Ação (matemática)

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Uma ação (AO 1945: acção), em topologia, de um grupo G num espaço topológico X é um homomorfismo de G no grupo dos homeomorfismos de X.

Acção de um grupo topológico[editar | editar código-fonte]

Se G é um grupo topológico, uma acção de G sobre um espaço topológico X é uma aplicação contínua \phi:G\times X\to X tal que:

i)\phi(e,x)=x,\forall x\in X

ii)\phi(g,\phi(h,x))=\phi(gh,x),\forall g\in G,\forall x\in X

Notação[editar | editar código-fonte]

Algumas notações são empregadas para representar a acção de G sobre X.

  • g . x, sendo g elemento de G e x elemento de X
  • \phi(g)\, como sendo a função \phi(g): X \to X\,, definida por \phi(g)(x) = \phi(g, x)\, (este tipo de transformação de uma função binária em uma função unária cujo resultado é outra função unária se chama currying).

Órbitas[editar | editar código-fonte]

A órbita de um elemento x\,\! de X\,\! é a classe de equivalência de x\,\!, com respeito à relação de equivalência \sim determinada por x\sim y se existir g\in G tal que y=g(x)\,\!, onde g(x)\,\! representa a imagem de x\,\! pelo homeomorfismo de X\,\! associado a g\,\!.

Quociente[editar | editar código-fonte]

O quociente de um espaço topológico X por um grupo G, que se representa por X/G, é o conjunto das órbitas, com a topologia quociente.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • A acção \phi\,\! de \Z sobre \R definida por \phi(n)(x)=x+n\,\! tem por quociente o círculo \mathbb{S}^1.
  • A acção \phi\,\! de \Z\times\Z sobre \R\times\R definida por \phi(m,n)(x)=(x+m,y+n)\,\! tem por quociente um toro.