Teorema de Barban–Davenport–Halberstam

Em Matemática, o Teorema de Barban–Davenport–Halberstam, é um enunciado sobre a distribuição dos números primos numa progressão aritmética. Sabe-se há tempos que números primos estão distribuídos igualmente, seguindo um padrão nestas progressões, porém com uma mesma diferença. Teoremas como o de Barban–Davenport–Halberstam dão estimativas de uma medida de erro (E) desta distribuição, determinando o quanto as mesmas são uniformes.

O teorema leva o nome dos matemáticos Mark Barban, Harold Davenport e Heini Halberstam.

Enunciado

Seja a um co-primo a k e

$\vartheta (x;a,k)=\sum _{p<x\,;\,p\equiv a{\bmod {k}}}\log p\$

é uma função-peso de contagem ponderada de primos em progressão aritmética côngruos a módulo k. Tem-se

$\vartheta (x;a,k)={\frac {x}{\varphi (k)}}+E(x;a,k)\$

onde φ é a função totiente de Euler e o termo de erro E é pequeno se comparado com  x. Toma-se a soma dos quadrados dos termos de erros

$G(x,Q)=\sum _{k<Q}\sum _{a{\bmod {k}}}E^{2}(x;a,k)\ .$

Então tem-se

$G(x,Q)=O(Qx\log x)+O(x\log ^{-A}x)\$

para todo positivo A, onde O é a notação Grande-O de Landau.

Esta forma do teorema é devida a Gallagher. O resultado de Barban é válido somente para $Q<x\log ^{-B}x$ para algum B dependendo de A, e o resultado de Davenport–Halberstam é B = A + 5.

Veja também

• Teorema de Bombieri-Vinogradov
• Conjectura de Elliott–Halberstam