Proporção áurea

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Disambig grey.svg Nota: Se procura o número áureo nos calendários litúrgicos, veja Número áureo nos calendários.
Alusão à seção áurea na estação Saldanha do metrô de Lisboa.

Proporção áurea, número de ouro, número áureo, secção áurea, proporção de ouro é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega (PHI), em homenagem ao escultor Phideas (Fídias), que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. Também é chamada de se(c)ção áurea (do latim sectio aurea)[1], razão áurea,[2] razão de ouro, média e extrema razão (Euclides), divina proporção, divina seção (do latim sectio divina), proporção em extrema razão[3], divisão de extrema razão ou áurea excelência.[4][5] O número de ouro é ainda frequentemente chamado razão de Phidias .[6][7][8]

Desde a Antiguidade, a proporção áurea é usada na arte.[9] É frequente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi (não confundir com o número Pi ), como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado de forma aproximada no homem (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), nas colmeias, entre inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem de crescimento na natureza.

Justamente por ser encontrado em estudos de crescimento o número de ouro ganhou um status de "ideal", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores. O fato de ser apoiado pela matemática é que o torna fascinante.

Divisão em média e extrema razão. A partir de um segmento de 10 unidades, determina-se a sua seção áurea multiplicando-o por 0,618 (média). Para encontrar-se um segmento maior, em extrema razão, deve-se multiplicar as dez unidades iniciais por 1,618.

Propriedades matemáticas[editar | editar código-fonte]

Definição algébrica[editar | editar código-fonte]

A razão áurea é definida algebricamente como:

A equação da direita mostra que o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em:

Cancelando b em ambos os lados, temos:

Multiplicando ambos os lados por resulta:

Finalmente, subtraindo de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas por encontramos:

que é uma equação quadrática da forma em que

Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:

A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:

que é o número

Sequência de Fibonacci[editar | editar código-fonte]

Representação da sequência de Fibonacci na Mole Antonelliana em Turim, Itália.
O número áureo está presente na fórmula do termo geral da Série de Fibonacci:

O número áureo pode ser aproximado pela divisão do n-ésimo termo da Série de Fibonacci pelo termo anterior, sendo a aproximação tanto melhor quanto maior for n. Por exemplo:

Série de frações[editar | editar código-fonte]

O número áureo também pode ser encontrado através de frações contínuas, normalmente representadas como [a,b,c,d,e,...], o que resulta em:[10]

A aproximação do número áureo vem com a quantidade de números 1 em uma representação de Série de Frações. O valor varia em torno do número áureo, sendo maior ou menor alternadamente, mas sempre se aproximando deste.

Um número irracional sempre pode ser aproximado por números racionais, e os convergentes da representação em fração contínua são as melhores aproximações. A aproximação é tão melhor quando se corta a expansão em um coeficiente grande; por exemplo, uma boa aproximação de π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, ...] é obtida ao se tomar π ~= [3; 7, 15, 1] = 3.141592654... Como todos os coeficientes da fração contínua de φ são um, todas suas aproximações por racionais são ruins - de fato, φ é o pior número para ser aproximado por racionais.[10]

Série de raízes[editar | editar código-fonte]

Proporção áurea na natureza[editar | editar código-fonte]

Figuras geométricas[editar | editar código-fonte]

Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em proporção áurea com o raio da circunferência.

Segmentos do pentagrama estão na proporção áurea, como mostra a figura. O pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea.

Um pentagrama regular é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual a quarta potência da razão áurea.

Chamando os vértices de um pentagrama de A,B,C,D e E, o triângulo isósceles formado por A, C e D tem seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo isósceles A, B e C tem sua base em relação dourada com os lados.

Quando Pitágoras descobriu que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea, tornou esse símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Esse era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que "tudo é número", ou seja, que a natureza segue padrões matemáticos.

Vegetais[editar | editar código-fonte]

Como os vegetais não têm formas exatas, a ponto de serem construídos com régua e compasso, a divina proporção, bem como a série Fibonacci, só podem ser encontradas por aproximação.[11][12]

Animais[editar | editar código-fonte]

Nos animais, as medidas também são aproximadas.[11][12]

  • População de abelhas – A proporção entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colmeia.
  • Concha do caramujo Nautilus – A proporção em que cresce o raio do interior da concha desta espécie de caramujo. Este molusco bombeia gás para dentro de sua concha repleta de câmaras para poder regular a profundidade de sua flutuação. Obs.: até hoje não se encontrou nenhum caramujo Nautilus que comprove essa afirmação amplamente difundida.
  • Outros – phi estão também nas escamas de peixes, presas de elefantes, crescimento de plantas.

Corpo humano[editar | editar código-fonte]

O Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci. As ideias de proporção e simetria aplicadas à concepção da beleza humana.
Proporções áureas em uma mão.
  • A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.
  • A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.
  • A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.
  • A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.
  • O tamanho dos dedos é a medida da dobra central até a ponta.
  • A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.

Essas proporções anatômicas ideais foram representadas pelo "Homem Vitruviano", obra de Leonardo Da Vinci.

  • Dimensão do útero em mulheres jovens (16 e 20 anos), segundo o pesquisador Jasper Vergtus, da Universidade de Leuven.[13]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

O homem, em muitas ocasiões, tem buscado o ideal da perfeição nas linguagens artísticas.

Arte[editar | editar código-fonte]

As linhas vermelhas representam os eixos vertical e horizontal. As linhas brancas são divisões áureas. Os olhos e a boca estão posicionados nessa estrutura geométrica.[14]

A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Essa proporção estaria ali aplicada pelo motivo de o autor representar a perfeição da beleza.

Em O Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. Na história da arte renascentista, a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nessa constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção lhes dava para retratar a realidade com mais perfeição.

Ver artigo principal: Mona Lisa

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporção áurea nas relações entre o tronco e a cabeça, bem como nos elementos da face, mas isso é uma característica inerente ao ser humano e tais proporções podem ser encontradas na maioria das pinturas em que a anatomia tenha sido respeitada.[15] Medições feitas por computador mostraram que os olhos de Mona Lisa estão situados em subdivisões áureas da tela.[14]

Retângulo dourado[editar | editar código-fonte]

Proporção áurea em retângulos.
Ver artigo principal: Rectângulo de ouro

Em geometria, o retângulo de ouro surge do processo de divisão em média e extrema razão, de Euclides. Ele é assim chamado porque ao dividir-se a base desse retângulo pela sua altura, obtêm-se o número de ouro 1,618.[16]

Música[editar | editar código-fonte]

O número de ouro está presente em diversas obras de compositores clássicos, sendo o exemplo mais notável a famosa sinfonia n.º 5, de Ludwig van Beethoven.[17] O compositor húngaro Béla Bartók também se utilizou desta relação de proporcionalidade constantemente em sua obra,[18] assim como o fez o francês Claude Debussy em diversas de suas sonatas.[19]

No jazz há músicos que usam os números da série Fibonacci na divisão rítmica e dos compassos.[20]

Literatura[editar | editar código-fonte]

No livro "O Número de Ouro", Matila Ghyka demonstrou a existência da proporção áurea em textos escritos por Victor Hugo, Shakespeare, Paul Valéry, Pierre Louys, entre outros. Na pesquisa Ghyka relacionou as estrofes de acordo com o ritmo da leitura, o que ele chamou de ritmo prosódico.[21]

Cinema[editar | editar código-fonte]

O diretor russo Sergei Eisenstein se utilizou do número no filme O Encouraçado Potemkin para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas de película.

Linha do tempo[editar | editar código-fonte]

Linha do tempo baseada nos estudos de Priya Hemenway:[22]

Referências

  1. Summerson John, Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture (New York: W.W. Norton, 1963) p. 37. "E o mesmo se aplica em arquitetura, aos retângulos que representam estas e outras proporções (e.g. a 'seção áurea')."
  2. Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number (New York: Broadway Books). ISBN 0-7679-0815-5. 
  3. Euclid, Elements, Book 6, Definition 3.
  4. Piotr Sadowski, The Knight on His Quest: Symbolic Patterns of Transition in Sir Gawain and the Green Knight, Cranbury NJ: Associated University Presses, 1996
  5. Richard A Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing, 1997
  6. Jay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, New Haven CT: Yale University Press, 1920
  7. William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference, Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003
  8. Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.
  9. György Dóczi (1981). O Poder dos limites: harmonias e proporções na natureza, arte & arquitetura Shambhala [S.l.] Capítulo IV. 
  10. a b Kiritchenko, Valentina, Continued Fractions, p.12 [em linha]
  11. a b György Dóczi (1981). «O Poder dos limites». Amazon.com. Consultado em 7 de julho de 2014. 
  12. a b Robert Lamb. «How are Fibonacci numbers expressed in nature?». Howstuffworks.com. Consultado em 7 de julho de 2014. 
  13. ABC.es. Él número áureo, descubierto en el útero. Acesso 16 de agosto de 2012.
  14. a b Denis Mandarino (27/08/2011). «A divisão áurea por detrás do olhar de Mona Lisa». Portal Alô Artista. Consultado em 31 de junho de 2012. 
  15. Ostrower, Fayga (1983). Universos da Arte Campus [S.l.] 
  16. Putnoki, José Carlos - Elementos de Geometria e desenho geométrico. Vol. 1. Ed. Scipione, São Paulo, 1989. p. 140.
  17. Haylock, Derek. Mathematics Teaching, Volume 84, p. 56-57. 1978
  18. Ernö Lendvai - Béla Bartók: An Analysis of his Music
  19. Roy Howat - Debussy in Proportion
  20. Steve Coleman. «The Dozens». Jazz.com. Consultado em 14 de janeiro de 2014. 
  21. Matila Ghyka (1984). El número de oro Poseidon [S.l.] 
  22. Hemenway, Priya (2005). Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science (Nova Iorque: Sterling). pp. 20–21. ISBN 1-4027-3522-7. 
  23. Platão (360 BC) (Benjamin Jowett trans.). «Timaeus». The Internet Classics Archive. Consultado em 2006-05-30. 
  24. «O número de ouro». Universidade Federal Fluminense. Consultado em 23 de junho de 2016. 
  25. James Joseph Tattersall (2005). Elementary number theory in nine chapters 2nd ed. Cambridge University Press [S.l.] p. 28. ISBN 978-0-521-85014-8. 
  26. Underwood Dudley (1999). Die Macht der Zahl: Was die Numerologie uns weismachen will Springer [S.l.] p. 245. ISBN 3-7643-5978-1. 
  27. Cook, Theodore Andrea (1979) [1914]. The Curves of Life (Nova Iorque: Dover Publications). ISBN 0-486-23701-X. 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Cole, K. C.. O Universo e a Xícara de Chá. São Paulo: Record, 2006. 294p.
  • Doczi, György. O Poder dos limites. São Paulo: Mercuryo, 1990.
  • Livio, Mario. Razão áurea: a história do phi. São Paulo: Record, 2006. 336p.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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