Símbolo de Legendre

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p \ a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 0 1 -1
5 0 1 -1 -1 1
7 0 1 1 -1 1 -1 -1
11 0 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1

Símbolo de Legendre (a/p) para váriios a (ao alto) e p (esquerda). Apenas 0 ≤ a < p são mostrados, devido à primeira propriedade em que outros valores de a podem ser reduzidos módulo p. Os Resíduos quadráticos estão em amarelo e correspondem aos valores 0 e 1.

Em Matemática, mais precisamente em teoria dos números, o símbolo de Legendre, \left ( \frac{a}{p} \right), é uma função multiplicativa que toma como argumentos um inteiro a e um primo p, retornando os valores -1, 0 ou +1, dependendo se a é ou não um resíduo quadrático módulo p. Equivale a dizer se a congruência :x^2 \equiv a \pmod p possui ou não solução.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja a um número inteiro e p um número primo, define-se:

\left ( \frac{a}{p} \right ) = 
\begin{cases}
 0 & \mbox{se } p \mbox{ divide a }a \\
 1 & \mbox{se } a\mbox{ é resíduo quadrático módulo } p \\
-1 & \mbox{se } a\mbox{ não é residuo quadrático módulo } p \\

\end{cases}

Definições alternativas[editar | editar código-fonte]

Para alguns valores concretos de a, o símbolo de Legendre ainda pode ser mais simplificado:

a) \left ( \frac{-1}{p} \right) = (-1)^{(p-1)/2}.
b) \left ( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{(p^2-1)/8}.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O símbolo de Legendre satisfaz algumas propiedades interessantes:

i) Como função multiplicativa:

\left ( \frac{ab}{p} \right) =\left ( \frac{a}{p} \right) \left ( \frac{b}{p} \right) .

ii) O símbolo de Legendre é periódico em seu primeiro argumento (ou argumento superior): se ab (mod p), então

 \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right).

iii) Descrevendo como equação a lei da reciprocidade quadrática:

\left ( \frac{q}{p} \right )\left ( \frac{p}{q} \right )  = (-1)^{[(p-1)/2][(q-1)/2]}
Em particular, o produto de dois números que são resíduos quadraticos ou não-resíduos quadráticos p é um resíduo, enquanto que o produto de um resíduo com um não-resíduo é um não-resíduos. Um caso especial é o símbolo de Legendre de um quadrado:
\left(\frac{x^2}{p}\right) = \begin{cases} 1 & \mbox{se }p\nmid x\\ 0 & \mbox{se }p\mid x. \end{cases}
  • O primeiro suplemento à lei da reciprocidade quadrática:
\left(\frac{-1}{p}\right)  = (-1)^{\frac{p-1}{2}}
=\begin{cases}
1 & \mbox{ se }p \equiv 1\pmod{4} \\
-1 & \mbox{ se }p \equiv 3\pmod{4}.  
\end{cases}
  • O segundo suplemento à lei da reciprocidade quadrática:
 \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^\tfrac{p^2-1}{8} = \begin{cases}
1 & \mbox{ se }p \equiv 1\mbox{ or }7 \pmod{8} \\
-1 & \mbox{ se }p \equiv 3\mbox{ or }5 \pmod{8}.  \end{cases}

iv) Visto como uma função de a, o símbolo de Legendre \left(\frac{a}{p}\right) é o único caráter de Dirichlet módulo p quadrático (ou de ordem 2).

v) Fórmulas especiais para o símbolo de Legendre \left(\frac{a}{p}\right) para pequenos valores de a:

  • Para primo ímpar p ≠ 3,
 \left(\frac{3}{p}\right) = (-1)^{\big\lfloor \frac{p+1}{6}\big\rfloor}
=\begin{cases}
 1 & \mbox{ se }p \equiv 1\mbox{ or }11 \pmod{12} \\
-1 & \mbox{ se }p \equiv 5\mbox{ or }7 \pmod{12}.  \end{cases}
  • Para primo ímpar p ≠ 5,
 \left(\frac{5}{p}\right) =(-1)^{\big\lfloor \frac{p+2}{5}\big \rfloor}
=\begin{cases}
 1 & \mbox{ se }p \equiv 1\mbox{ or }4 \pmod5 \\
-1 & \mbox{ se }p \equiv 2\mbox{ or }3 \pmod5.  \end{cases}

vi) Os números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... são definidos por recorrência F1 = F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1. Se p é um numero primo, então

 F_{p-\left(\frac{p}{5}\right)} \equiv 0 \pmod p, \qquad F_{p} \equiv \left(\frac{p}{5}\right) \pmod p.
Por exemplo,
\begin{align}
(\tfrac{2}{5}) &= -1, && F_3 = 2, F_2 = 1,\\ 
(\tfrac{3}{5}) &= -1, && F_4 = 3, F_3 = 2,\\ 
(\tfrac{5}{5}) &= 0,  && F_5 = 5, \\ 
(\tfrac{7}{5}) &= -1, && F_8 = 21, F_7 = 13,\\ 
 (\tfrac{11}{5})&= 1,  && F_{10} = 55, F_{11} = 89.
\end{align}
Este resultado vem da teoria da sequências de Lucas, onde são usados num teste de primalidade.[1] Veja primos de Wall–Sun–Sun.

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Ribenboim, p. 64; Lemmermeyer, ex 2.25-2.28, pp. 73–74.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]