Teorema de Brun–Titchmarsh

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Em teoria analítica dos números, o teorema de Brun–Titchmarsh, devido a Viggo Brun e Edward Charles Titchmarsh, é um limite superior na distribuição dos números primos em progressão aritmética.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Afirma que, se conta o número de primos p congruentes a a modulo q com p ≤ x, então

para todos q < x.

História[editar | editar código-fonte]

O resultado foi provado por um método de crivos por Montgomery e Vaughan; anteriormente Brun e Titchmarsh provaram uma versão mais fraca desta desigualdade com um fator multiplicativo adicional de .

Aprimoramentos[editar | editar código-fonte]

Se q é relativamente pequeno, por exemplo, , então existe um limite melhor:

Este resultado é devido a Y. Motohashi (1973). Ele usou uma estrutura bilinear no termo do erro no crivo de Selberg, descoberto pelo próprio. Posteriormente esta ideia de explorar estruturas nos erros de crivagem tournou-se um grande método dentro da teoria analítica dos números, devido à extensão feira por H. Iwaniec para o crivo combinatório.

Comparação com o teorema de Dirichlet[editar | editar código-fonte]

Por contraste, o Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas dá um resultado assintótico, que pode ser expressado por

mas só se pode provar que isso vale para o intervalo mais restrito q < (log x)c para c constante: isto é o teorema de Siegel–Walfisz.

Referências[editar | editar código-fonte]

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