Sólido platónico

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
(Redirecionado de Sólidos platônicos)
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa
Question book-4.svg
Esta página ou secção cita fontes confiáveis e independentes, mas que não cobrem todo o conteúdo, o que compromete a verificabilidade (desde junho de 2010). Por favor, insira mais referências no texto. Material sem fontes poderá ser removido.
Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)

Um sólido platónico ou poliedro regular, na geometria, é um poliedro convexo em que:

Platonic solids.jpg

[definição 1][2]

Os cinco sólidos platónicos são descritos no décimo-terceiro livro de Os Elementos, de Euclides, e são assim chamados pois foram estudados pela escola de Platão.[3]

Tabela[editar | editar código-fonte]

Nome Imagens Faces Arestas Vértices Vértices
por face
tetraedro Tetraedro 4 6 4 3
hexaedro Hexahedron (cube) 6 12 8 4
octaedro Octahedron
8 12 6 3
dodecaedro Dodecahedron 12 30 20 5
icosaedro Icosahedron 20 30 12 3

Demonstração[editar | editar código-fonte]

A pergunta que surge é se existem classes de sólidos platónicos além desses cinco, a resposta é não. Serão apresentadas a seguir duas demonstrações para o fato. A primeira, mais geométrica segue a demonstração dada originalmente por Euclides. A segunda utiliza a fórmula de Euler.

Demonstração geométrica[editar | editar código-fonte]

Usaremos a seguinte propriedade fundamental: a soma dos ângulos dos polígonos em volta de cada vértice de um poliedro é sempre menor do que 360°.[4] Esta é a proposição 21 do Livro XI do Os Elementos de Euclides. [5]

Vamos agora analisar as diversas possibilidades de união de faces em torno de cada vértice, lembrando que (1) em um sólido platónico as faces são polígonos regulares e congruentes e (2) são necessárias pelo menos três faces unidas em cada vértice para formar um sólido.[5]

Número de triângulos Soma dos ângulos Poliedro platónico resultante
n = 3 180° Tetraedro
n = 4 240° Octaedro
n = 5 300° Icosaedro
n ≥ 6 ≥ 360° Não existe
  • Faces são quadrados com ângulos internos de 90°. Temos as seguintes possibilidades para cada vértice:[4][5]
Número de quadrados Soma dos ângulos Poliedro platónico resultante
n = 3 270° Cubo
n ≥ 4 ≥ 360° Não existe
  • Faces são pentágonos regulares com ângulos internos de 108°. Temos as seguintes possibilidades para cada vértice:[4][5]
Número de pentágonos Soma dos ângulos Poliedro platónico resultante
n = 3 324° Dodecaedro
n ≥ 4 ≥ 360° Não existe
  • Faces são polígonos regulares com n ≥ 6 lados, então a soma dos ângulos dos polígonos em torno de cada vértice é ≥ 360°. Sendo assim, não existe nenhum sólido platónico com faces hexagonais, heptagonais, etc.[5]

Demonstração topológica[editar | editar código-fonte]

Desenvolveremos uma outra demonstração para o fato de que só existem cinco classes de sólidos platónicos[2], usando agora a fórmula de Euler. Se V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces de um poliedro convexo, então:

Considere então um sólido platónico cujas faces são polígonos de n lados (onde n ≥ 3). Como cada aresta do poliedro é definida pela interseção dos lados de dois polígonos adjacentes, segue que se contarmos todos os lados de todos os polígonos, iremos contar duas vezes cada aresta do poliedro. Desta maneira:

[2]

Denote por p o número de arestas do poliedro que concorrem em um mesmo vértice (onde p ≥ 3). Cada uma destas arestas, a exemplo das faces, se conecta a dois vértices. Assim, se contarmos o número de arestas em cada face, estaremos contando duas vezes o número de arestas do poliedro. Portanto:

[2]

Substituindo-se os valores e na equação , segue que:

ou ainda, multiplicando a igualdade por :

[2]

Consequentemente:

Como o número A de arestas deve ser positivo, temos , ou seja:

Uma vez que p ≥ 3, concluímos:

Logo, n < 6 e as possibilidades são as seguintes:

1. Para n = 3:

Daí, substituindo A em:

tem-se:

Desta última igualdade, segue que p < 6, pois F representa o número de faces e é necessariamente um número positivo. Assim, as possibilidades de arestas (p) são as seguintes:

  • Se p = 3, então:

O poliedro formado é o tetraedro (pois possui 4 faces triangulares).

  • Se p = 4, então:

Neste caso, o poliedro formado é o octaedro (pois possui 8 faces triangulares).

  • Se p = 5, então:

Aqui o poliedro formado é o icosaedro (já que possui 20 faces triangulares).

2. Para n = 4:

Substituindo A em:

,

obtém-se:

Sendo F um número positivo, segue que p < 4. Logo, a única possibilidade é p = 3 (já que p ≥ 3 e p < 4). Assim:

O poliedro formado é o hexaedro (já que possui 6 faces quadrangulares).

3. Se n = 5:

Novamente, substituindo A em:

Desta última igualdade, segue que p < 10/3. Sendo assim, para p = 3:

Portanto, o poliedro formado é o dodecaedro (possui 12 faces pentagonais).

Lembre-se que o número de faces determina o nome do poliedro.[2]

Operações sobre sólidos platónicos[editar | editar código-fonte]

Poliedros duais[editar | editar código-fonte]

Dual tetraedro

O poliedro dual de um sólido platónico é outro sólido platónico.

  • O dual do tetraedro é um tetraedro
  • O dual do octaedro é um cubo, e vice versa.
  • O dual do dodecaedro é um icosaedro, e vice versa.

Dualcube.png Dualoctaedre.png Dualdodecaedre.png Dualicosaedre.png

Truncatura[editar | editar código-fonte]

Truncando sólidos platónicos obtêm-se onze dos treze sólidos de Arquimedes:

O tetraedro truncado, o cuboctaedro, o cubo truncado, o octaedro truncado, o rombicuboctaedro, o cuboctaedro truncado, o icosidodecaedro, o dodecaedro truncado, o icosaedro truncado, o rombicosidodecaedro e o icosidodecaedro truncado.

Snubificação[editar | editar código-fonte]

Por snubificação de sólidos platónicos são obtidos dois sólidos de Arquimedes:

O cubo snub e o dodecaedro snub.

Propriedades métricas dos sólidos platónicos[editar | editar código-fonte]

A tabela seguinte agrupa algumas das principais propriedades métricas dos sólidos platónicos.

Seja d a medida da aresta de um poliedro; podemos calcular em função de d os raios r, R, ρ, respectivamente da esfera inscrita, circunscrita e tangente à aresta. Também a área S da superfície e o volume V. Das fórmulas da tabela podemos deduzir as inversas.

Nome r R ρ S V
Tetraedro [2] [2] [6] [6]
Cubo ou Hexaedro regular [2] [2] [2] [2]
Octaedro [2] [2] [7] [7]
Dodecaedro [8] [8]
Icosaedro [9] [9]

Sólidos platónicos inscritos em esfera[editar | editar código-fonte]

Quando um sólido platónico é inscrito numa esfera, é possível definir a porcentagem da esfera por ele ocupada.

Basta identificar o volume V do sólido inscrito na esfera, que está fixado na tabela de propriedades métricas dos sólidos platónicos. Já para calcular o volume da esfera circunscrita ao sólido platónico, pode-se utilizar o raio R, fixado na tabela de propriedades métricas dos sólidos platónicos (já que R é o valor do raio da esfera circunscrita ao poliedro em função de sua aresta d). A fórmula utilizada para calcular o volume da esfera é:

[2]

Assim, o volume da esfera corresponderá a 100% do total e o volume V do sólido inscrito corresponderá à porcentagem ocupada que queremos descobrir (utilizaremos x).

É possível relacionar os volumes por meio da regra de três. Abaixo, seguem desenvolvidas as relações para os cinco sólidos platónicos:

  • Tetraedro:

Para representar o volume do tetraedro, utilizaremos , e para o volume da esfera circunscrita ao tetraedro, utilizaremos :

Assim, o volume da esfera () representa 100% e o volume do tetraedro () será representado por .

Utilizando regra de três, tem-se:

Substituindo os valores obtidos para e :

Utilizando e :

  • Cubo:

Fixemos para representar o volume do cubo e para representar o volume da esfera circunscrita ao cubo:

Logo, se equivale a 100% do volume, então equivale a por cento.

Novamente, por meio de regra de três:

Substituindo e :

Para e , conclui-se:

  • Octaedro:

Sendo o volume do octaedro representado por e o volume da esfera circunscrita ao octaedro representado por :

Como representa 100% do volume, então ocupará por cento do volume da esfera. Assim:

Novamente, substituindo e :

Utilizando :

  • Dodecaedro:

Agora, seja o volume do dodecaedro e o volume da esfera circunscrita ao dodecaedro:

Desse modo, representa 100% do volume e representa por cento.

Logo, com os valores obtidos para e :

Para , , e , tem-se:

.
  • Icosaedro:

Para representar o volume do icosaedro utilizaremos e para representar o volume da esfera circunscrita ao icosaedro utilizaremos :

Como vale 100%, então o volume de será de por cento.

Ou seja, com os valores obtidos para e :

Utilizando e :

Ainda, sendo e :

Outra definição possível[editar | editar código-fonte]

  1. Alguns autores definem os poliedros de Platão como poliedros convexos em que:
    • todas as faces possuem o mesmo número de arestas;
    • todos os ângulos poliédricos são formados pelo mesmo número de arestas;
    • vale a relação de Euler V - A + F = 2 (onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces).
    Optando por esta definição, é possível estabelecer que todo poliedro convexo regular é poliedro de Platão. Isso porque no poliedro regular:
    • todas as faces são polígonos regulares e congruentes, logo possuem o mesmo número de arestas;
    • os ângulos poliédricos são congruentes, assim possuem o mesmo número de arestas em todos os vértices.
    Mas com esta mesma definição, observamos que nem todo poliedro de Platão é poliedro regular.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Giovanni, José Ruy; Bonjorno, José Roberto; Giovanni Júnior, José Ruy (2002). Matemática Fundamental: uma nova abordagem. São Paulo: FTD 
  2. a b c d e f g h i j k l m n o Dolce, Osvaldo; Nicolau Pompeo, José (2013). Fundamentos da Matemática Elementar 7 ed. São Paulo: Atual 
  3. James Elmes, A general and bibliographical dictionary of the fine arts (1824), Geometry, p.375 [google books]
  4. a b c d Mello, Leila Inês Pagliarini; Rheinheimer, Juliana Mercedes (2015). «Por que apenas 5 poliedros de Platão?». Revista Eletrônica da Matemática. Consultado em 24 de agosto de 2018. 
  5. a b c d e f Demski Martins, Thatielle; Goldoni, Viviane. «Descobrindo os Poliedros de Platão» (PDF) 
  6. a b Marcelo Rigonatto. «Tetraedro regular». Mundo Educação. Consultado em 21 de junho de 2018. 
  7. a b Marcos Noé Pedro da Silva. «Octaedro regular». Mundo Educação. Consultado em 30 de agosto de 2018. 
  8. a b Marcos Noé Pedro da Silva. «Dodecaedro». Mundo Educação. Consultado em 21 de junho de 2018. 
  9. a b Marcos Noé Pedro da Silva. «Icosaedro Regular». Mundo Educação. Consultado em 21 de junho de 2018.