Constante de Catalan

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A constante de Catalan, normalmente expressa pela letra G, é o valor numérico da série

\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} = 1 - \frac1{3^2} + \frac1{5^2} - \frac1{7^2} + \cdots,

ou seja, o valor da função beta de Dirichlet \beta(2). A constante é assim denominada em homenagem a Eugène Charles Catalan (1814–1894). Sua irracionalidade é aceita, porém ainda não demonstrada.

História[editar | editar código-fonte]

Catalan denominou esta constante como G em seu trabalho de 1883, acompanhado este por diversas representações integrais e em série. A denominação G provem possivelmente do engenheiro Jacques Bresse.

Valor[editar | editar código-fonte]

Um valor aproximado é

G=0,91596559417721901505...

Atualmente (16 de abril de 2009) são conhecidos 31.026.000.000 dígitos[1] .

Outras representações[editar | editar código-fonte]

Dentre as inúmeras representações, algumas são apresentadas a seguir.

Integral[editar | editar código-fonte]

G = -\int\limits_0^1\frac{\ln t}{1 + t^2}\, {\rm d}t
G = \int\limits_0^1 \frac{\arctan t}{t}\, {\rm d}t
G = \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2}\, {\rm d}x\,{\rm d}y

Série[editar | editar código-fonte]

De acordo com Ramanujan:

G = \frac{\pi}8 \ln(2+\sqrt3) + \tfrac38 \sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)^2\binom{2n}{n}}.

Também converge rapidamente a soma:

 G = \tfrac1{64}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}\cdot 2^{8n}\cdot (40n^2-24n+3)\cdot (2n)!^3 \cdot n!^2}{n^3\cdot (2n-1)\cdot (4n)!^2}

Séries tipo BBP[editar | editar código-fonte]

Tentou-se encontrar séries do tipo BBP. Uma série de 9 termos foi apresentada por Victor Adamchik em 2007:

G = \tfrac3{64}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{64^n}\left(
 \tfrac{32}{(12n+1)^2}
-\tfrac{32}{(12n+2)^2}
-\tfrac{32}{(12n+3)^2}
-\tfrac{8}{(12n+5)^2}
-\tfrac{16}{(12n+6)^2}
-\tfrac{4}{(12n+7)^2}
-\tfrac{4}{(12n+9)^2}
-\tfrac{2}{(12n+10)^2}
+\tfrac{1}{(12n+11)^2}
\right)

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]