Símbolo de Legendre

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p \ a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 0 1 -1
5 0 1 -1 -1 1
7 0 1 1 -1 1 -1 -1
11 0 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1

Símbolo de Legendre (a/p) para váriios a (ao alto) e p (esquerda). Apenas 0 ≤ a < p são mostrados, devido à primeira propriedade em que outros valores de a podem ser reduzidos módulo p. Os Resíduos quadráticos estão em amarelo e correspondem aos valores 0 e 1.

Em Matemática, mais precisamente em teoria dos números, o símbolo de Legendre, , é uma função multiplicativa que toma como argumentos um inteiro e um primo , retornando os valores -1, 0 ou +1, dependendo se é ou não um resíduo quadrático módulo . Equivale a dizer se a congruência : possui ou não solução.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja a um número inteiro e p um número primo, define-se:

Definições alternativas[editar | editar código-fonte]

Para alguns valores concretos de , o símbolo de Legendre ainda pode ser mais simplificado:

a) .
b) .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O símbolo de Legendre satisfaz algumas propriedades interessantes:

i) Como função multiplicativa:

.

ii) O símbolo de Legendre é periódico em seu primeiro argumento (ou argumento superior): se ab (mod p), então

iii) Descrevendo como equação a lei da reciprocidade quadrática:

Em particular, o produto de dois números que são resíduos quadraticos ou não-resíduos quadráticos p é um resíduo, enquanto que o produto de um resíduo com um não-resíduo é um não-resíduos. Um caso especial é o símbolo de Legendre de um quadrado:
  • O primeiro suplemento à lei da reciprocidade quadrática:
  • O segundo suplemento à lei da reciprocidade quadrática:

iv) Visto como uma função de a, o símbolo de Legendre é o único caráter de Dirichlet módulo p quadrático (ou de ordem 2).

v) Fórmulas especiais para o símbolo de Legendre para pequenos valores de a:

  • Para primo ímpar p ≠ 3,
  • Para primo ímpar p ≠ 5,

vi) Os números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... são definidos por recorrência F1 = F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1. Se p é um numero primo, então

Por exemplo,
Este resultado vem da teoria da sequências de Lucas, onde são usados num teste de primalidade.[1] Veja primos de Wall–Sun–Sun.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Ribenboim, p. 64; Lemmermeyer, ex 2.25-2.28, pp. 73–74.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]