Crivo de Selberg

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Em Matemática, na área de teoria dos números, o crivo de Selberg é uma técnica para estimar o tamanho de conjuntos crivados (ou "peneirados", pois crivo significa peneira) de inteiros positivos que satisfazem um conjunto de condições que são expressadas por congruência. Foi desenvolvida por Atle Selberg na década de 1940.

Descrição[editar | editar código-fonte]

Em termos de teoria dos crivos o crivo de Selberg é do tipo combinatório: isto é, provém do uso cauteloso do princípio da inclusão-exclusão. Selberg substitui os valores da função de Möbius que surgem por um sistema de pesos que são então otimizados segundo o problema dado. O resultado retorna um limite superior para o tamanho do conjunto crivado.

Seja A um conjunto de inteiros positivos ≤ x e seja P um conjunto de primos. Para cada p in P, seja Ap o conjunto de elementos de A divisíveis por p e estender isso para fazer Ad a intersecção de Ap para p dividindo d, onde d é um produto de primos distintos de P. Ainda seja A1 a notação para o próprio A. Seja z um número real positivo e P(z) a notação para o produto dos primos em Pz. A finalidade deste crivo é estimar

Assumimos então que |Ad| pode ser estimado por

onde f é uma função multiplicativa e X   =   |A|. Seja a função g obtida a partir de f pela fórmula de inversão de Möbius, isto é

onde μ é a função de Möbius. Put

então

Muitas vezes, é útil para estimar V(z) pelo limite

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

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