Função multiplicativa

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Introdução[editar | editar código-fonte]

O conceito de função multiplicativa tem importância capital no desenvolvimento da teoria algébrica dos números, como o produto de Dirichlet, e na teoria analítica dos números, como nas séries de Dirichlet. Para avaliação de uma função multiplicativa basta conhecer seus valores em potências de primos.[1]

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma função aritmética é uma função matemática cujo domínio de definição compreende os números inteiros positivos, isto é, os números naturais. Uma função aritmética não nula é chamada de multiplicativa se



para todo par m e n de primos relativos (tais que mdc(m,n) = 1).[2] [ligação inativa][Nota 1]


Uma função aritmética é denominada completamente multiplicativa quando a relação é válida para quaisquer naturais m e n. [2] Sendo este o caso, então, por exemplo, tem-se 2(n) = (n2).


Exemplos triviais[editar | editar código-fonte]

  • A função (n) = 1 para todo número natural n, é uma função completamente multiplicativa. De fato, dados naturais a e b quaisquer, tem-se (ab) = 1 = 1 · 1 = (a(b).


  • A função (n) = c para todo natural n, em que c é uma constante diferente da unidade, não é multiplicativa. Dessa maneira, verifica-se facilmente que (6) = cc2 = (2)·(3).


  • A função identidade (n) = n é completamente multiplicativa, pois se n = ab, com a e b naturais quaisquer, então (n) = n = ab = (a(b).


Exemplos não triviais[editar | editar código-fonte]

  • A função totiente de Euler (n) é uma função multiplicativa.[1] [2] Entretanto não é uma função completamente multiplicativa: dado um primo p arbitrário, (p2) = p(p - 1) ≠ (p - 1)2 = (p(p).


  • A função divisor k(n) também é função multiplicativa,[1] [2] mas não é completamente multiplicativa já que, por exemplo, para um primo p constata-se que (p2) = 1 + p + p2 ≠ 1 + 2p + p2 = (1 + p)(1 + p) = (p(p).


  • A função número de divisores D(n) é multiplicativa[2] (não poderia ser diferente, dado que D(n) = 0(n), que é multiplicativa conforme o exemplo anterior). É fácil ver que D(n) não é completamente multiplicativa: D(2) = 2, D(4) = 3 e D(2)·D(2) ≠ D(4).

Teoremas[editar | editar código-fonte]

Teorema 1[editar | editar código-fonte]

Se é uma função multiplicativa então      também é uma função multiplicativa.

Demonstração[1] [editar | editar código-fonte]

Uma vez que todo divisor de mn pode ser expresso de modo único por meio do produto d1·d2, tal que d1|m e d2|n, com d1 e d2 relativamente primos, e como, por hipótese, é multiplicativa, segue que



Como aplicação do teorema, pode-se provar que a função é multiplicativa (a extensão da prova para k com k qualquer não é complexa): definindo como a função identidade, então (como já visto nos exemplos triviais acima) é multiplicativa e segundo o teorema é também multiplicativa a função



O caso 0(n) = (n) também é simples: toma-se (d) = 1 para todo divisor d de n e então



Teorema 2[editar | editar código-fonte]

Se    é uma função completamente multiplicativa e monótona então existe    tal que  .

Demonstração[3] [editar | editar código-fonte]

Como é por hipótese monótona, suponha estritamente crescente (caso contrário, considere ). Seja . Logo . Assim, para todo natural m tem-se



em que e são respectivamente a função chão e a função teto. Além disso, como


,


segue finalmente que


.

Ligações Externas[editar | editar código-fonte]



Notas e referências

Notas

  1. No texto Applied Abstract Algebra, a função é definida com domínio no conjunto dos números naturais e contradomínio no conjunto dos números complexos, porém o conceito pode ser generalizado para funções com domínio no conjunto dos números inteiros e contradomínio em qualquer grupo multiplicativo, como por exemplo um conjunto de matrizes.

Referências

  1. a b c d Santos, José P. de O.; Coleção Matemática Universitária: Introdução à Teoria dos Números, Rio de Janeiro: IMPA, 2006
  2. a b c d e Nikos Drakos e Ross Moore, Applied Abstract Algebra, Multiplicative Functions [em linha]
  3. Martinez, Fabio B., et al; Projeto Euclides: Teoria dos Números - um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro, Rio de Janeiro: IMPA, 2010
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