Teorema de Brun–Titchmarsh

Em teoria analítica dos números, o teorema de Brun–Titchmarsh, devido a Viggo Brun e Edward Charles Titchmarsh, é um limite superior na distribuição dos números primos em progressão aritmética.

Enunciado

Afirma que, se $\pi (x;q,a)$ conta o número de primos p congruentes a a modulo q com p ≤ x, então

$\pi (x;q,a)\leq {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}$

para todos q < x.

História

O resultado foi provado por um método de crivos por Montgomery e Vaughan; anteriormente Brun e Titchmarsh provaram uma versão mais fraca desta desigualdade com um fator multiplicativo adicional de $1+o(1)$.

Aprimoramentos

Se q é relativamente pequeno, por exemplo, $q\leq x^{9/20}$, então existe um limite melhor:

$\pi (x;q,a)\leq {(2+o(1))x \over \varphi (q)\ln(x/q^{3/8})}$

Este resultado é devido a Y. Motohashi (1973). Ele usou uma estrutura bilinear no termo do erro no crivo de Selberg, descoberto pelo próprio. Posteriormente esta ideia de explorar estruturas nos erros de crivagem tournou-se um grande método dentro da teoria analítica dos números, devido à extensão feira por H. Iwaniec para o crivo combinatório.

Comparação com o teorema de Dirichlet

Por contraste, o Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas dá um resultado assintótico, que pode ser expressado por

$\pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)$

mas só se pode provar que isso vale para o intervalo mais restrito q < (log x)^c para c constante: isto é o teorema de Siegel–Walfisz.

Referências

• Motohashi, Yoichi (1983). Sieve Methods and Prime Number Theory. [S.l.]: Tata IFR and Springer-Verlag. ISBN 3-540-12281-8 
• Hooley, Christopher (1976). Applications of sieve methods to the theory of numbers. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 10. ISBN 0-521-20915-3 
• Mikawa, H. (2001), «b/b110970», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Montgomery, H.L.; Vaughan, R.C. (1973). The large sieve. Mathematika. 20. [S.l.: s.n.] pp. 119–134 .