Espaço topológico quociente

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Em topologia, um quociente de um espaço topológico X é um novo espaço topológico que se obtém colando umas regiões de X a outras.

Definição[editar | editar código-fonte]

O quociente de um espaço topológico X por uma relação de equivalência ~ é o conjunto X/~ das classes de equivalência munido da topologia (chamada topologia quociente) cujos abertos são os conjuntos de classes cuja reunião é um aberto de X.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O quociente de [0,1]\! pela relação x\sim y se |x-y|\in\{0,1\} é homeomorfo a \mathbb{S}^1.
  • O quociente de [0,1]\times[0,1]\! pela relação de equivalência gerada por (x,0)\sim (x,1)\,\! e (0,y)\sim (1,y)\,\!, para x,y\in[0,1] é homeomorfo ao toro \mathbb{T}^2 que por sua vez é homeomorfo à  \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1.
  • O processo acima, que cola as bordas do quadrado de forma direta, pode ser feito de modo a torcer o quadrado. Assim, a relação de equivalência gerada por (x,0)\sim(1-x,1)\,\! e (0,y)\sim(1,1-y)\,\!, para x,y\in[0,1] gera o plano projectivo, enquanto que a relação de equivalência gerada por (x,0)\sim(1-x,1)\,\! e (0,y)\sim(1,y)\,\!, para x,y\in[0,1] gera a garrafa de Klein.

Referências

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