Teorema do número primo

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Gráfico comparativo de π(x) (vermelho), x / ln x (verde) e Li(x) (azul).

Em matemática, sobretudo na teoria dos números, o teorema do número primo é um importante resultado sobre a distribuição dos números primos, que afirma que o número de primos menores ou iguais a n é aproximadamente n / ln n. Este resultado foi primeiramente demonstrado independentemente por dois matemáticos franceses, Jacques Hadamard e Charles-Jean de La Vallée Poussin, através do estudo da função zeta de Riemann. Uma demonstração elementar, sem apelo à teoria analítica dos números, foi dada posteriormente por Atle Selberg e Paul Erdös.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja a função de contagem de números primos, que retorna o número de números primos entre 1 e n. Então vale o limite:

Não é difícil mostrar que este limite é equivalente a este outro:

onde é o enésimo número primo.

Usando-se notação assimptótica, pode-se expressar o teorema como:

História[editar | editar código-fonte]

Distribuição dos primos até 19# (9699690).

Com base nas tabelas de Anton Felkel e Jurij Vega, Adrien-Marie Legendre conjecturou em 1797 ou 1798 que π(a) é aproximado pela função a/(A ln(a) + B), onde A e B são constantes não especificadas. Na segunda edição de seu livro sobre a teoria dos números (1808) ele então fez uma conjectura mais precisa, com A = 1 e B = −1,08366. Carl Friedrich Gauss considerou essa mesma questão quando tinha 15 ou 16 anos "ins Jahr 1792 oder 1793", segundo a sua própria recordação em 1849.[1] Em 1838 Peter Gustav Lejeune Dirichlet desenvolveu sua própria função aproximadora, a integral logarítmica li(x) (sob a forma ligeiramente diferente de uma série, que ele comunicou a Gauss). Ambas as fórmulas, de Legendre e Dirichlet, implicam a mesma equivalência assimptótica conjecturada de π(x) e x / ln(x) enunciada acima, embora tenha sido descoberto que a aproximação de Dirichlet é consideravelmente melhor se considerarmos as diferenças em vez dos quocientes.

Em dois artigos de 1848 e 1850, o matemático russo Pafnuty L'vovich Chebyshev tentou provar a lei assintótica de distribuição dos números primos. Seu trabalho é notável por usar a função zeta ζ(s) (para valores reais do argumento "s", como nas obras de Leonhard Euler, de 1737) precedendo o celebrado ensaio de Riemann de 1859, e ele obteve sucesso em provar uma forma ligeiramente mais fraca da lei assintótica, a saber, que se o limite de π(x)/(x/ln(x)) quando x vai ao infinito existe definitivamente,então ele é necessariamente igual a um.[2] Ele foi capaz de provar de forma incondicional que esta razão é limitada acima e abaixo por duas explicitamente dadas constantes próximas de 1 para todo x.[3] Embora em seu artigo Chebyshev não tenha provado o teorema dos números primos, suas estimativas para π(x) eram fortes o suficiente para ele provar o postulado de Bertrand que afirma que existe um número primo entre n e 2n para todo inteiro n ≥ 2.

Um importante artigo a respeito da distribuição dos números primos foi o ensaio de Riemann de 1859 Sobre o Número de Primos Menores Que uma Dada Magnitude, o único artigo que ele escreveu sobre o assunto. Riemann introduziu novas ideias ao tópico, a maior delas sendo a de que a distribuição dos números primos é intimamente conectada aos zeros da analiticamente estendida função zeta de Riemann de uma variável complexa. Em particular, foi nesse artigo de Riemann que a ideia de aplicar métodos de análise complexa ao estudo da função real π(x) teve origem. Estendendo as ideias de Riemann, duas provas da lei assintótica da distribuição de números primos foram obtidas de forma independente por Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin e apareceram no mesmo ano (1896). Ambas as provas utilizaram métodos de análise complexa, estabelecendo como um passo importante da prova que a função zeta de Riemann ζ(s) é não negativa para todos os valores complexos da variável s que tem a forma s = 1 + it com t > 0.[4]

Durante o século XX, o teorema de Hadamard e de la Vallée-Poussin tornou-se conhecido como o teorema dos números primos. Várias provas diferentes dele foram encontradas, incluindo as provas "elementares" de Atle Selberg e Paul Erdős (1949). Enquanto as provas originais de Hadamard e de la Vallée-Poussin são longas e complicadas, provas posteriores introduziram várias simplificações através do uso dos teoremas de Tauberian mas mantiveram-se difíceis de assimilar. Uma prova curta foi descoberta em 1980 pelo matemático estadunidense Donald J. Newman.[5][6] A prova de Newman é talvez a prova mais simples conhecida do teorema, embora seja não elementar, uma vez que usa o teorema integral de Cauchy de análise complexa.

Demonstrações elementares[editar | editar código-fonte]

Na primeira metade do século XX, alguns matemáticos (notavelmente, G. H. Hardy) acreditavam que existe uma hierarquia de métodos de demonstração em matemática, dependendo do tipo de números (inteiros, reais, complexos) que uma demonstração requer, e que o teorema dos números primos (TNP) é um teorema "profundo" em virtude de requerer análise complexa.[7] Essa crença foi um pouco abalada por uma demonstração do TNP com base no teorema tauberiano de Wiener, embora isso pudesse ser posto de lado se o teorema de Wiener fosse considerado como tendo uma "profundidade" equivalente a dos métodos de variáveis complexas. Não existe uma definição rigorosa e amplamente aceita da noção de demonstração elementar em teoria dos números. Uma definição é "uma prova de que pode ser realizada com aritmética de Peano de primeira ordem." Há enunciados de teoria dos números (por exemplo, o teorema de Paris–Harrington) que são demonstráveis usando-se aritmética de segunda ordem mas não com métodos de aritmética de primeira ordem, mas até o presente momento conhece-se poucos teoremas assim.

Em março de 1948, Atle Selberg estabeleceu, por métodos elementares, a fórmula assintótica

em que

para primos .[8] Em julho daquele ano, Selberg e Paul Erdös tinham cada um obtido demonstrações elementares do TNP, ambos usando a fórmula assintótica de Selberg como ponto de partida.[7][9] Essas provas efetivamente colocaram para descansar a noção de que o TNP era "profundo", e mostraram que, tecnicamente, métodos "elementares" (em outras palavras, aritméticas de Peano) eram mais poderosos do que se acreditava ser o caso. Em 1994, Charalambos Cornaros e Costas Dimitracopoulos demonstraram o TNP usando apenas ,[10] um sistema formal muito mais fraco do que a aritmética de Peano.[7]

Tabela de π(x), x / ln x e Li(x)[editar | editar código-fonte]

A tabela seguinte compara os valores de π(x) com as aproximações x / ln x e Li(x). A quarta coluna, x / π(x), é a distância média entre os primos abaixo de x.

x π(x)[11] π(x) / (x / ln x) x / π(x) π(x) − x / ln x[12] Li(x) − π(x)[13]
10 4 0,921 2,500 −0,3 2,2
10² 25 1,151 4,000 3,3 5,1
10³ 168 1,161 5,952 23 10
104 1.229 1,132 8,137 143 17
105 9.592 1,104 10,425 906 38
106 78.498 1,084 12,740 6.116 130
107 664.579 1,071 15,047 44.158 339
108 5.761.455 1,061 17,357 332.774 754
109 50.847.534 1,054 19,667 2.592.592 1.701
1010 455.052.511 1,048 21,975 20.758.029 3.104
1011 4.118.054.813 1,043 24,283 169.923.159 11.588
1012 37.607.912.018 1,039 26,590 1.416.705.193 38.263
1013 346.065.536.839 1,034 28,896 11.992.858.452 108.971
1014 3.204.941.750.802 1,033 31,202 102.838.308.636 314.890
1015 29.844.570.422.669 1,031 33,507 891.604.962.452 1.052.619
1016 279.238.341.033.925 1,029 35,812 7.804.289.844.393 3.214.632
1017 2.623.557.157.654.233 1,027 38,116 68.883.734.693.281 7.956.589
1018 24.739.954.287.740.860 1,025 40,420 612.483.070.893.536 21.949.555
1019 234.057.667.276.344.607 1,024 42,725 5.481.624.169.369.960 99.877.775
1020 2.220.819.602.560.918.840 1,023 45,028 49.347.193.044.659.701 222.744.644
1021 21.127.269.486.018.731.928 1,022 47,332 446.579.871.578.168.707 597.394.254
1022 201.467.286.689.315.906.290 1,021 49,636 4.060.704.006.019.620.994 1.932.355.208
1023 1.925.320.391.606.818.006.727 1,020 51,939 37.083.513.766.592.669.113 7.236.148.412

Referências

  1. C.F. Gauss. Werke, Bd 2, 1st ed, 444-447. Göttingen 1863.
  2. N. Costa Pereira (August–September 1985). «A Short Proof of Chebyshev's Theorem». American Mathematical Monthly [S.l.: s.n.] 92 (7): 494–495. doi:10.2307/2322510. JSTOR 2322510. 
  3. M. Nair (February 1982). «On Chebyshev-Type Inequalities for Primes». American Mathematical Monthly [S.l.: s.n.] 89 (2): 126–129. doi:10.2307/2320934. JSTOR 2320934. 
  4. Ingham, A.E. (1990). The Distribution of Prime Numbers Cambridge University Press [S.l.] pp. 2–5. ISBN 0-521-39789-8. 
  5. D. J. Newman (1980). «Simple analytic proof of the prime number theorem». American Mathematical Monthly [S.l.: s.n.] 87 (9): 693–696. doi:10.2307/2321853. JSTOR 2321853. 
  6. D. Zagier (1997). «Newman's short proof of the prime number theorem». American Mathematical Monthly [S.l.: s.n.] 104 (8): 705–708. doi:10.2307/2975232. JSTOR 2975232. 
  7. a b c D. Goldfeld The elementary proof of the prime number theorem: an historical perspective.
  8. Selberg, Atle (Apr 1949). «An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem». Annals of Mathematics. 2 [S.l.: s.n.] 50 (2): 305–313. doi:10.2307/1969455. 
  9. Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008). «The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics» (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. [S.l.: s.n.] 45 (4): 617–649. doi:10.1090/S0273-0979-08-01223-8Predefinição:Inconsistent citations 
  10. Cornaros, Charalambos; Dimitracopoulos, Costas (1994). «The prime number theorem and fragments of PA» (PDF). Archive for Mathematical Logic [S.l.: s.n.] 33 (4): 265–281. doi:10.1007/BF01270626. 
  11. «Number of primes < 10^n (A006880)» Verifique |url= (Ajuda). On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. 
  12. «Difference between pi(10^n) and the integer nearest to 10^n / log(10^n) (A057835)» Verifique |url= (Ajuda). On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. 
  13. «Difference between Li(10^n) and Pi(10^n). where Li(x) = integral of log(x) and Pi(x) = number of primes <= x (A057752)» Verifique |url= (Ajuda). On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.