..., a=4,12,24,40,60..., c=5,13,25,41,61...

Com q=3 temos b=33,39,51,57,69..., a=56,80,140,176,260..., c=65,89,149,185,269....

Na série par façamos t= (q²/2)e m=p/q sendo e primos entre si.

Logo: b = pq + q²/2 , a = p² + pq , c = p² + pq + q²/2 com sempre par e sempre impar

Neste caso temos q=2 , p=3,5,7,9,11..., q=4, p=3,5,7,9,11..., q=6, p=5,7,11,13,15...

Com q=2 temos b=8,12,16,20,24... , a=15,35,63,99,143... , c=17,37,65,101,145...

Com q=4 temos b=20,28,36,44,52... , a=21,45,77,117,165... , c=29,53,85,125,173..


6 - Comparação entre as fórmulas de Euclides e as fórmulas de geometria algébricas na obtenção dos ternos pitagóricos

As fórmulas de Euclides para a obtenção dos ternos pitagóricos são: , onde se consegue obter os ternos pitagóricos primitivos tomando se as variáveis , sempre como números inteiros e primos entre si.

Como sabemos os ternos pitagóricos primitivos são divididos em duas séries, sendo que em uma delas o cateto menor é sempre de paridade impar e na outra série o cateto menor tem sempre paridade par.

Das equações de Euclides usa se a equação para a obtenção do cateto menor na série impar.

Na série par o cateto menor é obtido com a equação , ou seja, temos uma inversão das equações para a obtenção dos catetos entre uma série e a outra.

As fórmulas de geometria algébrica para a obtenção dos ternos pitagóricos primitivos são: .

Nas fórmulas de geometria algébrica consegue se obter todos os ternos pitagóricos primitivos, tanto da série par quanto da série impar com o cateto menor sendo representado pela equação com o parâmetro e o parâmetro .

Nas fórmulas de geometria algébrica consegue se também obter todos os ternos pitagóricos primitivos das duas séries, sendo o cateto menor representado pela equação com o parâmetro , e o parâmetro .

Das observações acima percebemos que as fórmulas de Euclides não apresentam a geração dos ternos pitagóricos em duas regiões da reta dos números reais, com as variáveis , o que fica claro pelas fórmulas de geometria algébrica, onde os valores de e os valores de , pois de uma forma , fazemos a demonstração subtraindo do quadrado cujo lado é a hipotenusa, o quadrado cujo lado é cateto maior e da outra forma subtraindo o quadrado cujo lado é o cateto menor.

A partir das observações acima concluímos não existir correlação entre as variáveis de Euclides e os parâmetros das fórmulas de geometria algébrica.

7 - Diferença entre as fórmulas de Euclides e as fórmulas de geometria algébrica[editar | editar código-fonte]

Dada as equações de Euclides para o triângulo retângulo com representando respectivamente a hipotenusa, o cateto maior e o cateto menor, teremos na série impar ou na série par, na série impar ou na série par.

Façamos .

Temos que ou seja que podemos escrever .

Nesta expressão ao cancelarmos as parcelas que aparecem com o mesmo sinal dos dois lados da igualdade teremos ficando a igualdade dando validade matemática a esta igualdade, porque temos parte do primeiro quadrado sendo anulado por parte do segundo quadrado da representação geométrica da soma dos quadrados do lado esquerdo da igualdade.

Para as equações de geometria algébrica isto não ocorre porque todos os termos dos dos dois lados da igualdade estão com sinal positivo e cada termo de um lado da igualdade ocorre do outro lado da igualdade.

8 - Obtenção dos outros ternos pitagóricos[editar | editar código-fonte]

Para obtenção dos outros ternos, basta tomarmos cada um dos ternos Pitagóricos primitivos e multiplicarmos cada valor do parâmetro por 2,3,4,....

Proposição 2.4. Existem infinitos ternos pitagóricos primitivos.[editar | editar código-fonte]

Demonstração: Dados os ternos da forma (2m, m² − 1, m² + 1), ou seja, com n = 1. Se usarmos m = 2k e k primo, temos que a = 2m = 4k só possui dois divisores primos, a saber 2 e k. Porém b = m² − 1 e c = m² + 1 são ímpares, logo 2 não divide b nem c, além disso k não divide b nem c. Portanto a, b, c são relativamente primos entre si. Como existem infinitos primos k, existem infinitos ternos pitagóricos primitivos da forma (2m, m² − 1, m² + 1).

Ternos Pitagóricos e Geometria[editar | editar código-fonte]

Podemos observar que em um triângulo retângulo ABC, com lados medindo a, b e c, sen α = a/c e cos α = b/c são números racionais.

Proposição 3.2. Seja α um ângulo trigonométrico. Então[editar | editar código-fonte]

(i) α é um ângulo pitagórico se e somente se o seu complementar é um ângulo pitagórico.

(ii) Se α é um ângulo pitagórico então kπ ± α também é ângulo pitagórico para todo k ∈ Z. Em particular o seu suplementar é um ângulo pitagórico.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. «Terno pitagórico». Encyclopædia Britannica Online (em inglês). Consultado em 30 de abril de 2022 
  2. Mathematical secrets of ancient tablet unlocked after nearly a century of study Dating from 1,000 years before Pythagoras’s theorem, the Babylonian clay tablet is a trigonometric table more accurate than any today, say researchers por Maev Kennedy (2017)
  3. Robson, Eleanor. "Words and Pictures: New Light on Plimpton 322," em American Mathematical Monthly, February 2002, 109, pp. 105–119. Mathematical Association of America.